tag:blogger.com,1999:blog-80415788467127052572024-03-05T18:52:03.985+07:00Asimtot 451Just a Simple Blog - :) - My Note and Anythingudin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.comBlogger851125tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-23729937429386106982016-11-30T03:14:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.533+07:00Asimtot 451 on YouTube<p style="text-align:center;"><strong>Asimtot sekarang mempunyai channel di YouTube</strong></p><br/><p style="text-align:center;">Masih sedikit video yang berhubungan dengan matematika</p><br/><p style="text-align:center;">silahkan cek langsung saja di</p><br/><p style="text-align:center;"><a href="https://www.youtube.com/channel/UCFPc3jai0p0ZFfxw2wdVmyQ">https://www.youtube.com/channel/UCFPc3jai0p0ZFfxw2wdVmyQ</a></p><br/><p style="text-align:center;"><strong><a href="https://www.youtube.com/channel/UCFPc3jai0p0ZFfxw2wdVmyQ">Asimtot 451 di YouTube</a></strong></p><br/><p style="text-align:center;">Terima Kasih</p>udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-54320634120714312032016-11-10T20:29:00.001+07:002017-12-02T06:03:54.555+07:00Fibonacci pada 998999<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<strong> </strong><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/07/satu-per-998999.jpg"><img alt="" class="alignright size-medium wp-image-3750" height="188" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/07/satu-per-998999.jpg?w=300&h=188" title="satu per 998999" width="300" /></a><strong></strong><br />
Tahu tidak, fibonacci ada di 998999. Bilangan ini bukan merupakan
bilangan prima. memang kelihatan tidak ada yang unik dengan bilangan
998999. Tetapi jika kita mengambil nilai <img alt="1/998999" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2F998999&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1/998999" /> atau sering disebut resiprok, maka kita akan mendapatkan suatu hal yang tak terduga.<br />
Nilai dari <img alt="1/998999" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2F998999&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1/998999" /> berhubungan dengan barisan yang sangat terkenal yaitu barisan fibonacci. <br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="\frac{1}{998999}=0,000001001002003005008013021034055089 \dots " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B998999%7D%3D0%2C000001001002003005008013021034055089+%5Cdots+&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="\frac{1}{998999}=0,000001001002003005008013021034055089 \dots " /><br />
<strong> <span id="more-3749"></span><br />
</strong><br />
Ada fibonacci dibalik angka 998999. Unik bukan.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Meskipun tidak semua suku fibonacci masuk ke dalam bentuk ini.
Tetapi, sudah sangat membuat kita heran. Ternyata banyak yang
tersembunyi di matematika.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Mengapa tidak semua suku fibonacci masuk di bentuk seperti itu?<br />
<strong><br />
</strong><br />
Kita mengetahui bahwa banyaknya suku fibonacci adalah tak hingga
banyaknya. Meskipun bilangan fibonacci ke 100 saja sudah besar, tetapi
jika ingin dicari bilangan fibonacci ke 1000 saja pasti nanti ditemukan.<br />
Karena banyaknya suku pada fibonacci adalah tak hingga.<br />
Dan bilangan rasional pasti berulang. Ingat, bentuk <img alt="1/998999" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2F998999&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1/998999" /> adalah bentuk rasional. Jadi, nanti pasti ditemukan suatu pengulangan.<br />
Jadi, tidak semua suku fibonacci masuk di bentuk <img alt="1/998999" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2F998999&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1/998999" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Karena alasan tadi tentunya.<br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="\frac{1}{998999}=0,000001001002003005008013021034055089 \dots " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B998999%7D%3D0%2C000001001002003005008013021034055089+%5Cdots+&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="\frac{1}{998999}=0,000001001002003005008013021034055089 \dots " /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Sangat mengagumkan…</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-55077201722753882122016-11-10T20:27:00.002+07:002017-12-02T06:03:54.558+07:00Bernoulli<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<h2>
</h2>
<strong>Bernoulli</strong><br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/daniel-bernoulli.jpg"><img alt="" class="size-full wp-image-145 aligncenter" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/daniel-bernoulli.jpg?w=595" title="daniel bernoulli" /></a></div>
Bernoulli ini adalah matematikawan yang sering disebut sebagai
keluarga Bernoulli. Karena di dalamnya ada banyak ilmuwan yang berasal
dari keluarga Bernoulli. Dan nama-namanya pun mengandung kata Bernoulli.
Pada abad ke-18 sumbangan yang sangat besar yang diberikan oleh
keluarga Bernoulli dari Swiss.<br />
<a name='more'></a><br />
<strong>Jacob Bernoulli</strong><br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/jakob-bernoulli.jpg"><img alt="" class="aligncenter" height="277" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/jakob-bernoulli.jpg?w=182&h=277" title="jakob bernoulli" width="182" /></a></div>
Lahir : 1654<br />
Meninggal : 1705<br />
Jacob dan saudaranya adalah ahli pertama yang menggunakan kalkulus
sebagai alat yang kuat untuk menyelesaikan berbagai macam soal
matematika. Pada tahun 1687-1705, ia Jacob Bernoulli menjabat sebagai <span id="more-144"></span>ketua
Universitas Basel. Pada tahun 1697, Johann Bernoulli menjadi guru besar
di Universitas Groningen. Setelah Jacob meninggal tahun 1705, ia
menggantikannya sebagai ketua Universitas Basel. Diantara penemuan Jacob
adalah pemakaian koordinat polar untuk menentukan jari-jari
kelengkungan datar. Ia menyelidiki sifat-sifat kurva cotangent, kurva
datar derajat tinggi dan penemuan kurva isochrones.<br />
Di dalam teori peluang, kita mengenal penemuannya yang disebut dengan
distribusi Bernoulli. Dalam aljabar dikenal dengan bilangan Bernoulli
dan polynomial Bernoulli. Penyelidikannya atas kurva isochrones
diterbitkan dalam majalah Acta Eruditorium pada tahun 1690. Dalam
tulisan itu ia memperkenalkan istilah integral dalam kalkulus.<br />
Pada tahun 1696, Jacob bersama Leibnitz mengganti istilah kalkulus Summatoris menjadi Kalkulus Integralis.<br />
<strong>Johann Bernoulli</strong><br />
Lahir : 1667<br />
Meninggal : 1748<br />
Johann adalah seorang guru besar terkemuka di eropa pada masanya. Ia
mengusahakan pentingnya peranan integral supaya dihargai ahli-ahli di
eropa. Ia bersama muridnya d’L Hospital menyusun buku teks kalkulus yang
pertama. diperkenalkannya bentuk tak tentu 0/0 yang kemudian diperbaiki
de L’ Hospital. Ia menemukan trayektori orthogonal dari berbagai kurva,
menguraikan sifat-sifat kurva cycloid. Ia menyelidiki suatu kurva dalam
medan gravitasi yang dilalui oleh suatu partikel, ditempuh dalam waktu
tercepat antara dua titik. Kurva itu brachstochrone.<br />
Ia menyelidiki kurva-kurva yang dilalui suatu partikel sehingga tiba
di suatu titik dalam waktu yang sama walaupun titik awal dari partikel
itu berbeda. Kurva-kurva itu disebut tautochrone. Persoalan itu kemudian
dibahas oleh Euler, Lagragne, dan dipecahkan oleh Huygens pada tahun
1673 dan oleh Newton pada tahun 1687. Hasilnya kemudian digunakan <a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/05/18/huygens/" title="Huygens">Huygens</a>
dalam menciptakan jam bandul. Ia juga menulis persamaan differensial.
Mengenai teori probabilitas, ia menulis untuk akademi St Petersburg,
kemudian tulisannya itu dikenal dengan istilah Paradoks St Petersburg.<br />
Soal paradox itu adalah :<br />
Si A akan menerima satu penny jika muncul head (gambar) pada lemparan
pertama, akan menerima dua penny jika tidak muncul gambar sampai dua
kali lemparan suatu mata uang logam, akan menerima empat penny jika
tidak muncul hingga lempar ke empat. Dan seterusnya. Berapa harapan dari
A? menurut teori matematika, harapan dari A adalah tak berhingga. Yang
menimbulkan paradox. Johann meninggal karena tenggelam dan ia
meninggalkan tiga putra yaitu Nicolas, Daniel dan Johann II. Ketiga
putranya juga kemudian menjadi ahli matematika. Dan yang lebih terkenal
adalah Daniel.<br />
<strong>Daniel Bernoulli</strong><br />
Lahir :1700<br />
Meninggal : 1782<br />
Ia melanjutkan penelitian tentang paradox St Petersburg. Pada tahun
1783 ia menulis tentang hidrodinamika dan penemuannya didapati pada
buku-buku teks fisika elementer sekarang. Ia juga menulis tentang teori
kinetis dari gas-gas. Daniel menjadi pelopor dari hitungan differensial
Parsial.<br />
<strong>Johann II Bernoulli</strong><br />
Lahir : 1710<br />
Meninggal : 1790<br />
Pendidikan utamanya adalah di bidang hokum. Tetapi berbakat dalam
matematika dan mempelajari teori matematika tentang panas dan cahaya.
Sehingga kemudian ia dapat menjadi guru besar matematika di basel.<br />
<strong>Johann III Bernoulli</strong><br />
Lahir : 1744<br />
Meninggal : 1807<br />
Semula belajar tentang hokum. Tetapi kemudian beralih ke matematika dan menjadi guru besar matematika ada academy berlin.<br />
Ia menulis tentang Astronomi, Teori Peluang dan persamaan-persamaan tak tertentu.</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-64982317433987939552016-11-09T15:09:00.002+07:002017-12-02T06:03:54.567+07:00Metode Numerik – Solusi Persamaan Non Linear<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<b> </b><br />
Dalam metode numerik, untuk mencari solusi
persamaan non linear, kita bisa menggunakan berbagai macam metode.
Sebelumnya, kita perhatikan sekilas Latar Belakang berikut :<br />
<b><br /> </b><br />
Dalam
bidang sains dan rekayasa, para ahli ilmu alam dan rekayasawan sering
berhadapan dengan persoalan mencari solusi persamaan – lazim disebut
akar persamaan (root of equation) atau nilai-nilai nol – yang berbentuk
$latex f(x)=0$. Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya.
Misalnya, $latex 2x+3=0,$ solusi atau akarnya adalah $latex x=-3/2$.<br />
Umumnya
persamaan yang kan dipecahkan muncul dalam bentuk non linear yang
melibatkan bentuk sinus, cosines, eksponensial, ligaritma, dan fungsi
transenden lainnya. Misalnya, akar real terkecil dari <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<br />
<div data-mce-style="text-align: center;" style="text-align: center;">
$ 9,34-21,97x+16,3x^3-3,704x^5=0.$ <img alt="" class="wp-more-tag mce-wp-more" data-mce-placeholder="1" data-mce-resize="false" data-wp-more-text="" data-wp-more="more" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7" title="Baca selanjutnya..." /></div>
<b><br /> </b><br />
Contoh
diatas memperlihatkan bentuk persamaan yang rumit/ kompleks yang tidak
dapat dipecahkan secara analitik (seperti persamaan kuadratik pada
paragraph awal). Bila metode analitik tidak dapat menyelesaikan
persamaan, maka kita masih bias mencari solusinya dengan mengguakan
metode numerik.<br />
Berdasarkan latar belakang diatas, akan dijelaskan beberapa metode dalam penyelesaian persamaan non linear.<br />
<b><br /> </b><br />
Lalu, apa saja metode-metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini? Berikut :<br />
<b><br /> </b><br />
<h2>
<b>Metode Pencarian Akar</b><b>, dibagi menjadi dua :</b></h2>
<br />
<b>Metode Tertutup Atau Metode Pengurung (bracketing method)</b><br />
1. Metode Bagi Dua atau Metode Bolzano<br />
2. Metode Regula-Falsi (Bahasa Latin) atau Metode Posisi Palsu. (False Position Method).<br />
3. Perbaikan Metode Regula-Falsi (modified false position method).<br />
<br />
<b> </b><br />
<b>Metode terbuka</b><br />
Yang termasuk dalam metode terbuka adalah :<br />
1. Metode lelaran titik tetap (<i>fixed-point interation</i>)<br />
2. Metode Newton-Raphson<br />
3. Metode Secant<br />
<b><br /> </b><br />
Untuk selengkapnya, makalah bisa didownload di link berikut ini<br />
<a data-mce-href="http://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/solusi-persamaan-non-linear.pdf" href="http://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/solusi-persamaan-non-linear.pdf">Makalah : Metode Numerik - Solusi Persamaan Non Linear</a><br />
<b> </b><br />
Tulisan Terbaru :<br />
[archives limit=7]</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-62901525221482570442016-10-22T08:40:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.562+07:0013Masuk ditus Random.org, malah dapat bilangan 13. Oke.. Silahkan!!!<br/><br/><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2016/10/random-13.jpg"><img class="aligncenter size-large wp-image-5536" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2016/10/random-13.jpg?w=595" alt="random-13" width="595" height="196" /></a><br/><br/>Sebagian besar orang mengatakan bahwa 13 adalah angka sial. Dibalik kesialan angka tersebut ternyata terdapat suatu hal yang lain dari pada yang lain. Yaitu satu per tigabelas. Apabila angka berulang dibelakang koma diambil dan dikalikan dengan angka 1 sampai 12, maka akan membentuk suatu hasil yang unik. Yaitu hasil perkaliannya mempunyai angka yang sama. Yang berbeda hanya letak digit-digit angkanya saja.<br/><br/>Nilai dari 1/13 itu sendiri adalah 0,07692307692307692307…<br/>Kemudian kita ambil angka dibelakang koma yang berulang, yaitu 076923. <a name='more'></a><br/><br/>076923<br/><br/>Pisahkan angka-angkanya menjadi 2-angka (3 bilangan)<br/><br/>07 69 23<br/><br/>07+69+23=99<br/><br/>Pisahkan angka-angkanya menjadi 3-angka (2 bilangan)<br/><br/>076 923<br/><br/>076+923=999<br/><br/>Kuadratkan, lalu pisahkan menjadi 2 bilangan<br/><br/>?076923?^2=5.917.147.929<br/><br/>5.917 147.929<br/><br/>5.917+147.929=153846=2×076923<br/><br/><strong> </strong><br/>Kalikan dengan bilangan 1 sampai 12<br/><br/>076923×1=076923<br/>076923×2=153846<br/>076923×3=230769<br/>076923×4=307692<br/>076923×5=384615<br/>076923×6=461538<br/>076923×7=538461<br/>076923×8=615384<br/>076923×9=692307<br/>076923×10=769230<br/>076923×11=846153<br/>076923×12=923076<br/><br/><strong> </strong><br/><br/>Hasilnya setelah dibagi ke dalam dua kolom adalah sebagai berikut<br/><br/>076923×1=076923 076923×2=153846<br/>076923×10=769230 076923×8=615384<br/>076923×9=692307 076923×6=461538<br/>076923×12=923076 076923×11=846153<br/>076923×3=230769 076923×5=384615<br/>076923×4=307692 076923×7=538461<br/><br/><strong> </strong><br/><br/>Hasil perkalian bilangan 076923 dengan angka-angka tertentu seperti di atas, menghasilkan bilangan yang unik. Bilangan yang dihasilkan mempunyai angka-angka yang sama dengan hasil perkalian bilangan tertentu yang lain. Perhatikan hasil dari perkalian pada tabel bagian kiri dan tabel bagian kanan!<br/>Angka-angka pada hasil perkaliannya sama. Hanya letaknya saja yang bergeser.<br/>Uniknya, jumlah dari bilangan pengalinya pada bagian kiri dan bagian kanan adalah sama. Pada bagian kiri, jumlah pengalinya adalah<br/><br/>1 + 10 + 9 + 12 + 3 + 4 = 39.<br/><br/>Pada bagian kanan, jumlah pengalinya adalah<br/><br/>2 + 8 + 6 + 11 + 5 + 7 = 39.<br/><br/>Selain itu, jumlah digit-digit dari bilangan 076923 dan 153846 adalah sama.<br/><br/>0 + 7 + 6 + 9 + 2 + 3 = 27<br/>1 + 5 + 3 + 8 + 4 + 6 = 27<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>13 dan 7</strong><br/>1/13=0,076923076923…<br/>1/7= 0.142857142857…<br/><br/>Angka berulang untuk 1/13 adalah 076923. Angka berulang untuk 1/7 adalah 142857.<br/>Kalikan kedua bilangan tersebut<br/><br/>076923×142857=10.988.989.011<br/><br/>Pisahkan menjadi dua bagian<br/><br/>10.988 989.011<br/><br/>10.988+989.011=999.999<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>Ciri bilangan habis dibagi 13</strong><br/>Multiplier dari 13 adalah 9<br/>Jadi, ciri bilangan habis dibagi 13 adalah<br/><br/>“Satuannya dipisahkan dari bilangan semula. Jika bilangan yang tanpa satuan itu dikurangi 9 kali satuannya (proses berulang-ulang) dan jika hasilnya habis dibagi 13, maka bilangan semula habis dibagi 13”<br/><br/>Misalnya, apakah 9074 habis dibagi 13?<br/>907-4(9)=871<br/>87-1(9)=78<br/>Karena 78 habis dibagi 13, maka 9074 habis dibagi 13<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>Ada apa dengan 13?</strong><br/>Beberapa orang tidak akan mau bekerja pada hari jumat, tanggal 13<br/>Beberapa orang tidak akan mau makan di restoran pada hari jumat, tanggal 13<br/>Beberapa orang tidak akan bepergian pada hari jumat, tanggal 13<br/>Banyak bangunan yang tidak memiliki lantai 13, dan banyak Hotel yang tidak memiliki kamar dengan nomor 13, kebanyakan menggunakan 12A<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>Unik pada 13</strong><br/>Bilangan 13, terdiri dari angka 1 dan 3 adalah bilangan prima ke 6<br/><br/>?13?^2=169<br/>?31?^2=961<br/><br/>(1+3)^2=1+6+9<br/>(3+1)^2=9+6+1<br/><br/>2^2=13-(1^2×3^2 )<br/>? 3?^2=13-(1+3)<br/>? 4?^2=13+(1×3)<br/><br/>3^3+4^3=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=-5^2+6^2<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>Fakta-fakta mengenai angka 13</strong><br/>ELEVEN+TWO=TWELVE+ONE (anagram)<br/><br/><strong> </strong><br/><br/>Penjumlahan bilangan prima dari yang terkecil sampai 13 sama dengan bilangan prima ke-13<br/>2+3+5+7+11+13=41 dan 41 merupakan bilangan prima ke-13<br/><br/>1, bukan prima<br/>212, bukan prima<br/>32123, bukan prima<br/>4321234, bukan prima<br/>543212345, bukan prima<br/>65432123456, bukan prima<br/>7654321234567, bukan prima<br/>876543212345678, bukan prima<br/>98765432123456789, bukan prima<br/>109876543212345678910, bukan prima<br/>1110987654321234567891011, bukan prima<br/>12111098765432123456789101112, bukan prima<br/>131211109876543212345678910111213, merupakan bilangan prima<br/>1413121110987654321234567891011121314 bukan prima<br/>…<br/>(masih belum tahu, apakah masih ada bilangan prima lagi untuk selanjutnya)<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><em><strong>13 adalah salah satu bilangan Fibonacci yang merupakan bilangan Prima</strong></em><br/><em><strong> Bilangan Fibonacci ke-13 adalah Bilangan Prima</strong></em><br/><br/>3,1415926535897932384626433832795028841971693993751<br/>05820974944592307816406286208998628034825342117067<br/>982148086513...<br/>(13 ada pada urutan ke 111)<br/>Jumlah angka-angka pada faktor dari 111 adalah 13 (yaitu 37×7, dan 3+7+7=13)<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>1000000000039</strong><br/>adalah Prima. dengan banyaknya angka adalah 13, jumlah angka-angkanya juga 13<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>Pangkat 3</strong><br/>1^3=1<br/>2^3=8<br/>3^3=27<br/>4^3=64<br/>5^3=125<br/>6^3=216<br/>7^3=343<br/>8^3=512<br/>9^3=729<br/>?10?^3=1000<br/>?11?^3=1331<br/>?12?^3=1728<br/>?13?^3=2197<br/>2197172813311000729512343216125642781 adalah bilangan prima<br/><br/><strong> </strong><br/><br/>13 bilangan 3-angka yang jika dipangkatkan 3, menghasilkan suatu bilangan yang 3 angka belakangnya sama dengan bilangan semula.<br/>13 bilangan 3 angka tersebut adalah bilangan-bilangan 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875 dan 999<br/>?249?^3=15438249<br/>?251?^3=15813251<br/>?375?^3=52734375<br/><br/><strong> </strong><br/><br/>Bilangan prima siklis. 13 bilangan prima, dan 31 juga bilangan prima. Beberapa bilangan prima siklis yang lain, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197, 199, 311, 337, 373, 719, 733, 919, 971, 991, 1193, 1931, 3119, 3779, 7793, 7937, 9311, 9377, 11939, 19391, 19937, 37199, 39119, 71993, 91193, 93719, 93911, 99371, ...<br/><br/><strong> </strong><br/><br/>Penjumalahan 13 bilangan prima pertama adalah 238, dimana 2+3+8=13<br/>2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41=238<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>Tulisan Terbaru :</strong><br/>[archives limit=7]udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-72720141014174901152016-10-22T08:29:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.571+07:00Hasil sementara Polling 1 Asimtot BlogPembaca setia Asimtot pasti mengetahui tentang adanya polling yang diadakan oleh asimtot.. Bagi yang belum tahu silahkan masuk di sini : <a href="https://asimtot.wordpress.com/polling-asimtot/">https://asimtot.wordpress.com/polling-asimtot/</a><br/><br/>Salah satu Polling tersebut menanyakan tentang apa Hambatan dalam belajar MATEMATIKA?<br/><br/>Dengan pilihan beberapa jawaban :<br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Guru tidak cocok<br/></span></span></span><a name='more'></a><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Banyak rumus</span></span></span><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Materinya susah</span></span></span><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Bikin ngantuk</span></span></span><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Tidak tertarik</span></span></span><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Buku sulit dipahami</span></span></span><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Tidak bisa dasarnya (kurang bisa menghitung)</span></span></span><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Materinya berhubungan (lupa materi lama)</span></span></span><br/><br/><span id="pds-answer5995860"><span class="pds-answer-group"><span class="pds-answer-span">Lain-lain (tulis saja di komentar)</span></span></span><br/><br/><strong> </strong><br/><br/>22 Oktober 2016 saya memberikan sedikit bocoran hasil polling yang telah terisi. Dan inilah hasilnya<br/><br/><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2016/10/polling-1.jpg"><img class="aligncenter size-large wp-image-5531" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2016/10/polling-1.jpg?w=595" alt="polling-1" width="595" height="41" /></a><br/><br/><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2016/10/polling-hambatan-belajar-matematika.jpg"><img class="aligncenter size-large wp-image-5530" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2016/10/polling-hambatan-belajar-matematika.jpg?w=595" alt="polling-hambatan-belajar-matematika" width="595" height="260" /></a><br/><br/>Total sebanyak 690 suara terlah masuk ke dalam daftar polling tersebut.. Dan 24% memilih "Guru yang tidak cocok".<br/><br/>Bagaimana menurut pembaca? Apakah pembaca juga setuju jika hambatan belajar matematika adalah dari guru yang tidak cocok?<br/><br/>Matematika memang salah satu pelajaran yang sulit untuk dipelajari sendiri. Karena butuh penjelasan mengenai konsep materinya. Butuh tenaga pembimbing yang benar2 handal. Bahkan menurut penulis, perlu ada pembimbingan untuk memahami konsep2 yang ada di pelajaran ini. Karena kemampuan siswa untuk memahami materi itu cepat dan tidaknya adalah berbeda-beda. Ada siswa yang hanya dijelaskan 1 sampai 3 kali saja sudah mengerti. Ada siswa yang harus dijelaskan lebih dari 3 kali baru mengerti. Dan tentu saja, bagi siswa yang tidak berminat dengan pelajaran matematika, akan cepat untuk dilupakannya.<br/><br/>Materinya susah adalah jawaban terbanyak kedua. Dibandingkan dengan pelajaran lainnya, kebanyakan orang/siswa akan mengatakan materi matematika itu susah. bahkan yang paling susah. Tentu saja ini juga dikarenakan tipe/jenis siswa itu berbeda-beda. :)<br/><br/>Mungkin itu dulu yang bisa disampaikan untuk hasil polling sementara yang sudah ada ini. untuk kelanjutannya, hasil berikutnya jika sudah banyak bertambah, akan diposting ulang. :)<br/><br/>Sekian Terima Kasih<br/><br/><strong> </strong><br/><br/><strong>Tulisan Terbaru :</strong><br/>[archives limit=7]udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-45124203461045318712016-09-01T18:35:00.006+07:002017-12-02T06:03:54.553+07:00Palindrom<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<h3 style="text-align: left;">
</h3>
<h3 style="text-align: left;">
Bilangan palindrom</h3>
Palindrom adalah dibaca dari depan dan dari belakang adalah sama. Misalnya palindrom pada kata.<br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<b>Kasur rusak</b>, <b>saras</b>, <b>ini</b>, dan sebagainya.</div>
<div style="text-align: center;">
<b> </b></div>
Pada sebuah bilangan disebut bilangan palindrom jika dibaca dari
depan dan dari belakang hasilnya adalah sama. Misalnya 11, 3332333,
87678, 9019109, dan sebagainya…<br />
Untuk membuat bilangan palindrom. Yang harus dilakukan adalah sangat
sederhana. Hanya menjumlahkan bilangan dengan bilangan tersebut yang
ditulis dari belakang. Misalnya kita ambil sebarang bilangan 45. Yang
kita lakukan hanyalah menjumlahkan seperti ini. 45 + 54 = 99. Suda
membentuk suatu palindrom bukan! <span id="more-1358"></span><br />
<b></b><br />
Kita mulai dengan<br />
<br />
129 + 921 = 1050, 1050 + 501 = 1551. Membentuk palindrom.<br />
86 + 68 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111. Membentuk palindrom…<br />
<br />
Sekarang coba mulai dengan angka 97 <br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<br />
<b>97 + 79 = 176</b><br />
<b>176 + 671 = 847</b><br />
<b>847 + 748 = 1595</b><br />
<b>1595 + 5951 = 7546</b><br />
<b>7546 + 6457 = 14003</b><br />
<b>14003 + 30041 = 44044</b><br />
<b><br />
</b><br />
Membentuk suatu palindrom. Meskipun langkah yang ditempuh sangatlah
panjang. tetapi pada akhirnya akan membentuk suatu palindrom.<br />
<br />
<b>Coba mulai dengan angka 98</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>Jika kalian memang merasa tertarik dengan matematika.
Palindrom yang bagaimana yang akan terjadi jika kita mulai dari 98. Coba
lakukan!</b><br />
<h3 style="text-align: left;">
</h3>
<h3 style="text-align: left;">
Palindrom yang bagus</h3>
<b> </b><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/01/palindrom-yang-bagus.jpg"><img alt="" class="size-medium wp-image-2556 aligncenter" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/01/palindrom-yang-bagus.jpg?w=300&h=219" title="palindrom yang
bagus" /></a><br />
<b> </b><br />
Bilangan palindrom merupakan bilangan yang dibaca dari belakang
bernilai sama dengan ketika dibaca dari belakang. Misalnya, 232 ini akan
sama dengan jika dibaca dari belakang, yaitu sama dengan 232. <span id="more-2555"></span><br />
Keunikan-keunikan pada bilangan palindrom juga sangatlah banyak
macamnya. Bilangan palindrom berikut ini adalah bilangan palindrom yang
ada di basis 10 dan ada di basis 2. Suatu bilangan yang apabila
dituliskan di basis 10 maupun dituliskan di basis 2 akan membentuk
palindrom.<br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="585" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=585&bg=ffffff&fg=555555&s=3" title="585" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br />
</b></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="(1001001001)_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%281001001001%29_2&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="(1001001001)_2" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b> </b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br />
</b></div>
Bilangan palindrom yang lain ini sama dengan penjumlahan kuadrat bilangan berurutan.<br />
<b> </b><br />
<img alt="55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=55%3D1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B4%5E2%2B5%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2" /><br />
<img alt="77=4^2+5^2+6^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=77%3D4%5E2%2B5%5E2%2B6%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="77=4^2+5^2+6^2" /><br />
<img alt="434=11^2+12^2+13^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=434%3D11%5E2%2B12%5E2%2B13%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="434=11^2+12^2+13^2" /><br />
<img alt="1111=11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1111%3D11%5E2%2B12%5E2%2B13%5E2%2B14%5E2%2B15%5E2%2B16%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1111=11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" /><br />
<img alt="181=9^2+10^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=181%3D9%5E2%2B10%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="181=9^2+10^2" /><br />
<img alt="1441=6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1441%3D6%5E2%2B7%5E2%2B8%5E2%2B9%5E2%2B10%5E2%2B11%5E2%2B12%5E2%2B13%5E2%2B14%5E2%2B15%5E2%2B16%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1441=6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" /><br />
<b> </b><br />
Dan masih banyak yang lainnya.<br />
<b> </b><br />
Palindrom berupa bilangan prima juga merupakan salah satu yang unik.
11 adalah palindrom 2 digit. Dan hanya 11 bilangan prima 2 digit yang
membentuk palindrom. 14341 merupakan bilangan palindrom yang sekaligus
bilangan prima juga. Dan masih banyak yang lain-lainnya.<br />
<b> </b><br />
Palindrom pada jam digital juga bisa terjadi, yaitu misalnya ketika
pukul 11:11:11, ketika pukul 05:55:50, dan banyak lagi yang lain. Pada
tanggal yang dipersingkat juga bisa membentuk palindrom.<br />
Jika 2011, kita tuliskan menjadi 11, maka bilangan 11-11-11 ini
adalah bilangan palindrom. 11:11:11 11-11-11, pukul 11 lebih 11 menit 11
detik pada waktu tanggal 11 november 2011.<br />
<b> </b><br />
Cara untuk mendapatkan bilangan palindrome bisa didapatkan dengan
cara menjumlahkan bilangan dengan bilangan itu sendiri yang dibaca dari
belakang. Ini dilakukan terus-menerus sampai menemukan bilangan
palindrom.<br />
Misalnya kita mulai dari bilangan 28, maka kita jumlahkan dengan bilangan itu yang dibaca dari belakang. <img alt="28+82=110" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=28%2B82%3D110&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="28+82=110" />, karena belum membentuk bilangan palindrome, maka lakukan lagi proses tersebut. <img alt="110+011=121" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=110%2B011%3D121&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="110+011=121" />. Sudah membentuk bilangan palindrom.<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
93 bilangan prima 5-digit yang membentuk palindrom</h3>
<b> </b><br />
Dari judul dikatakan bahwa ada 93 bilangan prima yang membentuk palindrome. Bilangan-bilangan prima itu adalah<br />
<b> </b><br />
<img alt="10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,13331," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=10301%2C10501%2C10601%2C11311%2C11411%2C12421%2C12721%2C12821%2C13331%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,13331," /><br />
<img alt="13831,13931,14341,14741,15451,15551,16061,16361,16561," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=13831%2C13931%2C14341%2C14741%2C15451%2C15551%2C16061%2C16361%2C16561%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="13831,13931,14341,14741,15451,15551,16061,16361,16561," /> <span id="more-2140"></span><br />
<img alt="16661,17471,17971,18181,18481,19391,19891,19991,30103," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=16661%2C17471%2C17971%2C18181%2C18481%2C19391%2C19891%2C19991%2C30103%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="16661,17471,17971,18181,18481,19391,19891,19991,30103," /><br />
<img alt="30203,30403,30703,30803,31013,31513,32323,32423,33533," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=30203%2C30403%2C30703%2C30803%2C31013%2C31513%2C32323%2C32423%2C33533%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="30203,30403,30703,30803,31013,31513,32323,32423,33533," /><br />
<img alt="34543,34843,35053,35153,35353,35753,36263,36563,37273," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=34543%2C34843%2C35053%2C35153%2C35353%2C35753%2C36263%2C36563%2C37273%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="34543,34843,35053,35153,35353,35753,36263,36563,37273," /><br />
<img alt="37573,38083,38183,38783,39293,70207,70507,70607,71317," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=37573%2C38083%2C38183%2C38783%2C39293%2C70207%2C70507%2C70607%2C71317%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="37573,38083,38183,38783,39293,70207,70507,70607,71317," /><br />
<img alt="71917,72227,72727,73037,73237,73637,74047,74747,75557," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=71917%2C72227%2C72727%2C73037%2C73237%2C73637%2C74047%2C74747%2C75557%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="71917,72227,72727,73037,73237,73637,74047,74747,75557," /><br />
<img alt="76367,76667,77377,77477,77977,78487,78787,78887,79397," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=76367%2C76667%2C77377%2C77477%2C77977%2C78487%2C78787%2C78887%2C79397%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="76367,76667,77377,77477,77977,78487,78787,78887,79397," /><br />
<img alt="79697,79997,90709,91019,93139,93239,93739,94049,94349," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=79697%2C79997%2C90709%2C91019%2C93139%2C93239%2C93739%2C94049%2C94349%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="79697,79997,90709,91019,93139,93239,93739,94049,94349," /><br />
<img alt="94649,94849,94949,95959,96269,96469,96769,97379,97579," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=94649%2C94849%2C94949%2C95959%2C96269%2C96469%2C96769%2C97379%2C97579%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="94649,94849,94949,95959,96269,96469,96769,97379,97579," /><br />
<img alt="97879,98389,98689" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=97879%2C98389%2C98689&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="97879,98389,98689" /><br />
<b> </b><br />
Sebanyak 93 bilangan prima 5-digit yang membentuk palindrom.<br />
26 bilangan yang diawali dengan angka 1.<br />
24 bilangan yang diawali dengan angka 3.<br />
24 bilangan yang diawali dengan angka 7.<br />
Dan 19 bilangan yang diawali dengan angka 9.<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
Palindrom 4 angka selalu habis dibagi 11</h3>
<b> </b><br />
Misalnya 1111. Merupakan palindrom dengan 4 digit. 1111 habis dibagi
11 yaitu hasilnya 101. Begitu juga dengan palindrom 4 digit yang lain.
Misalnya 2332. Merupakan palindrom 4 digit. Dan 2332 habis dibagi 11.
Hasilnya yaitu 212.<br />
Mengapa bisa terjadi hal seperti itu?<br />
Perhatikan ciri sebuah bilangan habis dibagi 11 berikut ini :<br />
Sebuah bilangan habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut
merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah
digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi
11. <span id="more-1475"></span><br />
<br />
Misalnya<br />
Apakah 1221 habis dibagi 11?<br />
1 – 2 + 2 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 11. Maka 1221 habis dibagi 11.<br />
Untuk sebarang bilangan misalnya <img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)" /> sebanyak n digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk<br />
<b> </b><br />
<img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3Da_1+%5Ctimes+10%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_2+%5Ctimes+10%5E%7Bn-2%7D%2B+%5Cdots%2B+a_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+10+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n " /><br />
<b> </b><br />
Sekarang kita perhatikan hal berikut ini :<br />
<br />
1 = 0 + 1<br />
10 = 11 – 1<br />
100 = 99 + 1<br />
1000 = 1001 – 1<br />
10000 = 9999 + 1<br />
…<br />
dan seterusnya…<br />
<b> </b><br />
perhatikan bahwa 0, 11, 99, 1001, 9999, … merupakan kelipatan 11<br />
<b> </b><br />
<img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times 100 +a_{n-1} \times 10 + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3Da_1+%5Ctimes+10%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_2+%5Ctimes+10%5E%7Bn-2%7D%2B+%5Cdots%2B+a_%7Bn-2%7D+%5Ctimes+100+%2Ba_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+10+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times 100 +a_{n-1} \times 10 + a_n " /><br />
<img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3Da_1+%5Ctimes+10%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_2+%5Ctimes+10%5E%7Bn-2%7D%2B+%5Cdots%2B+a_%7Bn-2%7D+%5Ctimes+%2899%2B1%29+%2B+a_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+%2811-1%29+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " /><br />
<b> </b><br />
Untuk memudahkan kita anggap banyaknya digitnya sebarang.<br />
<b> </b><br />
<img alt="( \dots a_{n-1} a_n)= \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3D+%5Cdots%2B+a_%7Bn-2%7D+%5Ctimes+%2899%2B1%29+%2B+a_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+%2811-1%29+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots a_{n-1} a_n)= \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " /><br />
<img alt="( \dots a_{n-1} a_n)= ( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1}) + ( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3D+%28+%5Cdots+%2B+99a_%7Bn-2%7D+%2B+11a_%7Bn-1%7D%29+%2B+%28+%5Cdots+%2B+a_%7Bn-2%7D+-+a_%7Bn-1%7D+%2B+a_n%29+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots a_{n-1} a_n)= ( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1}) + ( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " /><br />
<b> </b><br />
Jika <img alt="( \dots a_{n-1} a_n)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots a_{n-1} a_n)" /> habis dibagi 11. Dan <img alt="( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1})" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+%2B+99a_%7Bn-2%7D+%2B+11a_%7Bn-1%7D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1})" /> habis dibagi 11. Maka haruslah <img alt="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+%2B+a_%7Bn-2%7D+-+a_%7Bn-1%7D+%2B+a_n%29+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " /> habis dibagi 11. Jadi, ciri habis dibagi 11 adalah <img alt="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+%2B+a_%7Bn-2%7D+-+a_%7Bn-1%7D+%2B+a_n%29+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " />
habis dibagi 11. Yaitu jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit
satuan dimulai dari tanda positif hasilnya habis dibagi 11.<br />
<b> </b><br />
Dan sekarang kita perhatikan bahwa setiap bilangan palindrom 4 digit.
Maka jika kita lakukan langkah ciri bilangan habis dibagi 11. Yaitu
menjumlahkan digit-digitnya dari digit satuan dengan tanda positif
terlebih dahulu. Maka nanti hasilnya pasti nol. Karena bilangan
palindrom 4 digit berbentuk (aaaa) atau (abba). Untuk (aaaa) sudah pasti
habis dibagi 11. Karena<br />
a – a + a – a = 0<br />
Untuk (abba), a – b + b – a = 0. Maka abba juga habis dibagi 11.<br />
<b> </b><br />
Dengan demikian terbukti bahwa bilangan berdigit 4 yang membentuk palindrom, habis dibagi 11.<br />
Begitu juga untuk bilangan berdigit 2, 6, 8, 10, dst.. bisa dibuktikan sendiri.<br />
<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
15 bilangan prima 3-digit yang membentuk palindrom</h3>
<b> </b><br />
Palindrom adalah sesuatu yang dibaca dari depan dan dari belakang
adalah sama. Maksudnya jika dibaca dari arah kiri ke kanan atau dari
kanan ke kiri maka hasilnya adalah sama. Palindrom ini bukan hanya ada
pada kata. Tetapi pada bilangan juga ada palindrom.<br />
<div style="text-align: left;">
Misalnya <img alt="212,23432" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=212%2C23432&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="212,23432" /> dan sebagainya</div>
<div style="text-align: left;">
<span id="more-1220"></span></div>
Bilangan-bilangan prima berikut ini adalah bilangan-bilangan prima
3-digit yang membentuk palindrome. Ada 15 bilangan, sebagai berikut<br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="101,131,151,181,191,313,353,373,383," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=101%2C131%2C151%2C181%2C191%2C313%2C353%2C373%2C383%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="101,131,151,181,191,313,353,373,383," /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="727,757,787,797,919" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=727%2C757%2C787%2C797%2C919&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="727,757,787,797,919" /> dan <img alt="929" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=929&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="929" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b> </b></div>
Palindrom pada bilangan prima, semuanya berdigit ganjil (kecuali
bilangan 11). Bilangan 11 adalah salah satu bilangan prima yang
membentuk palindrome yang berdigit genap. Hanya terdiri dari 2-digit.
Untuk palindrome yang terdiri dari 1-digit yaitu 2, 3, 5 dan 7.
Tentunya, semua bilangan 1 digit membentuk palindrom. Begitu juga untuk
semua bilangan prima 1-digit.<br />
Bilangan prima 4 digit tidak ada yang membentuk palindrom. Karena
bilangan-bilangan palindrom berdigit sebanyak genap, habis dibagi oleh
11.</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-17256688452763015012016-09-01T18:35:00.005+07:002017-12-02T06:03:54.528+07:00Soal dan Solusi Nomor 18 s.d. 21<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<h3 style="text-align: left;">
Soal dan Solusi #18</h3>
Diambil dari grup facebook soul-mate-matika, ketika dulu saya jadi
adminnya. :p Kemudian saya buatkan arsipnya di blog soul-mate-matika
yang saya buat juga. Sekarang saya posting ulang di blog ini supaya jadi
satu kesatuan, yaitu asimtot, membahas masalah matematika.<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 56</b><br />
<b>Mas Aziz</b><br />
Solve This Problems Guys !<br />
Determine all integers n such that<br />
n^4 – 4n^3 + 15n^2 – 30n + 27<br />
is a prime number. <span id="more-5105"></span><br />
<b> </b><br />
<b>Solusi 56</b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
cmn satu nilai n yg memenuhi, yaitu n=2. ^__^<br />
<b> </b><br />
<b>Mas Aziz</b><br />
bukti??? <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<b> </b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
n^4 – 4n^3 + 15n^2 – 30n + 27<br />
= (n^2 – n + 9)(n^2 -3n +3) –><br />
karena prima maka<br />
haruslah salah satu bentuk faktor tersebut bernilai 1<br />
dan yg satunya adalah bil prima.<br />
kasus 1:<br />
n^2 – n + 9=1<br />
n^2 – n + 8=0<br />
tidak ada bilangan n bulat yg memenuhi<br />
kasus 2:<br />
n^2-3n+3=1<br />
n^2-3n+2=0<br />
n=1 atau n=2<br />
untuk n=1 –> n^2 – n + 9=9 (bukan prima)<br />
untuk n=2 –> n^2 – n + 9=11 ( prima)<br />
terbukti hanya ada satu nilai n yg memenuhi, yaitu<br />
n=2<br />
<b> </b><br />
<b>Mas Aziz</b><br />
good job Denis Kinta<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 57</b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
sec40′ + sec80′ + sec160’=?<br />
Sudut dalam satuan derajat<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 57</b><br />
<b>Ali Khan Su’ud</b><br />
ketemu 6 yahh..<br />
dibuat<br />
(1/cos40) + (1/cos80) + (1/160)<br />
(cos80 + cos40)/(cos40.c os80)<br />
ane kerjakan ini dulu<br />
={cos20/cos40.c os80} + {1/cos160}<br />
={cos160.cos20 + cos40.cos80}/{cos40.cos80.cos1 60}<br />
={cos180 + cos140 + cos120 + cos40}/{(cos120+cos40).cos160}<br />
={-1-(1/2)}/{(-cos160/2)+cos160.cos40}<br />
=((-3/2)}/{(-cos160+cos200+cos 120)/2}<br />
={-3}/{(-1/2)}<br />
=6<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 58</b><br />
<b>Listiani Misshayra</b><br />
Ad yg bs soal ni ga:<br />
V25 . V0,2 . V3125 =<br />
(Semua nya akar pangkat 3)<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 58</b><br />
<b>Ervi Ridha Pratiwi II</b><br />
v25 x v0,2 x v3125<br />
= V25 x V(2^3x25x10^(-3 )) x V(5^3 x 25)<br />
= V25 x 0,2V25 x 5V25<br />
= 25<br />
Keterangan:<br />
V adalah akar pangkat tiga. Hanya untuk dipostingan ini. . Oke.<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 59</b><br />
<b>Iceteana Matika</b><br />
V(12+V(12+ V(12+….. )=??<br />
L0k bisa pake cara,<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 59</b><br />
<b>Ervi Ridha Pratiwi II</b><br />
V(12+V(12+V(12+ …..) = x<br />
12+V(12+V(12+.. …) = x”<br />
V(12+V(12+….. ) = x” -12<br />
x = x” -12<br />
x” – x – 12= 0<br />
(x+3)(x-4) = 0<br />
x= -3<br />
x= 4<br />
mk yg memenuhi adalah x = 4<br />
V(12+V(12+V(12+ …..) = 4<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
Soal dan Solusi #19 (Menarik)</h3>
Soal-soal kali ini sedikit lebih rumit dari pada sebelumnya. Bisa buat tambahan belajar kita tentu saja.<img alt="🙂" class="emoji" draggable="false" src="https://s0.wp.com/wp-content/mu-plugins/wpcom-smileys/twemoji/2/72x72/1f642.png" /><br />
<b>Pertanyaan 60</b><br />
Ada lagi soal menarik dari pak Muhtar Utta<br />
<b>Muhtar Utta</b><br />
Tentukan besarnya peluang bahwa bilangan 5*383*8*2*936*5*8*203*9*3*76
habis dibagi 396, dimana setiap tanda * menyatakan angka 0 sampai 9,
dan kesepuluh angka tersebut hanya dipergunakan satu kali.<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 60 </b><span id="more-5107"></span><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
1? Kak, bener ga? Ini saya itung sendiri, bukan ngasal<br />
<b> </b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
Yap 1. Krn gmn pun posisi ny, blngn yg trbntk hbs di bg 9 (jumlah digit
135), hbs di bg 11 (slsh digit pssi gnp dan gnjl 11) dan hbs jg dibg 4
(76 hbs dibg 4)Krn 4,9,11 slng prima, maka blngn tsbt hbs dibg 396.<br />
<b> </b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
396=9.11.4<br />
maka bilangan diatas habis mbagi 9,11,4. Misal blgn sepanjang itu kita sebut=n<br />
4|n , 2digit trakhirnya=76, maka pasti benar.<br />
9|n, maka 9|jumlah digit2 n.<br />
Jumlah digitnya=90+10* .<br />
Krn stiap * diisi angka 0-9 dan berbeda, mk jumlah<br />
10*=45<br />
9|90+45 benar<br />
11|56-10*<br />
11|56-45 benar.<br />
Maka letak angka 0-9 pengganti * gak pengaruh. Sehingga peluang=1<br />
sama aja ky bang denis, tp saya udah terlanjur nulis cara jg<img alt="😀" class="emoji" draggable="false" src="https://s0.wp.com/wp-content/mu-plugins/wpcom-smileys/twemoji/2/72x72/1f600.png" /><br />
Wuihh… Ternyata caranya seperti itu<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 61</b><br />
Soal dari saudari Mella. Ini dia ..<br />
<b>Mella Camelia</b><br />
Diketahui persamaan a^2+a+1=0,<br />
tentukan nilai<br />
(a^128)+(1/a^128)<br />
mohon dibantu ya <b> </b><br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 61</b><br />
<b>Yaya Suhaya</b><br />
-1 kali yah..<br />
<br />
<b>Muhtar Utta</b><br />
a^128)+1/a^128 = -1<br />
<b> </b><br />
<b>Yaya Suhaya</b><br />
a^2+a+1=0<br />
bagi dengan a<br />
a + 1 + 1/a = 0 atau<br />
a + 1/a = -1<br />
Kuadratkan<br />
(a + 1/a)^2 =( -1)^2<br />
a^2 + 2 + 1/a^2 = 1<br />
a^2 + 1/a^2 = -1<br />
dan seterusnya<br />
jadi jawabannya -1mungkin…<br />
<b> </b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
Makasih kakak2, saya coba pahami dulu ya ^^<br />
<b> </b><br />
<b>Ashfaq Ahmad</b><br />
If the value of a^128+1/a^128 is<br />
required then<br />
see<br />
a^128+1/a^128= a^2+1/a^2<br />
cz<br />
a^2=-(a+1)<br />
=>a^4=a^2+2a+1<br />
=>a^4=-a-1+2a+1<br />
=>a^4=a<br />
=>a^128=(a^64)^ 2=((a^16)^4)^2= a^2<br />
=><br />
<b> </b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
Ya, i got it. Thanks a lot<img alt="🙂" class="emoji" draggable="false" src="https://s0.wp.com/wp-content/mu-plugins/wpcom-smileys/twemoji/2/72x72/1f642.png" /><br />
<b> </b><br />
<b>Muhtar Utta</b><br />
a^2 + a + 1=0, a tentu bilangan kompleks.<br />
=> a^2 + a + 1 = 0 x (a – 1)<br />
=> a^3 – 1 = 0<br />
=> a^3 = 1 (a bilangan kompleks)<br />
Karena 128 = 3×42 + 2, maka a^128 = (a^3)^42 x a^2 = a^2<br />
Sehingga,<br />
a^128 + 1/a^128 = a^2 + 1/a^2<br />
Dari a^2 + a + 1=0, maka a + 1/a = -1<br />
Dengan mengkuadratkan, diperoleh<br />
a^2 + 2 + 1/a^2 = 1<br />
atau a^2 + 1/a^2 = -1<br />
Jadi a^128 + 1/a^128 = -1<br />
<b> </b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
Yang aku simpulkan, setiap pangkatnya berbentuk 2^n, jwbnnya -1. Benar ga?<br />
Wah2.. .<br />
Bgaimana kesimpulan dr Mella? Benar tidak. .<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 62</b><br />
Soal integral.. . Integral yang mengandung fungsi trigonometri. . Soal dari bapak Muhtar Utta<br />
<b>Muhtar Utta</b><br />
Int sec x (sec x + tan x)^(1/2) dx = …<br />
Jawaban pertama dr bang Denis. Dn dilengkapi cara oleh teman-teman yang lain. Ini dia<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 62</b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
2(sec x + tan x)^(1/2) + c<br />
<b> </b><br />
<b>Uzùmákî Nägätô Tenshøû</b><br />
p=V(secx+tanx)<br />
dp=(sec^2(x)+ta n(x) sec(x))/(2 sqrt(tan(x)+sec (x))) dx<br />
dx=(2 sqrt(tan(x)+sec (x)))/(sec^2(x) +tan(x) sec(x)) dp<br />
subtitusi jadi<br />
int 2 dp<br />
=2p+c<br />
=2 V(tan(x)+sec(x) )+c<br />
<b> </b><br />
<b>Yaya Suhaya</b><br />
Ikut nimbrung..<br />
Misal u= sec x +tan x<br />
du = sec x tanx + (sec x) ^2 dx<br />
du = sec x (tanx + sec x) dx<br />
du = u . sec x dx<br />
atau<br />
1 / u du = sec x dx<br />
Jadi diperoleh..<br />
= Int ( Vu . 1/u) du<br />
= int (u^(-1/2)) du<br />
= 2 Vu + C<br />
= 2 V(sec x +tan x) + C<br />
Makasih..<br />
Mau yang manapun juga boleh.. .<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 63</b><br />
Ada soal dari Daniel, dan diselesaikan oleh Mella. Dan diberikan cara lain oleh bang Denis … Ini dia<br />
<b>Daniel Rockwell</b><br />
Diberikan suatu trinomial X^3-X-1=0 memiliki akar-akar a, b, c, maka berapakah<br />
nilai dari a^8+b^8+c^8?<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 63</b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
x^3-x-1=0<br />
x^3=x+1 akar2nya a,b,c.<br />
Maka berlaku<br />
a^3=a+1<br />
b^3=b+1<br />
c^3=c+1<br />
——– +<br />
a^3+b^3+c^3<br />
=(a+b+c)+3<br />
=0+3<br />
=3<br />
–> 0 krn rumus jmlah smua akar dari ax^3+bx^2+cx+d= 0 adalah -b/a<br />
x^3=x+1<br />
kali x<br />
x^4=x^2+x<br />
a^4=a^2+a<br />
b^4=b^2+b<br />
c^4=c^2+c<br />
———- +<br />
a^4+b^4+c^4<br />
=(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)<br />
=(a+b+c)^2-2(ab +ac+bc)+(a+b+c)<br />
=0^2-2.(-1)+0<br />
=2<br />
x^3=x+1<br />
kali x^2<br />
x^5=x^3+x^2<br />
a^5=a^3+a^2<br />
b^5=b^3+b^2<br />
c^5=b^3+b^2<br />
————- +<br />
a^5+b^5+c^5=3+2 =5<br />
a^6=a^4+a^3<br />
b^6=b^4+b^3<br />
c^6=c^4+c^3<br />
———— +<br />
a^6+b^6+c^6=2+3 =5<br />
a^8=a^6+a^5<br />
b^8=b^6+b^5<br />
c^8=c^6+c^5<br />
———— +<br />
a^8+b^8+c^8=5+5=10<br />
mohon koreksi ya<br />
<b> </b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
kk jg panjang ko, nih jwbny kyk gn:<br />
a^3 = a+1<br />
a^6 = a^2 + 2a + 1<br />
a^7 = a^3 + 2a^2 + a<br />
a^7 = 2a^2 + 2a + 1<br />
a^8 = 2a^3 + 2a^2 + a<br />
a^8 = 2a^2 + 3a + 2<br />
a^8 + b^8 + c^8<br />
= 2(a^2 + b^2 + c^2)+3(a+b+c)+6<br />
= 2[(a + b + c)^2 -2(ab+ac+bc)]+3 (a+b+c)+6<br />
=-4(-1) + 6<br />
=10<br />
^__^<br />
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<h3>
Soal dan Solusi #20</h3>
<div class="info">
<span class="date"></span><span class="comments"><br /></span>
</div>
<b>Pertanyaan 64</b><br />
Soal dari bang Denis Kinta itu ada 2 macam tipe. Konsep dan sangat sulit. .hehe..<br />
Ada soal yg sederhana dan juga ada soal yang bener-bener sulit<br />
<b>Denis Kinta</b><br />
Dah lama ga posting soal.. . Ngarang aja ah..<br />
diketahui:<br />
A=(1+ tan 1)(1+ tan 2)(1+ tan 3)…(1+ tan 45) ,<br />
B= 2 + 4 + 8 + … + 2^22<br />
C= 2^4^8^16<br />
tentukan sisa pembagian dari C jika dibagi oleh (A-B)<br />
notes: satuan sudut dalam derajat <span id="more-5109"></span><br />
^___^<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 64</b><br />
<b>Yaya Suhaya</b><br />
@ denis : sisanya 0 bukan ?<br />
<b> </b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
carany??<br />
<b> </b><br />
<b>Yaya Suhaya</b><br />
tadi curat coret dapat A=2^23 dan B=2^23-2 sehingga A-B=2 jadi C dibagi A-B sisanya<br />
0, betul ga yah?<br />
<b> </b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
biar gak kepotong:<br />
1 + tan A<br />
= 1 + sinA/cosA<br />
= (cosA + sinA)/cos A<br />
= V2 sin (45 + A)/cosA<br />
= V2 cos (45 – A)/cosA<br />
sehingga:<br />
(1 + tan A)(1 + tan (45-A))<br />
= [V2 cos (45 – A)/cosA][V2 cos (45 – A)/cosA] = 2<br />
jadi :<br />
(1+ tan 1)(1+ tan 44)=2<br />
(1+ tan 2)(1+ tan 43)=2<br />
dst dpt deh A=2^23<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 65</b><br />
Soal yang satu ini buatan dari Ahmad Syukri. . Soalnya termasuk sederhana, apalagi jika kita jeli . .<br />
<b>Ahmad Syukri</b><br />
terinspirasi dr mas sihab n sensei denis<br />
A=(1+cos1) (1+cos2).. .(1+cos359 )<br />
B=(1+sin1) (1+sin2).. .(1+sin359 )<br />
A”+B”=…<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 65</b><br />
<b>Yaya Suhaya</b><br />
0 bukan…<br />
<b>Ade Suprapto</b><br />
0 ya.. ?<br />
<b>Ahmad Syukri</b><br />
hahaha,,,<br />
bnar all<br />
carany gmn sie?<br />
<b>Ade Suprapto</b><br />
Lihat aja nilai sin atau cos yang menghasilkan -1.<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 66</b><br />
Ada soal dari Anggita kusuma, dan langsung dijawab dg mudahnya oleh Uzumaki.. .<br />
<b>Anggita Kusuma</b><br />
mo nanya nii , jika x + 1/x = 7,<br />
maka akar(x) + 1/akar(x). brp yaa? tolong yah.. . makasii<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 66</b><br />
<b>Uzùmákî Nägätô Tenshøû</b><br />
x + 1/x = 7<br />
x + 2 + 1/x = 9<br />
Vx + 1 / Vx = +-3<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 67</b><br />
Ini ada suatu soal yang menjebak. Jangan sampai terjebak lagi.. .<br />
Tentukan semua nilai x yang memenuhi<br />
log (x^4) = 4<br />
Beserta caranya ya. .<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 67</b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
Log x^4 =4<br />
Log x^4=log 10^4<br />
10^4=x^4<br />
x^4-10^4=0<br />
(x^2-100)(x^2+1 00)=0<br />
x^2=100<br />
x=+- 10<br />
x^2=-100 TM<br />
Jadi jawabannya adalah x=10 atau x=-10<br />
<br />
Di soal ini, banyak yang terjebak dengan hanya menjawab x=10 saja.
Padahal, untuk x=-10 juga memenuhi. Ingat konsep, dan juga ingat
syarat-syaratnya.. .<br />
<h2>
</h2>
<h3 style="text-align: left;">
Soal dan Solusi 21 (Soal Olimpiade SD Australia)</h3>
<b>Pertanyaan 68</b><br />
Ada soal dari Henny..dan sudah dijawab oleh Rahman.. Ini dia soalnya.. .<br />
<b>Henny Cantka</b><br />
Soal Australian Math Contest SD Kelas 3 dan 4 tahun 2009 :<br />
Setiap hari Merlin meletakkan bunga dengan jumlah yang sama (paling
sedikit satu) di tiga kuil. Untuk mencapai kuil dia harus menyeberangi
sebuah sungai ajaib sekali. Ia juga harus<br />
menyeberangi sungai ajaib sekali untuk sampai ke kuil pertama. Setiap
kali ia menyeberangi sungai ajaib, jumlah bunganya bertambah dua kali
lipat. Saat ia meninggalkan kuil ketiga, tidak ada bunga yang tersisa.<br />
Berapa jumlah bunga minimal yang harus ia miliki di awal? <span id="more-5111"></span><br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 68</b><br />
<b>Rahman Setiawan</b><br />
ini maksudnya begini ya, punya sjumlah x bunga, nyebrang ke kuil pertama<br />
jadi 2x, trus meletakkan sejumlah y bunga, sisanya jadi 2x-y. nyebrang lagi ke kuil kedua, bunganya jadi 2(2x-y).<br />
diletakkan sjumlah y bunga di kuil kedua, sisanya jadi ((2x-y))-y.<br />
Nyebrang ke kuil ketiga, jumlah bunganya mjd 2{(2(2x-y))-y}. diletakkan
sejumlah y bunga di kuil ketiga dan ternyata habis tak tersisa atau
(2{(2(2x-y))-y})-y=0<br />
Itu jawabannya.. Bisa melanjutkan tentunya.<br />
Ini soal olimpiade tp udah memusingkan ya. Apalagi yang jawab itu anak SD.<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 69</b><br />
<b>Uzùmákî Nägätô Tenshøû</b><br />
bantuin donk.. .. simplify this!<br />
{(2^3 -1)(3^3 -1)(4^3 -1)…(100^3 -1)}/{(2^3 +1)(3^3 +1)(4^3 +1)…(100^3 +1)}<br />
adalah …<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 69</b><br />
<b>Joko Kusnandi</b><br />
={(1.7.2.13.3.2 1.4.31…99.101 1)}/{(3.3.4.7.5.13. 6.21…101.9991 )}<br />
={2.99!.1011}/{ 3.101!}<br />
=337/5050<br />
<b> </b><br />
<b>Rahman Setiawan</b><br />
Caranya mas Joko Kusnandi tu mungkin begini:<br />
(2^3 -1)=(2-1)(2^2+2 +1)=1.7<br />
(3^3 -1)=(3-1)(3^2+3 +1)=2.13<br />
dst…<br />
(2^3 +1)=(2+1)(2^2-2 +1)=3.3<br />
(3^3 +1)=(3+1)(3^2-3 +1)=4.7<br />
dst…<br />
<b> </b><br />
<b>Mella Camelia</b><br />
Nah iya zu, trus perhatiin, yg pembilangnya :<br />
1.7.2.13.3.21.. .(100^3-1)<br />
=99!.7.13.21…<br />
7,13,21,dst itu barisan aritmetika tgkat 2.<br />
Dan yg penyebutnya juga.. . perkalian blgn berurut dan barisan aritmetika tgkat 2 ^_^<br />
<b> </b><br />
<b>Ashfaq Ahmad</b><br />
x’2+x+1 = (x+1)’2-x-1+1<br />
the trick is here<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 70</b><br />
Ada soal dari <b>Ashfaq Ahmad</b>, ini dia soalnya . .<br />
(Sudah dijawab oleh bang rahman dan bang denis)<br />
¤2. Prove that <img alt="m^5+3(m^4)n-5(m^3)(n^2)-15(m^2)(n^3)+4m(n^4)+12n^5" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E5%2B3%28m%5E4%29n-5%28m%5E3%29%28n%5E2%29-15%28m%5E2%29%28n%5E3%29%2B4m%28n%5E4%29%2B12n%5E5&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^5+3(m^4)n-5(m^3)(n^2)-15(m^2)(n^3)+4m(n^4)+12n^5" /> can never be equal to 33<br />
¤3.Find <img alt="n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n" /> such that <img alt="2^8+2^{11}+2 ^n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2%5E8%2B2%5E%7B11%7D%2B2+%5En&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2^8+2^{11}+2 ^n" /> is a perfect<br />
square<br />
Sudah tahu artinya kan?<br />
Maklum, bang Ashfaq dari luar negeri yang masuk di soulmate.<br />
2. Buktikan bahwa bentuk itu tidak pernah sama dengan 33<br />
3. Temukan n sehingga bentuk tersebut merupakan kuadrat sempurna<br />
Jawaban dari sobat soulmate,<br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 70</b><br />
<b>Rahman Setiawan</b><br />
3). <img alt="2^8+2^{11}+2^n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2%5E8%2B2%5E%7B11%7D%2B2%5En&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2^8+2^{11}+2^n" /><br />
<img alt="=(2^4)^2 + 2.2^4.2^6 + (2^6)^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%282%5E4%29%5E2+%2B+2.2%5E4.2%5E6+%2B+%282%5E6%29%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="=(2^4)^2 + 2.2^4.2^6 + (2^6)^2" /><br />
<img alt="={({2^4} + {2^6})}^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%7B%28%7B2%5E4%7D+%2B+%7B2%5E6%7D%29%7D%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="={({2^4} + {2^6})}^2" /><br />
so, <img alt="n=12" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n%3D12&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n=12" /><br />
<b> </b><br />
<b>Denis Kinta</b><br />
2). <img alt="m^5+3(m^4)n-5(m^3)(n^2)-15(m^2 )(n^3)+4m(n^4)+ 12n^5" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E5%2B3%28m%5E4%29n-5%28m%5E3%29%28n%5E2%29-15%28m%5E2+%29%28n%5E3%29%2B4m%28n%5E4%29%2B+12n%5E5&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^5+3(m^4)n-5(m^3)(n^2)-15(m^2 )(n^3)+4m(n^4)+ 12n^5" /><br />
<img alt="= (n-m)(n+m)(2n-m)(2n+m)(3n+m)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+%28n-m%29%28n%2Bm%29%282n-m%29%282n%2Bm%29%283n%2Bm%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="= (n-m)(n+m)(2n-m)(2n+m)(3n+m)" /><br />
33 kan cuma punya 4 faktor, itu ada 5<br />
<b> </b><br />
<hr />
<br />
<b> </b><br />
<b>Pertanyaan 71</b><br />
Soal Trigonometri. Soal Trigonometri bisa dibilang merupakan soal
yang lumayan susah. Butuh ide briliant untuk menyelesaikannya. Ide yang
penting di sini. Berikut ada problem dan juga selesaiannya dari
soulmatematika …<br />
<b>Putra Ranchhodhas</b><br />
Berapakah<br />
<img alt="sin 10 \times sin 50 \times sin 70= \dots" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=sin+10+%5Ctimes+sin+50+%5Ctimes+sin+70%3D+%5Cdots&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="sin 10 \times sin 50 \times sin 70= \dots" /><br />
<b> </b><br />
<b>Jawaban 71</b><br />
<b>Ali Khan Su’ud</b><br />
ubah dulu soalnya<br />
<img alt="\begin{array}{rcl} sin 10 \times cos 40 \times cos 20 & = & \frac{sin 10 \times cos 10 \times cos 40 \times cos 20}{cos 10} \\ & = & \frac{sin 20 \times cos 20 \times cos 40}{2 \times cos 10} \\ & = & \frac{sin 40 \times cos 40}{4 \times cos 10} \\ & = & \frac{sin 80}{8 \times cos 10} \\ & = & \frac{1}{8} \end{array}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D+sin+10+%5Ctimes+cos+40+%5Ctimes+cos+20+%26+%3D+%26+%5Cfrac%7Bsin+10+%5Ctimes+cos+10+%5Ctimes+cos+40+%5Ctimes+cos+20%7D%7Bcos+10%7D+%5C%5C+%26+%3D+%26+%5Cfrac%7Bsin+20+%5Ctimes+cos+20+%5Ctimes+cos+40%7D%7B2+%5Ctimes+cos+10%7D+%5C%5C+%26+%3D+%26+%5Cfrac%7Bsin+40+%5Ctimes+cos+40%7D%7B4+%5Ctimes+cos+10%7D+%5C%5C+%26+%3D+%26+%5Cfrac%7Bsin+80%7D%7B8+%5Ctimes+cos+10%7D+%5C%5C+%26+%3D+%26%C2%A0%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D+%5Cend%7Barray%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="\begin{array}{rcl} sin 10 \times cos 40 \times cos 20 & = & \frac{sin 10 \times cos 10 \times cos 40 \times cos 20}{cos 10} \\ & = & \frac{sin 20 \times cos 20 \times cos 40}{2 \times cos 10} \\ & = & \frac{sin 40 \times cos 40}{4 \times cos 10} \\ & = & \frac{sin 80}{8 \times cos 10} \\ & = & \frac{1}{8} \end{array}" /></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-2342686297394929842016-09-01T18:35:00.003+07:002017-12-02T06:03:54.531+07:00Palindrom<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<h3 style="text-align: left;">
</h3>
<h3 style="text-align: left;">
Bilangan palindrom</h3>
Palindrom adalah dibaca dari depan dan dari belakang adalah sama. Misalnya palindrom pada kata.<br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<b>Kasur rusak</b>, <b>saras</b>, <b>ini</b>, dan sebagainya.</div>
<div style="text-align: center;">
<b> </b></div>
Pada sebuah bilangan disebut bilangan palindrom jika dibaca dari
depan dan dari belakang hasilnya adalah sama. Misalnya 11, 3332333,
87678, 9019109, dan sebagainya…<br />
Untuk membuat bilangan palindrom. Yang harus dilakukan adalah sangat
sederhana. Hanya menjumlahkan bilangan dengan bilangan tersebut yang
ditulis dari belakang. Misalnya kita ambil sebarang bilangan 45. Yang
kita lakukan hanyalah menjumlahkan seperti ini. 45 + 54 = 99. Suda
membentuk suatu palindrom bukan! <span id="more-1358"></span><br />
<b></b><br />
Kita mulai dengan<br />
<br />
129 + 921 = 1050, 1050 + 501 = 1551. Membentuk palindrom.<br />
86 + 68 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111. Membentuk palindrom…<br />
<br />
Sekarang coba mulai dengan angka 97 <br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<br />
<b>97 + 79 = 176</b><br />
<b>176 + 671 = 847</b><br />
<b>847 + 748 = 1595</b><br />
<b>1595 + 5951 = 7546</b><br />
<b>7546 + 6457 = 14003</b><br />
<b>14003 + 30041 = 44044</b><br />
<b><br />
</b><br />
Membentuk suatu palindrom. Meskipun langkah yang ditempuh sangatlah
panjang. tetapi pada akhirnya akan membentuk suatu palindrom.<br />
<br />
<b>Coba mulai dengan angka 98</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>Jika kalian memang merasa tertarik dengan matematika.
Palindrom yang bagaimana yang akan terjadi jika kita mulai dari 98. Coba
lakukan!</b><br />
<h3 style="text-align: left;">
</h3>
<h3 style="text-align: left;">
Palindrom yang bagus</h3>
<b> </b><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/01/palindrom-yang-bagus.jpg"><img alt="" class="size-medium wp-image-2556 aligncenter" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/01/palindrom-yang-bagus.jpg?w=300&h=219" title="palindrom yang
bagus" /></a><br />
<b> </b><br />
Bilangan palindrom merupakan bilangan yang dibaca dari belakang
bernilai sama dengan ketika dibaca dari belakang. Misalnya, 232 ini akan
sama dengan jika dibaca dari belakang, yaitu sama dengan 232. <span id="more-2555"></span><br />
Keunikan-keunikan pada bilangan palindrom juga sangatlah banyak
macamnya. Bilangan palindrom berikut ini adalah bilangan palindrom yang
ada di basis 10 dan ada di basis 2. Suatu bilangan yang apabila
dituliskan di basis 10 maupun dituliskan di basis 2 akan membentuk
palindrom.<br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="585" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=585&bg=ffffff&fg=555555&s=3" title="585" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br />
</b></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="(1001001001)_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%281001001001%29_2&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="(1001001001)_2" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b> </b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br />
</b></div>
Bilangan palindrom yang lain ini sama dengan penjumlahan kuadrat bilangan berurutan.<br />
<b> </b><br />
<img alt="55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=55%3D1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B4%5E2%2B5%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2" /><br />
<img alt="77=4^2+5^2+6^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=77%3D4%5E2%2B5%5E2%2B6%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="77=4^2+5^2+6^2" /><br />
<img alt="434=11^2+12^2+13^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=434%3D11%5E2%2B12%5E2%2B13%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="434=11^2+12^2+13^2" /><br />
<img alt="1111=11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1111%3D11%5E2%2B12%5E2%2B13%5E2%2B14%5E2%2B15%5E2%2B16%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1111=11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" /><br />
<img alt="181=9^2+10^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=181%3D9%5E2%2B10%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="181=9^2+10^2" /><br />
<img alt="1441=6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1441%3D6%5E2%2B7%5E2%2B8%5E2%2B9%5E2%2B10%5E2%2B11%5E2%2B12%5E2%2B13%5E2%2B14%5E2%2B15%5E2%2B16%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1441=6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2" /><br />
<b> </b><br />
Dan masih banyak yang lainnya.<br />
<b> </b><br />
Palindrom berupa bilangan prima juga merupakan salah satu yang unik.
11 adalah palindrom 2 digit. Dan hanya 11 bilangan prima 2 digit yang
membentuk palindrom. 14341 merupakan bilangan palindrom yang sekaligus
bilangan prima juga. Dan masih banyak yang lain-lainnya.<br />
<b> </b><br />
Palindrom pada jam digital juga bisa terjadi, yaitu misalnya ketika
pukul 11:11:11, ketika pukul 05:55:50, dan banyak lagi yang lain. Pada
tanggal yang dipersingkat juga bisa membentuk palindrom.<br />
Jika 2011, kita tuliskan menjadi 11, maka bilangan 11-11-11 ini
adalah bilangan palindrom. 11:11:11 11-11-11, pukul 11 lebih 11 menit 11
detik pada waktu tanggal 11 november 2011.<br />
<b> </b><br />
Cara untuk mendapatkan bilangan palindrome bisa didapatkan dengan
cara menjumlahkan bilangan dengan bilangan itu sendiri yang dibaca dari
belakang. Ini dilakukan terus-menerus sampai menemukan bilangan
palindrom.<br />
Misalnya kita mulai dari bilangan 28, maka kita jumlahkan dengan bilangan itu yang dibaca dari belakang. <img alt="28+82=110" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=28%2B82%3D110&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="28+82=110" />, karena belum membentuk bilangan palindrome, maka lakukan lagi proses tersebut. <img alt="110+011=121" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=110%2B011%3D121&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="110+011=121" />. Sudah membentuk bilangan palindrom.<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
93 bilangan prima 5-digit yang membentuk palindrom</h3>
<b> </b><br />
Dari judul dikatakan bahwa ada 93 bilangan prima yang membentuk palindrome. Bilangan-bilangan prima itu adalah<br />
<b> </b><br />
<img alt="10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,13331," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=10301%2C10501%2C10601%2C11311%2C11411%2C12421%2C12721%2C12821%2C13331%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,13331," /><br />
<img alt="13831,13931,14341,14741,15451,15551,16061,16361,16561," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=13831%2C13931%2C14341%2C14741%2C15451%2C15551%2C16061%2C16361%2C16561%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="13831,13931,14341,14741,15451,15551,16061,16361,16561," /> <span id="more-2140"></span><br />
<img alt="16661,17471,17971,18181,18481,19391,19891,19991,30103," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=16661%2C17471%2C17971%2C18181%2C18481%2C19391%2C19891%2C19991%2C30103%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="16661,17471,17971,18181,18481,19391,19891,19991,30103," /><br />
<img alt="30203,30403,30703,30803,31013,31513,32323,32423,33533," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=30203%2C30403%2C30703%2C30803%2C31013%2C31513%2C32323%2C32423%2C33533%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="30203,30403,30703,30803,31013,31513,32323,32423,33533," /><br />
<img alt="34543,34843,35053,35153,35353,35753,36263,36563,37273," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=34543%2C34843%2C35053%2C35153%2C35353%2C35753%2C36263%2C36563%2C37273%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="34543,34843,35053,35153,35353,35753,36263,36563,37273," /><br />
<img alt="37573,38083,38183,38783,39293,70207,70507,70607,71317," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=37573%2C38083%2C38183%2C38783%2C39293%2C70207%2C70507%2C70607%2C71317%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="37573,38083,38183,38783,39293,70207,70507,70607,71317," /><br />
<img alt="71917,72227,72727,73037,73237,73637,74047,74747,75557," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=71917%2C72227%2C72727%2C73037%2C73237%2C73637%2C74047%2C74747%2C75557%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="71917,72227,72727,73037,73237,73637,74047,74747,75557," /><br />
<img alt="76367,76667,77377,77477,77977,78487,78787,78887,79397," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=76367%2C76667%2C77377%2C77477%2C77977%2C78487%2C78787%2C78887%2C79397%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="76367,76667,77377,77477,77977,78487,78787,78887,79397," /><br />
<img alt="79697,79997,90709,91019,93139,93239,93739,94049,94349," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=79697%2C79997%2C90709%2C91019%2C93139%2C93239%2C93739%2C94049%2C94349%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="79697,79997,90709,91019,93139,93239,93739,94049,94349," /><br />
<img alt="94649,94849,94949,95959,96269,96469,96769,97379,97579," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=94649%2C94849%2C94949%2C95959%2C96269%2C96469%2C96769%2C97379%2C97579%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="94649,94849,94949,95959,96269,96469,96769,97379,97579," /><br />
<img alt="97879,98389,98689" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=97879%2C98389%2C98689&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="97879,98389,98689" /><br />
<b> </b><br />
Sebanyak 93 bilangan prima 5-digit yang membentuk palindrom.<br />
26 bilangan yang diawali dengan angka 1.<br />
24 bilangan yang diawali dengan angka 3.<br />
24 bilangan yang diawali dengan angka 7.<br />
Dan 19 bilangan yang diawali dengan angka 9.<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
Palindrom 4 angka selalu habis dibagi 11</h3>
<b> </b><br />
Misalnya 1111. Merupakan palindrom dengan 4 digit. 1111 habis dibagi
11 yaitu hasilnya 101. Begitu juga dengan palindrom 4 digit yang lain.
Misalnya 2332. Merupakan palindrom 4 digit. Dan 2332 habis dibagi 11.
Hasilnya yaitu 212.<br />
Mengapa bisa terjadi hal seperti itu?<br />
Perhatikan ciri sebuah bilangan habis dibagi 11 berikut ini :<br />
Sebuah bilangan habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut
merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah
digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi
11. <span id="more-1475"></span><br />
<br />
Misalnya<br />
Apakah 1221 habis dibagi 11?<br />
1 – 2 + 2 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 11. Maka 1221 habis dibagi 11.<br />
Untuk sebarang bilangan misalnya <img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)" /> sebanyak n digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk<br />
<b> </b><br />
<img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3Da_1+%5Ctimes+10%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_2+%5Ctimes+10%5E%7Bn-2%7D%2B+%5Cdots%2B+a_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+10+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n " /><br />
<b> </b><br />
Sekarang kita perhatikan hal berikut ini :<br />
<br />
1 = 0 + 1<br />
10 = 11 – 1<br />
100 = 99 + 1<br />
1000 = 1001 – 1<br />
10000 = 9999 + 1<br />
…<br />
dan seterusnya…<br />
<b> </b><br />
perhatikan bahwa 0, 11, 99, 1001, 9999, … merupakan kelipatan 11<br />
<b> </b><br />
<img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times 100 +a_{n-1} \times 10 + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3Da_1+%5Ctimes+10%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_2+%5Ctimes+10%5E%7Bn-2%7D%2B+%5Cdots%2B+a_%7Bn-2%7D+%5Ctimes+100+%2Ba_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+10+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times 100 +a_{n-1} \times 10 + a_n " /><br />
<img alt="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a_1+a_2+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3Da_1+%5Ctimes+10%5E%7Bn-1%7D+%2B+a_2+%5Ctimes+10%5E%7Bn-2%7D%2B+%5Cdots%2B+a_%7Bn-2%7D+%5Ctimes+%2899%2B1%29+%2B+a_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+%2811-1%29+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " /><br />
<b> </b><br />
Untuk memudahkan kita anggap banyaknya digitnya sebarang.<br />
<b> </b><br />
<img alt="( \dots a_{n-1} a_n)= \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3D+%5Cdots%2B+a_%7Bn-2%7D+%5Ctimes+%2899%2B1%29+%2B+a_%7Bn-1%7D+%5Ctimes+%2811-1%29+%2B+a_n+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots a_{n-1} a_n)= \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n " /><br />
<img alt="( \dots a_{n-1} a_n)= ( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1}) + ( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29%3D+%28+%5Cdots+%2B+99a_%7Bn-2%7D+%2B+11a_%7Bn-1%7D%29+%2B+%28+%5Cdots+%2B+a_%7Bn-2%7D+-+a_%7Bn-1%7D+%2B+a_n%29+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots a_{n-1} a_n)= ( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1}) + ( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " /><br />
<b> </b><br />
Jika <img alt="( \dots a_{n-1} a_n)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+a_%7Bn-1%7D+a_n%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots a_{n-1} a_n)" /> habis dibagi 11. Dan <img alt="( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1})" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+%2B+99a_%7Bn-2%7D+%2B+11a_%7Bn-1%7D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1})" /> habis dibagi 11. Maka haruslah <img alt="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+%2B+a_%7Bn-2%7D+-+a_%7Bn-1%7D+%2B+a_n%29+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " /> habis dibagi 11. Jadi, ciri habis dibagi 11 adalah <img alt="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Cdots+%2B+a_%7Bn-2%7D+-+a_%7Bn-1%7D+%2B+a_n%29+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n) " />
habis dibagi 11. Yaitu jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit
satuan dimulai dari tanda positif hasilnya habis dibagi 11.<br />
<b> </b><br />
Dan sekarang kita perhatikan bahwa setiap bilangan palindrom 4 digit.
Maka jika kita lakukan langkah ciri bilangan habis dibagi 11. Yaitu
menjumlahkan digit-digitnya dari digit satuan dengan tanda positif
terlebih dahulu. Maka nanti hasilnya pasti nol. Karena bilangan
palindrom 4 digit berbentuk (aaaa) atau (abba). Untuk (aaaa) sudah pasti
habis dibagi 11. Karena<br />
a – a + a – a = 0<br />
Untuk (abba), a – b + b – a = 0. Maka abba juga habis dibagi 11.<br />
<b> </b><br />
Dengan demikian terbukti bahwa bilangan berdigit 4 yang membentuk palindrom, habis dibagi 11.<br />
Begitu juga untuk bilangan berdigit 2, 6, 8, 10, dst.. bisa dibuktikan sendiri.<br />
<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
15 bilangan prima 3-digit yang membentuk palindrom</h3>
<b> </b><br />
Palindrom adalah sesuatu yang dibaca dari depan dan dari belakang
adalah sama. Maksudnya jika dibaca dari arah kiri ke kanan atau dari
kanan ke kiri maka hasilnya adalah sama. Palindrom ini bukan hanya ada
pada kata. Tetapi pada bilangan juga ada palindrom.<br />
<div style="text-align: left;">
Misalnya <img alt="212,23432" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=212%2C23432&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="212,23432" /> dan sebagainya</div>
<div style="text-align: left;">
<span id="more-1220"></span></div>
Bilangan-bilangan prima berikut ini adalah bilangan-bilangan prima
3-digit yang membentuk palindrome. Ada 15 bilangan, sebagai berikut<br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="101,131,151,181,191,313,353,373,383," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=101%2C131%2C151%2C181%2C191%2C313%2C353%2C373%2C383%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="101,131,151,181,191,313,353,373,383," /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="727,757,787,797,919" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=727%2C757%2C787%2C797%2C919&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="727,757,787,797,919" /> dan <img alt="929" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=929&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="929" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b> </b></div>
Palindrom pada bilangan prima, semuanya berdigit ganjil (kecuali
bilangan 11). Bilangan 11 adalah salah satu bilangan prima yang
membentuk palindrome yang berdigit genap. Hanya terdiri dari 2-digit.
Untuk palindrome yang terdiri dari 1-digit yaitu 2, 3, 5 dan 7.
Tentunya, semua bilangan 1 digit membentuk palindrom. Begitu juga untuk
semua bilangan prima 1-digit.<br />
Bilangan prima 4 digit tidak ada yang membentuk palindrom. Karena
bilangan-bilangan palindrom berdigit sebanyak genap, habis dibagi oleh
11.</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-87740481192120344142016-09-01T17:43:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.585+07:00Logaritma<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<h3 style="text-align: left;">
Hubungan logaritma dengan perpangkatan</h3>
<h2>
</h2>
Pertama kali belajar logaritma akan terasa bingung sekali. Apa sih
logaritma itu? Memang, logaritma di SMA kelas 1 itu merupakan hal yang
baru, apalagi jika sudah masuk ke dalam logaritma natural atau ln.<br />
Kenyataan ini juga terjadi pada beberapa murid SMA yang baru saja
mempelajari logaritma. Bagaimana mereka menghafalkannya? Beberapa siswa
itu masih kesulitan untuk menhafalkannya. <span id="more-3526"></span><br />
Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen.<br />
Untuk mengingat konsep logaritma sebenarnya cukup mudah.<br />
<b><br />
</b><br />
<img alt="a^b=n \qquad \iff \qquad {}^{a}log \, n=b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%5Eb%3Dn+%5Cqquad+%5Ciff+%5Cqquad+%7B%7D%5E%7Ba%7Dlog+%5C%2C+n%3Db&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a^b=n \qquad \iff \qquad {}^{a}log \, n=b" /><br />
<b><br />
</b><br />
Tentunya dengan syarat-syarat, <img alt="a>0, a \ne 1,x>0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3E0%2C+a+%5Cne+1%2Cx%3E0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a>0, a \ne 1,x>0" /> <br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<b><br />
</b><br />
Sangat sederhana.<br />
Meskipun demikian, ketika pertama kali belajar ini, kita akan sedikit
mengalami kesulitan untuk menghafalnya. Entah itu terbalik, tertukar
maupun lupa total.<br />
Ini terjadi pada beberapa siswa SMA yang baru saja elajar logaritma,
mereka masih bingung mengenai hubungan pangkat dengan logaritma ini.<br />
Untuk mengingatnya, kami memberikan suatu hal yang bisa diandalkan. yaitu berhubungan dengan log 100.<br />
<b><br />
</b><br />
Awal belajar logaritma, umumnya guru kita memberikan suatu gambaran
mengenai log 100 yang ternyata menggunakan basis 10. Jadi, untuk suatu
log yang basisnya tidak ditulis, itu artinya dia menggunakan basis 10.<br />
<b><br />
</b><br />
<img alt="log \, b=m" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log+%5C%2C+b%3Dm&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="log \, b=m" /> sama saja dengan <img alt="{}^{10}log \, b=m" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7D%5E%7B10%7Dlog+%5C%2C+b%3Dm&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="{}^{10}log \, b=m" /><br />
<b><br />
</b><br />
Untuk mengingat konsep logaritma dan hubungannya dengan perpangkatan.
Kita hanya perlu menghafalkan bahwa nilai dari log 100 itu sama dengan
2. Dan kita juga tahu bahwa 10 pangkat 2 itu sama dengan 100.<br />
Sehingga, nanti diperoleh suatu hubungan bahwa :<br />
<b><br />
</b><br />
<img alt="10^2=100" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=10%5E2%3D100&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="10^2=100" /> dan <img alt="{}^{10}log \, 100=2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7D%5E%7B10%7Dlog+%5C%2C+100%3D2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="{}^{10}log \, 100=2" /><br />
<b><br />
</b><br />
Tentunya, jika 10 kita ganti dengan a, kemudian 2 ita ganti dengan b
dan 100 kita ganti dengan n. maka kita dapatkan konsep kita mengenai
hubungan logaritma dengan suatu perpangkatan. Yaitu :<br />
<b><br />
</b><br />
<img alt="a^b=n \qquad \iff \qquad {}^{a}log \, n=b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%5Eb%3Dn+%5Cqquad+%5Ciff+%5Cqquad+%7B%7D%5E%7Ba%7Dlog+%5C%2C+n%3Db&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a^b=n \qquad \iff \qquad {}^{a}log \, n=b" /><br />
<b><br />
</b><br />
Jadinya, kita tidak khawatir akan tertukar letak a dan b maupun n.<br />
Dan kita tidak kebingungan untuk menghafalnya.<br />
<b><br />
</b><br />
Dalam sifat perpangkatan, kita tentunya tahu bahwa semua bilangan
(kecuali 0), jika dipangkatkan nol akan menghasilkan 1. Ini juga akan
berlaku pada logaritma, yaitu<br />
<b><br />
</b><br />
<img alt="a^0=1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%5E0%3D1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a^0=1" /> untuk a tidak 0<br />
<b><br />
</b><br />
maka, <img alt="{}^{a}log \, 1=0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7D%5E%7Ba%7Dlog+%5C%2C+1%3D0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="{}^{a}log \, 1=0" /><br />
<b><br />
</b><br />
Dapat disimpulkan, untuk sebarang basis a yang lebih besar 0, maka nilai <img alt="{}^{a}log \, 1=0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7D%5E%7Ba%7Dlog+%5C%2C+1%3D0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="{}^{a}log \, 1=0" />.<br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
Berapakah log 0?<br />
<b><br />
</b><br />
Berangkat dari syarat logaritma, yaitu a tidak boleh sama dengan 0.
Dalam logaritma, a harus lebih besar 0 dan a tidak boleh sama dengan 1.<br />
Sekarang, bagaimana kita mencari nilai dari bentuk <img alt="a^b=0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%5Eb%3D0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a^b=0" /><br />
Berapakah a dan b yang memenuhi jika a tidak boleh sama dengan 0? Tentunya tidak ada hal yang demikian. Sehingga, bentuk dari <img alt="{}^{a}log \, n=b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7D%5E%7Ba%7Dlog+%5C%2C+n%3Db&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="{}^{a}log \, n=b" /> harus diberikan syarat yaitu <img alt="n>0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n%3E0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n>0" /><br />
<b><br />
</b><br />
Sampai di sini dulu…<br />
<br />
<br />
<br />
<h3>
Fungsi logaritma</h3>
Bentuk Umum dari logaritma adalah sebagai berikut :<br />
Jika <img alt="a^y=x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%5Ey%3Dx&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a^y=x" /> dengan <img alt="a \ne 0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a+%5Cne+0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a \ne 0" /> dan <img alt="a \ne 1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a+%5Cne+1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a \ne 1" /> maka <img alt="y= {}^alog \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5Ealog+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^alog \, x" /><br />
<span id="more-318"></span><br />
Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk <img alt="0<a<1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=0%3Ca%3C1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="0<a<1" /> dan untuk <img alt="a>1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3E1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a>1" /><br />
<img alt="y= {}^alog \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5Ealog+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^alog \, x" />, untuk <img alt="0<a<1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=0%3Ca%3C1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="0<a<1" /><br />
<b><br />
</b><br />
Misalnya salah satu kasus yaitu <img alt="y= {}^{1/2}log \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5E%7B1%2F2%7Dlog+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^{1/2}log \, x" /><br />
Fungsi <img alt="y= {}^{1/2}log \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5E%7B1%2F2%7Dlog+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^{1/2}log \, x" /> memiliki sifat-sifat:<br />
terdefinisi untuk semua x > 0;<br />
jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positip;<br />
untuk x = 1, y = 0<br />
untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatip. Jika x semakin besar, maka y semakin kecil;<br />
<img alt="y= {}^{a}log \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5E%7Ba%7Dlog+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^{a}log \, x" />, untuk <img alt="a>1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3E1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a>1" /><br />
<b><br />
</b><br />
Dipelajari salah satu kasus yaitu <img alt="y= {}^{2}log \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5E%7B2%7Dlog+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^{2}log \, x" /><br />
Fungsi <img alt="y= {}^{2}log \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5E%7B2%7Dlog+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^{2}log \, x" /> memiliki sifat-sifat:<br />
terdefinisi untuk semua x > 0;<br />
jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatip;<br />
untuk x = 1, y = 0<br />
untuk x lebih besar dari 1, y berharga positip. Jika x semakin besar, maka y semakin besar pula;<br />
Dalam fungsi logaritma dikenal satu fungsi khusus yaitu fungsi
logaritma dengan bilangan pokok e, yang disebut logaritma
Napier, disingkat ln (dibaca len). Jadi logaritma dengan bilangan
pokok e adalah <img alt="y= {}^{e}log \, x=ln \, x" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=y%3D+%7B%7D%5E%7Be%7Dlog+%5C%2C+x%3Dln+%5C%2C+x&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="y= {}^{e}log \, x=ln \, x" /><br />
Untuk lebih lengkapnya, download di link di bawah ini<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/fungsi-logaritma.pdf">Fungsi Logaritma</a><br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
Penulisan logaritma natural</h3>
<br />
Tahukan kita tentang logaritma natural. Logaritma natural adalah
suatu bentuk logaritma dengan basis bilangan e. untuk mencari tahu
tentang bilangan e, silahkan dicari di blog ini tentang bilangan e.<br />
Jadi, logaritma natural dituliskan dengan <img alt="log_e \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log_e+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="log_e \, n" />, yaitu logaritma natural dari n. <span id="more-3543"></span><br />
<b><br />
</b><br />
Beberapa bentuk penulisan yang ada di buku :<br />
<div style="text-align: center;">
<b><br />
</b></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="{}^{e}log \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7D%5E%7Be%7Dlog+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="{}^{e}log \, n" /> atau <img alt="ln \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=ln+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="ln \, n" /></div>
<b><br />
</b><br />
Umumnya, penulisan logaritma adalah sebagai berikut :<br />
<div style="text-align: center;">
<b><br />
</b></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="{}^alog \, n=b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%7D%5Ealog+%5C%2C+n%3Db&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="{}^alog \, n=b" /> atau <img alt="log_a \, n=b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log_a+%5C%2C+n%3Db&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="log_a \, n=b" /></div>
<b><br />
</b><br />
a : disebut basis<br />
<b><br />
</b><br />
tentu, basis harus lebih besar dari 0 dan tidak boleh sama dengan 1.<br />
Jika basis sama dengan e, maka logaritma tersebut disebut sebagai logaritma natural.<br />
<b><br />
</b><br />
Pernah tidak kita bertemu dengan penulisan <img alt="log \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="log \, n" /><br />
<b><br />
</b><br />
<div style="text-align: center;">
<b><br />
</b></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="log \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="log \, n" /></div>
<b><br />
</b><br />
Bentuk penulisan itu, ketika di SMA kita mengenalnya sebagai
logaritma basis 10. Tentu saja karena kita hidup di bumi ini umumnya
menggunakan basis 10.<br />
Tetapi kita perlu hati-hati jika kita membaca buku luar negeri atau
buku-buku dari tulisan dosen-dosen tinggi. Kita harus hati-hati, coba
kita perhatikan kalimat Glosarium dari buku<br />
<b><br />
</b><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/logaritma-natural.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3544" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/logaritma-natural.jpg?w=595" title="logaritma natural" /></a><br />
<b><br />
</b><br />
Karena ada beberapa yang membaca <img alt="log \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="log \, n" /> sebagai logaritma natural.<br />
Dosen saya juga perbah menuliskan bentuk <img alt="log \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="log \, n" />
di papan tulis. Tentu saja, mahasiswanya menganggap bahwa logaritma itu
berbasis 10. Maklum, ketika itu masih semester rendah. Dan tentu saja
dosen tersebut menyalahkan. Karena menurutnya, bentuk penulisan <img alt="log n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="log n" /> adalah bentuk penulisan dari logaritma natural.<br />
Sekali lagi jangan sampai salah mengartikan.<br />
Mungkin ini adalah kesepakan yang lama, atau bahkan ini adalah
kesepakatan yang baru. Saya kurang mengetahui tentang kesepakatan di
dalam matematika.<br />
<b><br />
</b><br />
Ingat! Matematika itu adalah suatu kesepakatan. Jadi, jangan heran jika ada yang aneh.<br />
<b><br />
</b><br />
Kenapa ya simbol 1, dibaca “satu”? Tentu saja ini karena sudah disepakati oleh bangsa/bahasa Indonesia. Dll.<br />
<b><br />
</b><br />
Saran dari kami. Ketika membaca suatu buku yang ada isinya tentang
logaritma, sebaiknya langsung lihat bagian Glosarium. Lihat bagian
belakang bukunya. Biasanya di halaman-halaman akhir. Pada bagian
Notation (notasi) atau sekitarnya.<br />
<b><br />
</b><br />
Juga, jika ada guru atau dosen yang hanya menuliskan <img alt="log \, n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=log+%5C%2C+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="log \, n" /> maka langsung saja tanyakan kepadanya itu basis berapa? Seperti itu…<br />
Silahkan…<br />
<h2>
</h2>
Search : Bagaimana cara menghitung logaritma, apakah logaritma natural itu? Logaritma dengan basis 2, log basis 10, eksponen dan logaritma, materi, soal-soal<br />
<h2>
</h2>
</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-3696266912322317172016-09-01T17:39:00.002+07:002017-12-02T06:03:54.547+07:00Menghitung AKar Tanpa Menggunakan Kalkulator<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<h3 style="text-align: left;">
<b>Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (I) </b></h3>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><a href="https://asimtot.wordpress.com/papercut/">Papercut Handmade</a></b><br />
<b>Sebagai hadiah ulang tahun, hadian pernikahan, dll</b><br />
<b>Cocok diberikan kepada pasangan, sahabat, anak, atau untuk hiasan rumah.</b></div>
<a href="https://asimtot.wordpress.com/papercut/"><b>Contact :<br />
</b></a><b><a href="https://asimtot.wordpress.com/papercut/">Harga dan Informasi</a><br />
</b><b>WA/Line : 085230646886<br />
</b><b>BBM : 59423DB0</b><br />
<div style="text-align: center;">
<b> </b></div>
Sebelumnya ada komentar dari pembaca. Bagaimana cara menghitung akar
kuadrat / akar pangkat dua? Kalau mengkuadratkan tinggal dikalikan saja
kan. Tetapi kebalikannya? Coba perhatikan bagaimana cara menghitung
perkalian, pembagian? Jika pembaca sudah terbiasa dengan menghitung
pembagian menggunakan cara “porogapit / paragapit”, (istilah yang saya
ketahui sejak SD), mungkin nanti pembaca juga bisa dengan mudah mencari
nilai akar kuadrat dengan mudah juga. Oke deh, langsung saja kita bahas,
bagaimana cara menemukan nilai akar kuadrat dari suatu bilangan. <br />
<a name='more'></a><br />
<b> </b><br />
Lebih tepatnya, untuk postingan kali ini yaitu menghitung akar
pangkat dua tanpa menggunakan kalkulator. Meskipun kalkulator adalah
alat canggih yang bisa digunakan untuk melakukan perhitungan matematika
dengan cepat, tetapi tidak salah (bahkan dianjurkan) untuk menghitung
akar tanpa kalkulator. <br />
<blockquote>
Sebelumnya, baca juga postingan <a href="https://asimtot.wordpress.com/2011/07/20/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-menggunakan-rumus/">Menghitung Akar Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Pendekatan</a>.</blockquote>
Menghitung bentuk akar pangkat dua, atau biasa disebut akar kuadrat
untuk beberapa bilangan yang kecil biasanya kita hafal, misalnya akar
dari 144. Tentu kita yang sudah biasa akan hafal sendiri diluar kepala.
Tetapi bagaimana kalau angka itu cukup besar, ratusan, ribuan, bahkan
yang koma-koma (irasional).<br />
Berikut akan sedikit dijelaskan bagaimana cara menghitung akar kuadrat tanpa menggunakan kalkulator atau komputer.<br />
<b><br />
</b><br />
Syaratnya cukup mudah. Pembaca harus hafal nilai kuadrat dari 1 sampai 9. Hehehe.. Cukup mudah kok.<br />
<b><br />
</b><br />
<b>Contoh yang pertama</b> yaitu <img alt="\sqrt{361}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B361%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{361}" /><br />
<b><br />
</b><br />
<b> </b><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/akar-361.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3599" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/akar-361.jpg?w=595" title="akar 361" /></a><b> </b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>Perhatikan gambar, dan perhatikan juga langkah-langkah berikut ini!</b><br />
<b><br />
</b><br />
1. Tulis bilangan 361 dengan memisahkannya seperti pada gambar<br />
2. Angka 2 kecil berwarna hitam ini paten (tetap), tidak boleh dirubah.<br />
3. Perhatikan angka 3 pada pemenggalan bilangan 361<br />
4. Bilangan bulat positif berapakah yang jika dikuadratkan maka
hasilnya mendekati 3 (tidak boleh melebihi). Tentu bilangan yang
dimaksud adalah 1. Tulis di atas, berwarna biru (ini adalah hasil
sementara)<br />
5. Seperti biasa (seperti pada pembagian), 3 dikurangi 1 sama dengan 2. Kemudian turunkan 61. Menjadi 261<br />
6. 2 warna merah berasal dari perkalian hasil sementara dengan angka 2 kecil berwarna hitam.<br />
7. “duapuluh berapa dikali berapa” yang hasilnya mendekati 261.
(“berapa” di sini haruslah sama. harus yang paling mendekati dengan 261.
Tidak boleh melebihi) Ini langkah yang bisa digunakan dengan coba-coba.<br />
8. Tentu akhirnya kita dapatkan angka 9 (berwarna biru muda). Karena <img alt="29 \times 9=261" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=29+%5Ctimes+9%3D261&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="29 \times 9=261" /><br />
9. Tulis di atas (berwarna biru muda).<br />
10. Karena sudah bersisa 0, maka sudah selesai.<br />
Sehingga hasilnya adalah 19<br />
<b><br />
</b><br />
Mudah bukan!<br />
<b><br />
</b><br />
Pemenggalan bilangan itu harus dua-dua.. dan dipenggal dari belakang..<br />
Misalnya 87645. pemenggalannya yaitu 8|76|45 (Benar)..<br />
Tidak boleh dipenggal menjadi 87|64|5. (Ini salah)<br />
Memenggalnya yaitu sebanyak dua-dua dari belakang. Khusus untuk
jumlah digit ganjil yang cukup berbahaya. Karena untuk jumlah digit
genap, pemenggalan dari depan dan dari belakang itu sama saja.<br />
Jika ingin memenggal dari depan, hitung dulu jumlah digitnya. Jika
jumlah digitnya genap, maka penggal saja dua-dua dari depan.. Jika
ternyata jumlah digitnya sebanyak bilangan ganjil. Pemenggalan dari
depan boleh dilakukan tetapi harus mengambil satu dulu, baru kemudian
dua-dua. (pemenggalan dari depan adalah cara dari Denis Kinta, untuk
memudahkan pada soal berikut)<br />
Misalnya kita ingin mencari akar dari 12345678910111213…4950 (Tentu
saja tidak mungkin disuruh mencari nilai dari akar ini, karena akan
sangat panjang. Biasanya soal seperti ini adalah tentukan 3 angka
pertama dari hasil akar tersebut)…<br />
<blockquote>
Hitung dulu jumlah digitnya. Karena jumlah digitnya
ganjil, maka penggal satu dulu di depan. Sehingga pemenggalannya seperti
ini. 1|23|45|67|89|10|11|12|13…</blockquote>
Kita tidak perlu menghitung sampai selesai, sampai ketemu 3 digit pertama sudah selesai…<br />
<b><br />
</b><br />
<b>Contoh lagi yang lebih panjang</b><br />
<b><br />
</b><br />
Tentukan nilai dari <img alt="\sqrt{512656}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B512656%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{512656}" /><br />
<b><br />
</b><br />
<b> </b><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-akar-512656.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3602" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-akar-512656.jpg?w=595" title="menghitung akar tanpa kalkulator akar 512656" /></a><b> </b><br />
<b><br />
</b><br />
<b>Langkah-langkahnya sebagai berikut :</b><br />
1. Penggal dulu seperti yang sudah dijelaskan<br />
2. Carilah, berapakah suatu bilangan bulat positif yang jika
dikuadratkan hasilnya mendekati 51. Yaitu 7. Karena 7 kuadrat adalah 49.
Sedangkan 8 melebihi. Tulis 7 di atas (warna hitam. Ini adalah hasil
sementara)<br />
3. Lakukan pengurangan. 51-49=2. Kemudian turunkan 26. Sehingga diperoleh bilanga 226 (warna pink)<br />
4. Selanjutnya tulis 14. Berasal dari hasil sementara dikalikan 2. Hasil sementara kita tadi adalah 7. <img alt="7 \times 2=14" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=7+%5Ctimes+2%3D14&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="7 \times 2=14" /><br />
5. “Seratus empat puluh berapa dikali berapa” yang hasilnya mendekati
226. (“berapa” di sini haruslah sama. harus yang paling mendekati
dengan 226. Tidak boleh melebihi) Ini langkah yang bisa digunakan dengan
coba-coba.<br />
6. Diperoleh angka 1. Karena jika kita mengambil 2, maka <img alt="142 \times 2=284" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=142+%5Ctimes+2%3D284&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="142 \times 2=284" />
dan 284 ini melebihi 226. Sehingga yang memenuhi adalah 1. Tulis angka 1
berwarna hijau di atas. (sehingga hasil sementara yang baru adalah 71)<br />
7. Tuliskan hasil dari <img alt="141 \times 1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=141+%5Ctimes+1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="141 \times 1" />
di bawah 226 yang berwarna pink. Kemudian kurangkan sehingga diperoleh
85. Dan turunkan 56 dari atas. Sehingga diperoleh 8556 (berwarna kuning)<br />
8. Sekarang 142 (berwarna biru tua) berasal dari hasil sementara yang baru dikalikan dengan 2. Yaitu <img alt="71 \times 2=142" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=71+%5Ctimes+2%3D142&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="71 \times 2=142" /><br />
9. “Seribu empat ratus dua puluh berapa dikali berapa” yang hasilnya
mendekati 8556. (“berapa” di sini haruslah sama. harus yang paling
mendekati dengan 8556. Tidak boleh melebihi) Ini langkah yang bisa
digunakan dengan coba-coba.<br />
10. Diperoleh yaitu <img alt="1426 \times 6" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1426+%5Ctimes+6&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1426 \times 6" />, hasilnya pas yaitu 8556.<br />
11. Tulis angka 6 di atas.<br />
Dan diperoleh hasil akhir yaitu 716.<br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
Dua contoh sudah kita lalui. Apakah ada pertanyaan?<br />
<b><br />
</b><br />
Saya saja tanya sendiri. Hehehe.. Kok dari tadi hasilnya bagus-bagus
(merupakan bilangan bulat)? Apakah tidak bisa digunakan untuk bilangan
yang hasilnya desimal (ada koma-komanya)?<br />
Jawab : Bisa. (hehehe.. singkat bener ya jawabannya)<br />
<b><br />
</b><br />
Berikut adalah contoh yang hasilnya berupa bilangan desimal. Untuk
langkah-langkahnya diserahkan kepada pembaca. Jika kebingungan silahkan
lemparkan di komentar<br />
<b><br />
</b><br />
Hitunglah nilai dari <img alt="\sqrt{12345}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B12345%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{12345}" /><br />
<b><br />
</b><br />
<b> </b><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-akar-dari-12345-111.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3603" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/06/menghitung-akar-tanpa-kalkulator-akar-dari-12345-111.jpg?w=595" title="menghitung akar tanpa kalkulator akar dari 12345, 111," /></a><b> </b><br />
<b><br />
</b><br />
Hasilnya <img alt="111,10 \dots" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=111%2C10+%5Cdots&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="111,10 \dots" /><br />
Ada kelanjutannya, silahkan dicoba ya…<br />
<b><br />
</b><br />
<blockquote>
Sebagai latihan, Hitunglah!<br />
<img alt="\sqrt{13830961}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B13830961%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{13830961}" /> dan carilah 3 angka pertama dari <img alt="\sqrt{1234567891011213 \dots 9899100}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B1234567891011213+%5Cdots+9899100%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{1234567891011213 \dots 9899100}" /></blockquote>
<b> </b><br />
Selamat mencoba…<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
<b>Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (II) </b></h3>
<h3 style="text-align: left;">
<b> </b></h3>
<h3 style="text-align: left;">
<b> </b></h3>
Iseng-iseng baca <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=buku">bukunya</a> David Darling yang judulnya The Universal Book of Mathematics. Di dalamnya ada subjudul yaitu “Bakhshali manuscript” <span id="more-3788"></span><br />
<b><br />
</b><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/07/bakhshali-manuscript.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3789" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/07/bakhshali-manuscript.jpg?w=595" title="bakhshali manuscript" /></a><br />
<b><br />
</b><br />
Entah itu apa artinya, tetapi ada rumus yang menarik untuk saya
pelajari. Akhirnya saya pelajari rumus tersebut dan berikut laporannya :<br />
Hasil dari perhitungan akar kuadrat dengan menggunakan rumus ini sangat mendekati dengan hasil sebenarnya.<br />
Rumusnya adalah sebagai berikut :<br />
<b><br />
</b><br />
<blockquote>
<img alt="\sqrt{N}= \sqrt{A^2+b} \approx A+ \frac{b}{2A}- \frac{( \frac{b}{2A})^2}{2(A+ \frac{b}{2A})}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7BN%7D%3D+%5Csqrt%7BA%5E2%2Bb%7D+%5Capprox+A%2B+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2A%7D-+%5Cfrac%7B%28+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2A%7D%29%5E2%7D%7B2%28A%2B+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2A%7D%29%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="\sqrt{N}= \sqrt{A^2+b} \approx A+ \frac{b}{2A}- \frac{( \frac{b}{2A})^2}{2(A+ \frac{b}{2A})}" /></blockquote>
<b><br />
</b><br />
Dengan, N adalah sebarang <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=bilangan+asli">bilangan asli</a> atau <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=bilangan+cacah">bilangan cacah</a><br />
A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N<br />
Dan b adalah <img alt="b=N-A^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=b%3DN-A%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="b=N-A^2" /><br />
<b><br />
</b><br />
Misalnya untuk menghitung <img alt="\sqrt{13}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B13%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{13}" />, maka kita pilih <img alt="A=3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%3D3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A=3" /> sehingga <img alt="A^2=9" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5E2%3D9&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A^2=9" /> sangat mendekati 13. Sehingga, <img alt="b=4" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=b%3D4&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="b=4" />, maka<br />
<b><br />
</b><br />
<img alt="\sqrt{13}= \sqrt{3^2+4}=3,606060606..." class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B13%7D%3D+%5Csqrt%7B3%5E2%2B4%7D%3D3%2C606060606...&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{13}= \sqrt{3^2+4}=3,606060606..." /><br />
<b><br />
</b><br />
Nilai yang sebenarnya adalah <img alt="\sqrt{13}=3,605551275..." class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B13%7D%3D3%2C605551275...&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{13}=3,605551275..." /><br />
<b><br />
</b><br />
Berikut ini adalah beberapa nilai untuk <img alt="\sqrt{N}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7BN%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{N}" /> sampai dengan <img alt="N=99" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=N%3D99&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="N=99" /><br />
<b><br />
</b><br />
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 385px;">
<tbody>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79"><img alt="n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n" /></td>
<td nowrap="nowrap" width="138"><img alt="\sqrt{n}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7Bn%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{n}" /></td>
<td nowrap="nowrap" width="168">Menggunakan Rumus</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">1</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">1</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">1</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">2</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">1,414213562</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">1,416666667</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">3</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">1,732050808</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">1,75</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">4</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">2</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">2</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">5</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">2,236067977</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">2,236111111</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">6</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">2,449489743</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">2,45</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">7</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">2,645751311</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">2,647727273</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">8</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">2,828427125</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">2,833333333</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">9</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">3</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">3</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">10</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">3,16227766</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">3,162280702</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">11</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">3,31662479</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">3,316666667</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">12</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">3,464101615</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">3,464285714</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">13</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">3,605551275</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">3,606060606</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">14</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">3,741657387</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">3,742753623</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">15</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">3,872983346</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">3,875</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">16</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">17</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,123105626</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,123106061</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">18</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,242640687</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,242647059</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">19</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,358898944</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,358928571</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">20</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,472135955</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,472222222</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">21</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,582575695</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,58277027</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">22</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,69041576</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,690789474</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">23</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,795831523</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,796474359</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">24</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">4,898979486</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">4,9</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">25</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">26</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,099019514</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,099019608</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">27</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,196152423</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,196153846</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">28</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,291502622</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,291509434</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">29</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,385164807</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,385185185</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">30</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,477225575</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,477272727</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">31</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,567764363</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,567857143</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">32</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,656854249</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,657017544</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">33</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,744562647</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,744827586</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">34</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,830951895</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,831355932</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">35</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">5,916079783</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">5,916666667</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">36</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">37</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,08276253</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,082762557</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">38</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,164414003</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,164414414</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">39</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,244997998</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,245</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">40</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,32455532</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,324561404</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">41</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,403124237</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,403138528</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">42</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,480740698</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,480769231</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">43</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,557438524</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,557489451</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">44</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,633249581</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,633333333</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">45</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,708203932</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,708333333</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">46</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,782329983</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,782520325</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">47</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,8556546</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,855923695</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">48</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">6,92820323</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">6,928571429</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">49</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">50</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,071067812</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,071067821</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">51</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,141428429</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,141428571</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">52</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,211102551</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,211103253</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">53</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,280109889</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,280112045</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">54</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,348469228</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,348474341</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">55</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,416198487</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,416208791</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">56</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,483314774</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,483333333</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">57</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,549834435</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,549865229</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">58</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,615773106</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,615821095</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">59</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,681145748</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,681216931</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">60</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,745966692</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,746068152</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">61</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,810249676</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,81038961</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">62</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,874007874</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,874195624</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">63</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">7,937253933</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">7,9375</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">64</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">65</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,062257748</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,062257752</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">66</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,124038405</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,124038462</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">67</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,185352772</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,185353053</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">68</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,246211251</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,246212121</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">69</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,306623863</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,30662594</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">70</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,366600265</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,366604478</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">71</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,426149773</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,426157407</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">72</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,485281374</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,485294118</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">73</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,544003745</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,544023723</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">74</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,602325267</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,602355072</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">75</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,660254038</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,660296763</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">76</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,717797887</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,717857143</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">77</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,774964387</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,775044326</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">78</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,831760866</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,831866197</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">79</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,888194417</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,88833042</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">80</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">8,94427191</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">8,944444444</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">81</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">82</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,055385138</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,05538514</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">83</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,110433579</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,110433604</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">84</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,16515139</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,165151515</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">85</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,219544457</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,219544846</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">86</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,273618495</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,273619428</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">87</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,327379053</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,327380952</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">88</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,38083152</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,380834977</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">89</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,433981132</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,433986928</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">90</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,486832981</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,486842105</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">91</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,539392014</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,539405685</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">92</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,591663047</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,591682723</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">93</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,643650761</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,643678161</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">94</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,695359715</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,695396825</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">95</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,746794345</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,746843434</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">96</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,797958971</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,798022599</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">97</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,848857802</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,848938826</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">98</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,899494937</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,899596524</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="79">99</td>
<td nowrap="nowrap" width="138">9,949874371</td>
<td nowrap="nowrap" width="168">9,95</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<b><br />
</b><br />
Selisih terbesarnya ada pada <img alt="\sqrt{3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{3}" />, yaitu mempunyai selisih 0,017949192<br />
Selisih terbesar kedua ada pada <img alt="\sqrt{8}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B8%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{8}" />, yaitu mempunyai selisih 0,004906209<br />
<b><br />
</b><br />
Jika diperhatikan, dengan menggunakan rumus tersebut. Nilai dari <img alt="\sqrt{82}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B82%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{82}" /> mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari <img alt="\sqrt{99}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B99%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{99}" />. Begitu juga untuk <img alt="\sqrt{65}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B65%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{65}" /> dengan <img alt="\sqrt{80}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B80%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{80}" />. Begitu juga <img alt="\sqrt{50}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B50%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{50}" /> dibandingkan dengan <img alt="\sqrt{63}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B63%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{63}" />.<br />
<b><br />
</b><br />
Jika yang kita hitung adalah yang kurang dari dan mendekati suatu <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=kuadrat+sempurna">kuadrat sempurna</a>,
maka tingkat ketelitiannya kurang bagus. Berbeda dengan jika yang kita
hitung adalah yang lebih besar dari dan mendekati suatu kuadrat
sempurna. Tingkat ketelitiannya sangatlah bagus.<br />
<b><br />
</b><br />
Untuk menyiasati hal ini, kami mencoba untuk mengambil kasus jika nilai <img alt="A^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A^2" /> melebihi dari nilai N tetapi masih sangat dekat dengan N, tentu nilai b akan <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=bilangan+negatif">negatif</a>.<br />
Beberapa tabelnya untuk N mulai dari 81 sampai 100 adalah sebagai berikut :<br />
<b><br />
</b><br />
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 385px;">
<tbody>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85"><img alt="N" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=N&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="N" /></td>
<td nowrap="nowrap" width="126"><img alt="\sqrt{N}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7BN%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{N}" /></td>
<td nowrap="nowrap" width="174">Rumus untuk b negatif</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">81</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,000138122</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">82</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,055385138</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,055494505</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">83</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,110433579</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,110519126</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">84</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,16515139</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,165217391</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">85</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,219544457</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,219594595</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">86</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,273618495</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,273655914</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">87</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,327379053</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,327406417</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">88</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,38083152</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,380851064</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">89</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,433981132</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,433994709</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">90</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,486832981</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,486842105</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">91</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,539392014</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,539397906</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">92</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,591663047</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,591666667</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">93</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,643650761</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,64365285</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">94</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,695359715</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,695360825</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">95</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,746794345</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,746794872</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">96</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,797958971</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,797959184</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">97</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,848857802</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,848857868</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">98</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,899494937</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,899494949</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">99</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">9,949874371</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">9,949874372</td>
</tr>
<tr>
<td nowrap="nowrap" width="85">100</td>
<td nowrap="nowrap" width="126">10</td>
<td nowrap="nowrap" width="174">10,00010284</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<b><br />
</b><br />
Dapat kita lihat bahwa Nilai dari <img alt="\sqrt{99}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B99%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{99}" /> mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari <img alt="\sqrt{82}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B82%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{82}" /><br />
Dan nilai dari suatu kuadrat sempurna itu sendiri jadi tidak sama dengan nilai yang sebenarnya.<br />
<b><br />
</b><br />
Dapat disimpulkan di sini! Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus.<br />
Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati
suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna
(mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan
nilai <img alt="A^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A^2" /> sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati.<br />
Begitu juga sebaliknya.<br />
<b><br />
</b><br />
Intinya! Gunakan nilai A dan b sedemikian sehingga nilai <img alt="A^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A^2" /> sangat dekat dengan N<br />
Semoga bermanfaat.<br />
<b><br />
</b></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-90062266621930400662016-09-01T13:23:00.001+07:002017-12-02T06:03:54.587+07:00Semua Tentang Bilangan Prima<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: center;">
<b> <a href="https://asimtot.wordpress.com/papercut/">Papercut Handmade</a></b><br />
<b>Sebagai hadiah ulang tahun, hadian pernikahan, dll</b><br />
<b>Cocok diberikan kepada pasangan, sahabat, anak, atau untuk hiasan rumah.</b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<a href="https://asimtot.wordpress.com/papercut/"><b>Contact :<br />
</b></a><b><a href="https://asimtot.wordpress.com/papercut/">Harga dan Informasi</a><br />
</b><b>WA/Line : 085230646886<br />
</b><b>BBM : 59423DB0</b><br />
<b> </b><br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
<b>Bilangan Prima </b></h3>
<br />
Siapa yang tidak mengenal <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=bilangan+prima">Bilangan Prima</a>?<br />
Sejak kita di bangku SD, kita sudah dikenalkan tentang bilangan
prima. Bilangan Prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang mempunyai <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=faktor+positif">faktor positif</a> 1 dan bilangan itu sendiri.<br />
2 adalah bilangan prima, karena faktor positif dari 2 adalah 1 dan 2<br />
3 adalah bilangan prima, karena faktor positif dari 3 adalah 1 dan 3<br />
4 adalah bukan bilangan prima, karena faktor positif dari 4 adalah 1, 2, dan 4 (ada sebanyak 3 faktor positif)<br />
5 adalah bilangan prima, karena faktor positif dari 5 adalah 1 dan 5 <span id="more-1826"></span><br />
6 adalah bukan bilangan prima, karena faktor positif dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6 (ada sebanyak 4 faktor positif) <br />
<a name='more'></a><br /><br />
…<br />
<b> </b><br />
Di bawah ini adalah semua bilangan prima dari 1 sampai 100.<br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2%2C+3%2C+5%2C+7%2C+11%2C+13%2C+17%2C+19%2C+23%2C+29%2C+31%2C+37%2C+41%2C+43%2C+47%2C+53%2C+59%2C+61%2C+67%2C+71%2C+73%2C+79%2C+83%2C+89%2C+97&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97" /></div>
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97<b><br />
</b><br />
<b> </b><br />
Ada sebanyak 25 bilangan prima yang kurang dari 100.<br />
<b> </b><br />
<blockquote>
Baca juga <a href="https://asimtot.wordpress.com/2011/02/13/bilangan-prima-ke-1-sampai-bilangan-prima-ke-500/">Bilangan prima ke-1 sampai bilangan prima ke-500</a>.
Lengkap dengan nomor urutnya, jadi pembaca bisa tahu, bilangan prima
ke-1 adalah 2, dan bilangan prima ke-5 adalah 11, berapakah bilangan
prima ke-100. Berapa bilangan prima ke 500?</blockquote>
<b> </b><br />
Bilangan prima tersebut hanya satu yang merupakan bilangan genap, yaitu <img alt="2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2" />. Karena <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=bilangan+genap">bilangan genap</a> selanjutnya merupakan bilangan kelipatan <img alt="2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2" />, sehingga bilangan genap selain <img alt="2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2" /> adalah <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=bilangan+komposit">bilangan komposit</a>.<br />
<b> </b><br />
Bilangan prima kurang dari 100 yang berakhiran 1 yaitu : 11, 31, 41, 61, dan 71<br />
Bilangan prima kurang dari 100 yang berakhiran 3 yaitu : 3, 13, 23, 53, 73, dan 83<br />
Bilangan prima kurang dari 100 yang berakhiran 7 yaitu : 7, 17, 37, 47, 67, dan 97<br />
Bilangan prima kurang dari 100 yang berakhiran 9 yaitu : 19, 29, 59, 79, dan 89<br />
<b> </b><br />
Untuk pembaca yang ingin mempunyai aplikasi pencari bilangan prima, bisa langsung download saja di link berikut :<br />
<a href="http://www.4shared.com/file/HHaMp4zUce/Bilangan_Prima_versi_231.html">Download Aplikasi Bilangan Prima Versi Asimtot</a><br />
Sekilas screenshot aplikasinya :<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2010/10/upload.png"><img alt="upload" class="size-medium wp-image-5025 aligncenter" height="226" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2010/10/upload.png?w=300&h=170" width="400" /></a></div>
Semoga postingan ini membantu pembaca yang mencari bilangan prima
kurang dari 100. (Kebanyakan memang tugas untuk anak SD untuk mencari
bilangan prima yang kurang dari 100)<br />
<div style="text-align: left;">
<b> </b></div>
<div style="text-align: left;">
Baca juga tentang <a href="https://asimtot.wordpress.com/?s=bilangan+prima">Bilangan Prima menarik yang lainnya</a>, antara lain :</div>
<ul>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2015/11/17/bilangan-prima-dengan-bentuk-nn-n/">Bilangan prima dengan bentuk n^n + n</a> | Hanya ada 1 bilangan prima yang berbentuk seperti itu</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2012/05/26/versi-baru-software-bilangan-prima-asimtot-versi-2-0/">Versi baru software Bilangan Prima Asimtot (versi 2.0)</a> | Aplikasi untuk mencari bilangan prima, aplikasi ini untuk PC, silahkan didownload gratis</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/12/14/7-bilangan-prima-unik-versi-asimtot/">7 bilangan prima unik versi asimtot</a> | Mendengar bilangan prima unik mungkin jadi penasaran, sekedar pengetahuan saja supaya tidak jenuh. Mau tahu, masuk aja</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/12/04/kuadrat-bilangan-prima-jika-dibagi-24-akan-bersisa-1/">Kuadrat bilangan prima jika dibagi 24 akan bersisa 1</a> | Silahkan langsung cek menuju TKP</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/11/19/bilangan-prima-lebih-besar-4-bisa-ditulis-menjadi-6n-1-atau-6n-1/">Bilangan prima lebih besar 4 bisa ditulis menjadi 6n + 1 atau 6n – 1</a> | Ini adalah sifat dasar dari bilangan prima, cek</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/10/03/bilangan-prima-1-sampai-100/">Bilangan Prima 1 sampai 100</a> | Bagi sobat yang ingin mencari semua bilangan prima dari 1 sampai 100</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/08/30/multiplier-pada-bilangan-prima/">Multiplier pada bilangan prima</a>
| Multiplier pasti ada hubungannya dengan ciri bilangan yang habis
dibagi. Bagaimana ciri bilangan habis dibagi 7, bagaimana ciri bilangan
habis dibagi 19, ciri bilangan yang habis dibagi bilangan prima, ada
kaitannya erat dengan yang namanya multiplier, cek</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/bilangan-prima-unik-dari-kombinasi-angka-1-dan-3-kombinasi-tebanyak-dari-2-angka-dan-1-angka-0/">Bilangan prima unik dari kombinasi angka 1 dan 3 </a>| Penasaran bagaimana bilangan prima dari kombinasi angka 1 dan 3</li>
<li style="text-align: left;"><a href="https://asimtot.wordpress.com/2010/07/25/14-bilangan-prima-dua-digit-yang-apabila-diselipkan-angka-0-maka-membentuk-bilangan-prima-tiga-digit/">14 bilangan prima 2-digit yang jika disisipkan angka 0, membentuk bilangan prima 3-digit </a>| Bilangan disisipi angka nol jadi bilangan prima, berapa saja yaaa</li>
</ul>
<br />
<h3 style="text-align: left;">
<b>Adakah bilangan prima yang berbentuk</b> <img alt="n^n + n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n%5En+%2B+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n^n + n" /></h3>
<br />
Sekedar muncul di benak, suatu pertanyaan sederhana. Iseng aja saya
tuliskan di blog ini. Habisnya, saya sudah lama tidak posting di blog
kesayangan satu ini.<br />
<b> </b><br />
Bentuk <img alt="n^n + n" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n%5En+%2B+n&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n^n + n" /> <span id="more-5171"></span><br />
Jika n genap, maka n^n genap mengapa??, tentu saja n^n + n juga genap<br />
Jika n ganjil, maka n^n ganjil, mengapa?? tentu saja n^n + n hasilnya genap<br />
<b> </b><br />
Bilangan prima genap hanya ada satu, yaitu 2<br />
Tentu saja untuk n=1, maka n^n + n = 2<br />
<b> </b><br />
Jadi hanya ada 1 bilangan prima yang berbentuk n^n + n, yaitu ketika n=1, n^n + n = 2<br />
<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
<b>Keluarga Bilangan Prima </b></h3>
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/01/bilangan-prima.jpg"><img alt="" class="alignleft size-medium wp-image-2549" height="162" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/01/bilangan-prima.jpg?w=300&h=162" title="Bilangan prima" width="300" /></a> </div>
Bilangan
prima memang tidak bisa ditebak. Ada yang ini dan ada yang seperti itu.
Kalau tulisan sebelumnya membahas tentang bilangan prima yang membentuk
palindrome, maka kali ini beda lagi. Kali ini yang akan dibahas adalah
mengenai keluarga bilangan prima dan juga kawan-kawannya.<br />
<br />
Bilangan dengan bentuk “m3”, dengan m adalah angka. Ini membentuk
suatu keluarga yang sakinah, mawaddah dan warahmah. Hehe. Bilangan prima
yang seperti itu ada sebanyak 6 bilangan, yaitu<br />
<br />
<img alt="13, \quad 23, \quad 43, \quad 53, \quad 73, \quad 83" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=13%2C+%5Cquad+23%2C+%5Cquad+43%2C+%5Cquad+53%2C+%5Cquad+73%2C+%5Cquad+83&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="13, \quad 23, \quad 43, \quad 53, \quad 73, \quad 83" /> <span id="more-2548"></span><br />
<br />
Ada lagi keluarga bilangan prima yang banyaknya adalah 6 bilangan.
Bilangan yang dibentuk adalah “56kk3”, dengan k adalah angka. Ada 6
bilangan dengan bentuk seperti itu yang merupakan bilangan prima, yaitu<br />
<br />
<img alt="56003, \quad 56113, \quad 56333, \quad 56663, \quad 56773, \quad 56883" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=56003%2C+%5Cquad+56113%2C+%5Cquad+56333%2C+%5Cquad+56663%2C+%5Cquad+56773%2C+%5Cquad+56883&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="56003, \quad 56113, \quad 56333, \quad 56663, \quad 56773, \quad 56883" /><br />
<br />
Uniknya bilangan prima ya seperti ini. Ada lagi yang menarik, tentang
kawan bilangan prima. Dua bilangan prima yang sangat erat hubungan
pertemanannya. Sehingga jika mereka bergandengan akan membentuk bilangan
prima juga. Digandeng di sebelah kanan membentuk bilangan prima dan
digandeng di sebelah kiri juga membentuk suatu bilangan prima.<br />
Dua bilangan itu adalah 7 dan 109.<br />
Ketika mereka bergandengan, 7109, membentuk bilangan prima. Jika
mereka bergandengan dengan posisi yang berbeda dari sebelumnya, 1097,
juga merupakan bilangan prima.<br />
<br />
Ini juga di miliki oleh bilangan prima 7 dan 3. Ketika mereka
bergandengan juga membentuk bilangan prima. 73 merupakan bilangan prima
dan 37 juga merupakan bilangan prima.<br />
<br />
Dimiliki juga oleh 11 dan 3. 113 merupakan bilangan prima dan 311 juga merupakan bilangan prima.<br />
<br />
Selain bilangan prima kawan, juga ada yang kami namakan bilangan
prima looping. Bilangan prima memutar. Bilangan itu adalah 197, 971 dan
719. Ketiganya merupakan bilangan prima. Ini bisa dikatakan looping
karena <img alt="1-9-7" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1-9-7&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1-9-7" /> jika diputar terus juga akan menghasilkan bilangan prima. Sehingga kami menyebutnya looping.<br />
Bilangan prima memang sangatlah menarik untuk dikaji. Meskipun rumus umum bilangan prima itu sendiri belum ada.<br />
<br />
Ada juga yang menarik pada bilangan prima, yaitu mengenai Truncatable
prime. Bilangan prima truncatable. Bilangan prima yang jika dihapus
angka-angkanya dari kanan atau dari kiri (satu per satu) akan selalu
membentuk bilangan prima.<br />
Contohnya 73. Jika dihapus dari kanan akan didapatkan angka 7 yang
merupakan bilangan prima. Jika dihapus angkanya dari kiri, maka akan
didapatkan angka 3 yang juga merupakan bilangan prima.<br />
<br />
Truncatable prime ini adalah cukup menarik perhatian untuk dicari.
Bilangan truncatable prime ini misalnya yaitu 3797. Ketika kita hapus
angkanya dari kanan (satu per satu), maka akan diperoleh sebagai berikut
:<br />
<br />
<img alt="3797 \quad \to \quad 379 \quad \to \quad 37 \quad \to \quad 3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=3797+%5Cquad+%5Cto+%5Cquad+379+%5Cquad+%5Cto+%5Cquad+37+%5Cquad+%5Cto+%5Cquad+3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="3797 \quad \to \quad 379 \quad \to \quad 37 \quad \to \quad 3" /><br />
<br />
Semuanya merupakan bilangan prima. Jika angka-angkanya kita hapus
dari kiri (satu per satu), maka akan diperoleh bentuk berikut :<br />
<br />
<img alt="3797 \quad \to \quad 797 \quad \to \quad 97 \quad \to \quad 7" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=3797+%5Cquad+%5Cto+%5Cquad+797+%5Cquad+%5Cto+%5Cquad+97+%5Cquad+%5Cto+%5Cquad+7&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="3797 \quad \to \quad 797 \quad \to \quad 97 \quad \to \quad 7" /><br />
<br />
Kesemuanya juga merupakan bilangan prima.<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
<b>Mempunyai Faktor Bilangan Prima saja</b></h3>
<br />
Suatu bilangan yang mempunyai faktor positif yaitu bilangan prima
saja (bilangan 1 dan dirinya sendiri memang sebagai faktor, tetapi di
sini kita tidak menghitungnya). Misalnya 14, mempunyai faktor-faktor
positif yaitu 1, 2, 7 dan 14. (untuk selanjutnya [pada tulisan ini saja]
kita tidak menuliskan 1 dan dirinya sendiri sebagai faktor). Jadi
faktor positifnya (tanpa dirinya sendiri dan satu) adalah 2 dan 7, yang
keduanya merupakan bilangan prima. <span id="more-2501"></span><br />
Inilah yang selanjutnya kita sebut sebagai bilangan yang mempunyai faktor positif berupa bilangan prima saja.<br />
<br />
Bilangan yang mempunyai faktor prima saja ini bisa juga didapatkan
dari mengalikan bilangan prima yang berbeda. Misalnya kita mengalikan
sebarang bilangan prima berbeda seperti berikut :<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="2 \times 5=10" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2+%5Ctimes+5%3D10&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2 \times 5=10" /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
10 adalah bilangan yang mempunyai faktor prima saja. Mudah dicari
untuk bilangan-bilangan yang seperti ini. Hanya dengan mengalikan dua
bilangan prima yang berbeda, kita pasti mendapatkan bilangan yang hanya
mempunyai faktor prima saja. Mudah bukan.<br />
<br />
Pencarian kami tidak berhenti begitu saja. Kami menemukan banyak yang
unik mengenai bilangan yang seperti ini. Bilangan yang mempunyai faktor
positif berupa bilangan prima saja. Misalnya kapan pertama kalinya
bilangan yang seperti itu didapatkan berurutan? Apa ada bilangan seperti
itu yang membentuk suatu palindrom? Dan mungkin pertanyaan-pertanyaan
dari para pembaca.<br />
<br />
Bilangan yang hanya mempunyai faktor prima saja yang merupakan bilangan palindrom.<br />
<br />
Kita sudah mengetahui cara untuk mendapatkan suatu bilangan yang
hanya mempunyai faktor prima saja. beberapa berikut ini adalah bilangan
tersebut yang membentuk palindrom.<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="22,33,55,77" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=22%2C33%2C55%2C77&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="22,33,55,77" /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Bilangan-bilangan tersebut sudah sangat jelas akan membentuk palindrom.<br />
Berikutnya adalah sebagai berikut :<br />
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<img alt="111=3 \times 37" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=111%3D3+%5Ctimes+37&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="111=3 \times 37" /></div>
<div style="text-align: left;">
<img alt="141=3 \times 47" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=141%3D3+%5Ctimes+47&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="141=3 \times 47" /></div>
<div style="text-align: left;">
<img alt="161=7 \times 23" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=161%3D7+%5Ctimes+23&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="161=7 \times 23" /></div>
<div style="text-align: left;">
<img alt="737=67 \times 11" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=737%3D67+%5Ctimes+11&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="737=67 \times 11" /></div>
<div style="text-align: left;">
<img alt="989=23 \times 43" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=989%3D23+%5Ctimes+43&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="989=23 \times 43" /></div>
<div style="text-align: left;">
<img alt="979=11 \times 89" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=979%3D11+%5Ctimes+89&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="979=11 \times 89" /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
Dua bilangan berurutan yang keduanya merupakan bilangan yang hanya
mempunyai faktor positif bilangan prima saja adalah sebagai berikut :<br />
<br />
<img alt="14=7 \times 2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=14%3D7+%5Ctimes+2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="14=7 \times 2" /> dan <img alt="15=5 \times 3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=15%3D5+%5Ctimes+3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="15=5 \times 3" /><br />
<br />
14 dan 15 ini adalah bilangan pertama yang membentuk seperti itu.
Bilangan-bilangan selanjutnya sangat banyak sekali. Berikut ini adalah
bilangan-bilangannya<br />
<br />
<img alt="33=11 \times 3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=33%3D11+%5Ctimes+3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="33=11 \times 3" /> dan <img alt="34=17 \times 2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=34%3D17+%5Ctimes+2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="34=17 \times 2" /><br />
<img alt="38=19 \times 2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=38%3D19+%5Ctimes+2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="38=19 \times 2" /> dan <img alt="39=13 \times 3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=39%3D13+%5Ctimes+3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="39=13 \times 3" /><br />
<img alt="122=61 \times 2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=122%3D61+%5Ctimes+2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="122=61 \times 2" /> dan <img alt="123=41 \times 3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=123%3D41+%5Ctimes+3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="123=41 \times 3" /><br />
<br />
Ada juga yang unik yang merupakan bilangan yang mempunyai faktor
prima saja. yaitu bilangan berbalik ini, 26 dan 62 yang keduanya
merupakan bilangan yang hanya mempunyai faktor bilangan prima saja.<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="26=13 \times 2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=26%3D13+%5Ctimes+2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="26=13 \times 2" /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="62=31 \times 2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=62%3D31+%5Ctimes+2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="62=31 \times 2" /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Selain itu bilangan berbalik yang juga merupakan bilangan yang
mempunyai faktor prima saja adalah bilangan berbalik 319 dan 913. Dan
ternyata kombinasi dari 3, 1 dan 9 yang membentuk bilangan 391 juga
merupakan bilangan yang hanya mempunyai faktor berupa bilangan prima
saja. 1309 dan 1139 juga merupakan bilangan yang hanya mempunyai faktor
berupa bilangan prima.<br />
<br />
<img alt="319=11 \times 29" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=319%3D11+%5Ctimes+29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="319=11 \times 29" /><br />
<img alt="913=11 \times 83" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=913%3D11+%5Ctimes+83&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="913=11 \times 83" /><br />
<img alt="391=17 \times 23" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=391%3D17+%5Ctimes+23&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="391=17 \times 23" /><br />
<img alt="1309=11 \times 119" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1309%3D11+%5Ctimes+119&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1309=11 \times 119" /><br />
<img alt="1139=17 \times 67" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1139%3D17+%5Ctimes+67&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1139=17 \times 67" /><br />
<br />
143 dan 341 juga merupakan bilangan berbalik yang keduanya merupakan
bilangan yang hanya mempunyai faktor positif berupa bilangan prima saja.
<img alt="11 \times 13=143" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=11+%5Ctimes+13%3D143&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="11 \times 13=143" /> dan <img alt="31 \times 11=341" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=31+%5Ctimes+11%3D341&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="31 \times 11=341" />.<br />
<br />
Menuju ke yang lainnya. Bilangan yang hanya mempunyai faktor bilangan prima saja ini juga mempunyai keunikan yang lainnya.<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="119" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=119&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="119" /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Jika kita rotasikan 180 derajat, maka akan menjadi<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="611" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=611&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="611" /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Keduanya merupakan bilangan yang hanya mempunyai faktor berupa bilangan prima saja. <img alt="119=17 \times 7" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=119%3D17+%5Ctimes+7&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="119=17 \times 7" /> dan <img alt="611=13 \times 47" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=611%3D13+%5Ctimes+47&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="611=13 \times 47" />.
Perhatikan angka-angka yang ada pada bilangan prima yang menjadi faktor
tersebut. 17 dan 7. Jika angka-angkanya kita jumlahkan maka diperoleh <img alt="1+7+7=15" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2B7%2B7%3D15&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1+7+7=15" />. 13 dan 47. Jika angka-angkanya kita jumlahkan maka kita mendapatkan <img alt="1+3+4+7=15" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2B3%2B4%2B7%3D15&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1+3+4+7=15" />. Ini setara dengan <img alt="9+6=15" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=9%2B6%3D15&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="9+6=15" />. Rotasi kita tadi menyebabkan 6 menjadi 9. Angka 1 tetap menjadi angka 1, jadi kita tidak menghitungnya.<br />
<br />
15 sendiri adalah bilangan yang hanya mempunyai faktor berupa
bilangan prima saja. 15 yang berasal dari perkalian bilangan prima 5 dan
3.<br />
<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
7 bilangan prima unik versi asimtot</h3>
<div style="text-align: center;">
</div>
Bilangan prima satu ini adalah satu-satunya bilangan prima yang
genap.Tidak ada bilangan prima lagi selain 2 yang merupakan bilangan
genap.<br />
Bilangan genap yang lain pasti merupakan bilangan kelipatan 2,
sehingga bilangan-bilangan genap kecuali 2 pasti bukan merupkan bilangan
prima. <span id="more-2336"></span><br />
Selain itu, bilangan 2 adalah bilangan prima yang pertama. Bilangan
prima pertama dan satu-satunya bilangan prima yang genap. Unik kan!<br />
Bilangan prima ditambah 1 sama dengan bilangan komposit (kecuali pada bilangan prima 2). Karena <img alt="2+1=3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2%2B1%3D3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2+1=3" /> yang juga merupakan bilangan prima. Lagi-lagi melibatkan bilangan prima 2. Hehehe.<img alt="🙄" class="emoji" draggable="false" src="https://s0.wp.com/wp-content/mu-plugins/wpcom-smileys/twemoji/2/72x72/1f644.png" /><br />
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<b>11</b></div>
Bilangan prima pertama yang membentuk palindrom.<br />
Bilangan prima pertama dengan angka berulang.<br />
Satu-satunya bilangan prima 2-angka yang membentuk palindrom.<br />
Satu-satunya bilangan prima n-angka (dengan n bilangan genap) yang
membentuk palindrom. Karena, bilangan palindrome n-angka (dengan n
genap) adalah bilangan kelipatan 11.<br />
Selain itu, bilangan prima 11 adalah bilangan prima 2-angka yang pertama.<br />
Bilangan prima 11 juga banyak keunikannya. Perkalian dengan bilangan
11, lalu bilangan palindron yang berdigit sebanyak bilangan genap
merupakan kelipatan 11. Ada lagi bilangan prima yang mempunyai
angka-angka 1, yaitu 1111111111111111111 (sebanyak 19 angka 1). Unik
bukan.<br />
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<b>13 dan 31</b></div>
Bilangan prima pertama yang jika angka-angkanya dibaca dari belakang
juga membentuk bilangan prima. Bilangan prima yang kedua yaitu 17,
karena 71 juga merupakan bilangan prima. Sebenarnya banyak bilangan yang
dibaca dan dibaca dari belakang membentuk bilangan prima. Tetapi karena
13 dan 31 merupakan bilangan yang pertama, jadi ya kita memilihnya
sebagai bilangan prima unik.<br />
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<b>2011</b></div>
Tahun baru ini adalah menyambut tahun 2011. Dan 2011 adalah bilangan
prima. Kita akan memasuki tahun prima. Tidak ada hal khusus memang di
tahun yang prima. Hanya keunikan tahunnya saja yang merupakan bilangan
prima.<br />
Di tahun prima ini memang tidak ada hal yang unik. Kita bikin unik
sendiri saja. Apakah hari ulang tahunmu nanti juga merupakan bilangan
prima, misalnya 7052011, yaitu tanggal 7 bulan 5 tahun 2011 merupakan
bilangan prima. Apakah hari ulang tahunmu di tahun 2011 merupakan
bilangan prima?<br />
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<b>11112011</b></div>
Bilangan prima unik. 11112011.Bukan palindrom memang. Tetapi, ini
unik karena antara tanggal, bulan dan tahunnya mempunyai angka-angka 1.
Bila dituliskan dalam penulisan singkat, 11-11-11. Padahal jika
dituliskan secara panjang, ini adalah suatu bilangan prima. Kami
mempunyai sesuatu yang unik di sini, pada tanggal 11 bulan 11 tahun
2011. Tunggu saja.<br />
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<b>23456789</b></div>
Bilangan prima unik yang terdiri dari angka berurutan. 23456789.
Siapa sangka kalau bilangan tersebut adalah bilangan prima. Bilangan
prima ini kami pilih sebagai bilangan prima unik karena angka-angkanya
berurutan dari 2 sampai 9.<br />
Unik bukan.<br />
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<b>345676543</b></div>
Bilangan prima unik yang angka-angkanya naik kemudian turun ke angka
awal. Bilangan ini membentuk palindrom. Perhatikan angka-angka dari
bilangan prima yang satu ini. Dari angka 3 kemudian naik ke 4, 5 dan
sampai di 7 turun lagi ke 3.<br />
<br />
<br />
<h3 style="text-align: left;">
</h3>
<h3 style="text-align: left;">
<b>Aplikasi Bilangan Prima </b></h3>
Asimtot telah sedikit memperbaiki software bilangan primanya.<br />
Bagi yang belum tahu software bilangan prima versi lama, silahkan bisa dicoba. Portable.<br />
Download di sini<br />
<a href="http://www.4shared.com/file/3rwlIjfd/Bilangan_Prima_versi_10.html">Software Bilangan Prima versi 1.0</a><br />
<a href="http://www.4shared.com/file/PYNvTT3f/Bilangan_Prima_versi_12.html">Software Bilangan Prima versi 1.3</a><br />
<b> </b><br />
Software terbaru adalah Software Bilangan Prima versi 2.0, silahkan di download di sini :<a href="http://www.4shared.com/file/aB5EHb6c/Bilangan_Prima_versi_20.html"> Software Bilangan Prima versi 2.0</a><br />
Fitur versi 2.0 ini adalah <span id="more-4493"></span><br />
– Proses perhitungan semakin cepat (berbeda jauh kecepatannya dibandingkan versi 1.3)<br />
– Ada fitur lain-lain tentang prima<br />
– Mencari bilangan prima yang berakhiran 1. Atau 2, 3, dst<br />
– Menampilkan konjecture Goldbach 1 (semua kemungkinan akan dituliskan)<br />
– Desain yang cukup berbeda dengan versi sebelumnya<br />
Screenshotnya :<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2012/05/bilangan-prima-v2-1.png"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4494" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2012/05/bilangan-prima-v2-1.png?w=595" title="bilangan prima v2 1" /></a><br />
<br />
Untuk Konjecturenya<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2012/05/bilangan-prima-v2-2.png"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4495" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2012/05/bilangan-prima-v2-2.png?w=595" title="bilangan prima v2 2" /></a><br />
<b> </b><br />
Silahkan dicoba sendiri. Ukuran kecil. Tidak lebih dari 1 Mb.<br />
Ditunggu saran dan kritikannya</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-30920047987854047942016-06-21T13:32:00.001+07:002017-12-02T06:03:54.542+07:00Persegi atau bukan<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<b></b>Persegi itu kotak. . iya kah? Persegi itu adalah segi empat yang sisi-sisinya mempunyai panjang yang sama dan tentu saja sudut pada setiap titik sudutnya adalah 90 derajat. Bagaimana dengan yang ini! Apakah PERSEGI? <b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<b><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/lurus-tidak-3.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3943" height="319" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/lurus-tidak-3.jpg?w=595" title="lurus tidak 3" width="320" /></a><br />
</b></div>
<b> </b><br />
Lihat yang di dalam.. .bukan yang bagian luarnya.. . itu persegi bukan ya? <br />
<a name='more'></a><span id="more-3940"></span><br />
Komentar anda bagaimana?<br />
… … … … … … … … … … … … … … … … …<br />
… … … … … … … … … … … … … … … … …<br />
… … … … … … … … … … … … … … … … …<br />
[ditunggu komentarnya di bawah]<br />
<b><br />
</b><br />
Itulah ilusi.. . Mata kita tertipu.. .<br />
Berikut ini juga yang lainnya :<br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/lurus-tidak-5.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3944" height="319" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/lurus-tidak-5.jpg?w=595" title="lurus tidak 5" width="320" /></a></div>
<b><br />
</b><br />
Terlihat seperti agak miring (menceng).. . Ternyata setelah diukur, ternyata sudutnya 90 derajat.<br />
<b><br />
</b><br />
Cara mengukur sederhananya, ambil saja kertas, lipat lurus, kemudian lipat lagi sehingga membentuk sudut 90 derajat.. . Kemudian tempelkan di sudutnya.. Pas bukan?<br />
<b><br />
</b><br />
Ini dia yang terakhir<br />
<b> </b><br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/lurus-tidak-2.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-3945" height="316" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/lurus-tidak-2.jpg?w=595" title="lurus tidak 2" width="320" /></a></div>
<b><br />
</b><br />
Terlihat seperti persegi yang gemuk.. .<br />
Komentar anda<br />
… … … … … … … … … … … … … … … … …<br />
<b><br />
</b><br />
Persegi itu adalah segi empat dengan panjang setiap sisinya adalah sama, dan besar sudut pada setiap titik sudutnya adalah 90 derajat.. . Seperti itu.. . Hehe.. .<br />
Tunggu saja ilusi-ilusi yang lainnya.. .<br />
<b> </b></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-29296992698708445182016-06-21T13:31:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.540+07:00Peluang (kaidah perkalian) [Belajar SMA] [PS]<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Konsep “As” kaidah perkalian :
Jika tempat pertama itu berisi <img alt="n_1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_1" /> kemungkinan dan tempat kedua berisi <img alt="n_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_2" /> kemungkinan, dan seterusnya sampai di tempat ke-k berisi <img alt="n_k" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_k&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_k" /> kemungkinan, maka banyaknya kemungkinan yang mungkin terjadi untuk mengisi k tempat yang tersedia itu adalah<br />
<img alt="n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_1+%5Ctimes+n_2+%5Ctimes+%5Cdots+%5Ctimes+n_k&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Ilustrasi,<br />
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="46"><img alt="n_1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_1" /></td>
<td valign="top" width="46"><img alt="n_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_2" /></td>
<td valign="top" width="46"><img alt="n_3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_3" /></td>
<td valign="top" width="46"><img alt="n_4" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_4&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_4" /></td>
</tr>
</tbody>
</table>
Maka, total kemungkinannya adalah <img alt="n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=n_1+%5Ctimes+n_2+%5Ctimes+n_3+%5Ctimes+n_4&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4" /> <span id="more-3959"></span><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>SOAL-SOAL DAN SOLUSI</strong><br />
<strong>[satu]</strong> Dari kota A ke kota B bisa ditempuh dengan 3
cara, dari kota B ke kota C dapat di tempuh dengan 5 cara. Jika dari
kota A ingin menuju kota C dengan melalui kota B, ada berapa banyak cara
yang bisa dipilih? <br />
<a name='more'></a><br /><br />
JAWAB :<br />
Dengan menggunakan kaidah perkalian, didapatkan <img alt="3 \times 5=15" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=3+%5Ctimes+5%3D15&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="3 \times 5=15" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>[dua]</strong> Dari angka-angka 1, 2, 3 akan dibuat bilangan
2-angka, banyaknya bilangan yang dapt dibuat jika angka yang telah
digunakan, boleh digunakan lagi (boleh berulang) adalah …<br />
JAWAB :<br />
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="108">puluhan</td>
<td valign="top" width="108">satuan</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="108">3</td>
<td valign="top" width="108">3</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Banyaknya kemungkinan angka yang digunakan sebagai puluhan ada
sebanyak 3 angka, angka puluhan bisa diisi dengan 1, 2 atau 3. Begitu
juga untuk tempat satuan, ada 3 kemungkinan, jadi, total ada 3 x 3 = 9
kemungkinan.. .<br />
Jika kita tuliskan semua kemungkinannya yaitu 11, 22, 33, 12, 13, 21, 23, 31, 32<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>[tiga]</strong> Dari angka-angka 1, 2, 3 akan dibuat bilangan
2-angka, banyaknya bilangan yang dapt dibuat jika angka yang telah
digunakan, tidak boleh digunakan lagi (tidak boleh berulang) adalah …<br />
JAWAB :<br />
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="108">puluhan</td>
<td valign="top" width="108">satuan</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="108">3</td>
<td valign="top" width="108">2</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Banyaknya kemungkinan angka yang digunakan sebagai puluhan ada
sebanyak 3 angka, angka puluhan bisa diisi dengan 1, 2 atau 3. Untuk
tempat satuan, hanya ada 2 kemungkinan. Karena syarat tidak boleh
berulang. Karena andai saja di tempat puluhan diisi angka 1, maka di
tempat satuan tidak boleh diisi 1, di tempat satuan hanya boleh di isi
dengan 2 atau 3. Sehingga hanya ada 2 kemungkinan di tempat satuan.
Jadi, total kemungkinannya adalah 3 x 2 = 6<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>[empat]</strong> dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan
dibuat bilangan 4 angka, banyaknya kemungkinan yang bisa dibuat jika
angka yang digunakan boleh berulang adalah<br />
JAWAB :<br />
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="44">6</td>
<td valign="top" width="44">6</td>
<td valign="top" width="44">6</td>
<td valign="top" width="44">6</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Karena angka yang digunakan boleh berulang, maka ada sebanyak <img alt="6^4" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=6%5E4&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="6^4" /> kemungkinan<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>[lima]</strong> Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan dibuat
bilangan 4-angka yang lebih besar dari 4000, ada berapa banyak
kemungkinan jika angka yang digunakan boleh berulang<br />
JAWAB :<br />
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="44">3</td>
<td valign="top" width="44">6</td>
<td valign="top" width="44">6</td>
<td valign="top" width="44">6</td>
</tr>
</tbody>
</table>
Mengaoa di tempat ribuan hanya berisi 3? Karena, bilangan yang
diinginkan adalah bilangan yang lebih besar dari 4000. Jadi, di tempat
ribuan hanya bisa diisi oleh angka 4, 5 atau 6.<br />
Jadi, total kemungkinannya adalah 3 x 6 x 6 x 6 kemungkinan<br />
<strong><br />
</strong></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-26932530663059961342016-06-21T13:30:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.538+07:00666 (Beast Number)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<strong></strong>Bilangan-bilangan itu menyembuntikan keunikannya sendiri-sendiri.
Kali ini untuk bilangan 666. Pada buku yang kami baca, 666 disebut
sebagai beast number. Apa itu artinya, kami sendiri juga bingung mau
mengartikan itu apa. Hehe.
yang jelas, 666 itu unik.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Berikut keunikan dari bilangan 666 <span id="more-4018"></span><br />
<strong><br />
</strong><br />
Pertama,<br />
<img alt="3^6-2^6+1^6=666" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=3%5E6-2%5E6%2B1%5E6%3D666&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="3^6-2^6+1^6=666" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Kedua,<br />
<img alt="=1+2+3+4+5+6+7+8+9+ \dots + 36=666" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D1%2B2%2B3%2B4%2B5%2B6%2B7%2B8%2B9%2B+%5Cdots+%2B+36%3D666&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="=1+2+3+4+5+6+7+8+9+ \dots + 36=666" /><br />
Perhatikan bahwa 36 itu sama dengan <img alt="6^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=6%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="6^2" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Ketiga, <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<img alt="1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+5^3+4^3+3^3+2^3+1^3=666" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%5E3%2B2%5E3%2B3%5E3%2B4%5E3%2B5%5E3%2B6%5E3%2B5%5E3%2B4%5E3%2B3%5E3%2B2%5E3%2B1%5E3%3D666&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+5^3+4^3+3^3+2^3+1^3=666" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Keempat,<br />
<img alt="6+6+6+6^3+6^3+6^3=666" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=6%2B6%2B6%2B6%5E3%2B6%5E3%2B6%5E3%3D666&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="6+6+6+6^3+6^3+6^3=666" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Kelima,<br />
Bilangan prima berurutan berikut yang dikuadratkan kemudian dijumlahkan<br />
<img alt="2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2=666" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2%5E2%2B3%5E2%2B5%5E2%2B7%5E2%2B11%5E2%2B13%5E2%2B17%5E2%3D666&bg=ffffff&fg=555555&s=1" title="2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2=666" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Wow.. . Banyak sekali keunikan untuk bilangan ini. 666<br />
Ada satu lagi yaitu tripel Pythagoras. Berikut :<br />
<strong><br />
</strong><br />
Keenam,<br />
Tripel Pythagoras berikut kelihatannya biasa-biasa saja. (216, 630, 666)<br />
Tripel Pythagoras tersebut memiliki bilangan 666 di dalamnya. Mungkin
terlihat biasa saja, tetapi, jika tripel tersebut dituliskan ke dalam
bentuk berbeda seperti ini, mungkin kelihatan sangat istimewa,<br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="(6 \times 6 \times 6)^2 + (666-6 \times 6)^2 =666^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%286+%5Ctimes+6+%5Ctimes+6%29%5E2+%2B+%28666-6+%5Ctimes+6%29%5E2+%3D666%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=2" title="(6 \times 6 \times 6)^2 + (666-6 \times 6)^2 =666^2" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Mengagumkan. Bilangan 666 memang mengagumkan.<br />
<strong> </strong><br />
<h1 style="text-align: right;">
<span style="color: #339966;">666</span></h1>
<strong> </strong><br />
Tunggu keunikan bilangan-bilangan yang lainnya di postingan-postingan selanjutnya.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Jika kalian ingin mengetahui pustaka-pustaka apa saja yang menjadi sumber bacaan kami, kunjungi pustaka asimtot (daftar pustaka)</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-82235882084704846672016-06-21T13:29:00.002+07:002017-12-02T06:03:54.579+07:00Soal OSN-PTI 2011 (Matematika)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<strong></strong>Akhirnya selesai juga menulis ulang soal OSN-PTI 2011. Bagi
teman-teman yang ingin mendownload soalnya, silahkan di download di link
di bawah postingan ini.
Sebelum mendownloadnya, lihat-lihat dulu ini adalah beberapa soal-soal OSN-PTI 2011 Matematika.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Misalkan dan bilangan bulat positif sehingga habis dibagi oleh ,
habis dibagi oleh , dan habis dibagi . Nilai terkecil yang mungkin
dari adalah … <span id="more-4028"></span><br />
a.10<br />
b.30<br />
c.90<br />
d.600<br />
e.900 <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Di sebuah negara terdapat 60% dari warganya laki-laki dan 70% dari
warganya perempuan yang berhak mengikuti pemilihan umum. Saat pemilihan
umum berlangsung hanya 60% dari pemilih laki-laki yang memilih dan hanya
60% dari pemilih perempuan yang memilih. Berapa persenkah total warga
yang memilih di dalam pemilihan umum tersebut?<br />
a.0,42<br />
b.0,48<br />
c.0,49<br />
d.0,54<br />
e.0,60<br />
<strong><br />
</strong><br />
File yang kami upload dalam bentuk .jpg dan juga dalam bentuk .pdf,
untuk yang download dengan menggunakan HP java supaya lebih mudah untuk
membacanya langsung dari HP.<br />
jika ada yang ingin mendapat dalam format <span class="skimlinks-unlinked">ms.word</span>, silahkan hubungi ke email atau ke halaman jualan, di sana kalian bisa mendapatkan gratis.<br />
Dua soal yang ada gambarnya belum kami tuliskan, harap maklum, malas untuk menggambar.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Berikut link downloadnya<br />
<a href="http://www.4shared.com/file/id1OZy0a/SOAL_OSN-PTI_2011.html">SOAL-SOAL OSN-PTI 2011 Matematika – jpg</a><br />
<a href="http://www.4shared.com/document/awOxMeG9/SOAL_OSN-PTI_2011.html">SOAL-SOAL OSN-PTI 2011 Matematika – pdf</a></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-26818996260282006792016-06-21T13:27:00.002+07:002017-12-02T06:03:54.535+07:00Measure Theory (Teori Ukuran) [Ukuran Luar dan Ukuran Dalam]<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<strong></strong>Definisi :
Suatu Ukuran Luar dari suatu interval I pada garis bilangan real dengan titik ujung <img alt="a<b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3Cb&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a<b" /> adalah <img alt="b-a" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=b-a&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="b-a" /> dan dinotasikan sebagai <img alt="m^*(I)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28I%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(I)" /> <span id="more-4097"></span><br />
<strong><br />
</strong><br />
Definisi :<br />
Suatu Ukuran Luar <img alt="m^*(G)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28G%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(G)" /> dari suatu himpunan terbuka <img alt="G \subset E" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=G+%5Csubset+E&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="G \subset E" /> adalah diberikan oleh <img alt="\Sigma{}_i m^*(I_i)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5CSigma%7B%7D_i+m%5E%2A%28I_i%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\Sigma{}_i m^*(I_i)" /> dimana <img alt="I_i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=I_i&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="I_i" />
adalah bentuk dari dekomposisi tunggal dari G kedalam suatu gabungan
dari pasangan-pasangan selang terbuka yang saling bebas baik finite
maupun countably finite<br />
<strong><br />
</strong><br />
Definisi<br />
Ukuran Luar <img alt="m^*(A)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28A%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(A)" /> dari sebarang himpunan <img alt="A \subset R" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A+%5Csubset+R&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A \subset R" /> adalah diberikan oleh <img alt="glb \{ m^*(G) \mid A \subset G \, and \, G \, open \, in E \}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=glb+%5C%7B+m%5E%2A%28G%29+%5Cmid+A+%5Csubset+G+%5C%2C+and+%5C%2C+G+%5C%2C+open+%5C%2C+in+E+%5C%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="glb \{ m^*(G) \mid A \subset G \, and \, G \, open \, in E \}" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Definisi<br />
Ukuran Dalam dari sebarang himpunan <img alt="A \subset R" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A+%5Csubset+R&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A \subset R" /> dinotasikan sebagai <img alt="m_*(A)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m_%2A%28A%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m_*(A)" /> didefinisikan sebagai <img alt="m^*(E)-m^*(E/A)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28E%29-m%5E%2A%28E%2FA%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(E)-m^*(E/A)" /> dimana <img alt="E/A" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%2FA&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="E/A" /> adalah suatu himpunan E tanpa himpunan A. <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Contoh :<br />
Jika ada himpunan <img alt="A=(-3, 5)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%3D%28-3%2C+5%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A=(-3, 5)" /> berapakah <img alt="m^*(A)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28A%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(A)" /><br />
Jawab :<br />
Tentu saja <img alt="m^*(A)=5-(-3)=8" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28A%29%3D5-%28-3%29%3D8&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(A)=5-(-3)=8" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Bagaimana dengan <img alt="B=(-3, 5]" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=B%3D%28-3%2C+5%5D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="B=(-3, 5]" /> berapakah <img alt="m^*(B)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28B%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(B)" /><br />
Jawab :<br />
Sama saja <img alt="m^*(B)=5-(-3)=8" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28B%29%3D5-%28-3%29%3D8&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(B)=5-(-3)=8" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="C=[-3, 5]" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=C%3D%5B-3%2C+5%5D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="C=[-3, 5]" /> berapakah <img alt="m^*(C)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28C%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(C)" /><br />
Jawab :<br />
Maka <img alt="m^*(C)=5-(-3)=8" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28C%29%3D5-%28-3%29%3D8&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(C)=5-(-3)=8" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Jika <img alt="D=(1, 5) \cup (11, 13]" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=D%3D%281%2C+5%29+%5Ccup+%2811%2C+13%5D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="D=(1, 5) \cup (11, 13]" /> berapakah <img alt="m^*(D)" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(D)" /><br />
Jawab :<br />
Menggunakan definisi yang kedua :<br />
Maka <img alt="m^*(D)=(5-1)+(13-11)=4+2=6" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%5E%2A%28D%29%3D%285-1%29%2B%2813-11%29%3D4%2B2%3D6&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="m^*(D)=(5-1)+(13-11)=4+2=6" /></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-38170675403341026302016-06-21T13:26:00.003+07:002017-12-02T06:03:54.550+07:00Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Bilangan kompleks dituliskan sebagai <img alt="a+bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%2Bbi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a+bi" /><br />
Jika <img alt="z=a+bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%3Da%2Bbi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z=a+bi" />
merupakan suatu bilangan kompleks, maka a adalah bagian nyata dan b
adalah bagian imajiner. Ingat a dan b di sini adalah bilangan real.<br />
Jadi bisa dituliskan<br />
<img alt="R(z)=a" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=R%28z%29%3Da&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="R(z)=a" /> dan <img alt="I(z)=b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=I%28z%29%3Db&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="I(z)=b" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Jika <img alt="R(z)=0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=R%28z%29%3D0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="R(z)=0" /> dan <img alt="I(z) \ne 0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=I%28z%29+%5Cne+0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="I(z) \ne 0" /> maka disebut <strong>bilangan kompleks murni</strong><br />
Jika <img alt="R(z)=0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=R%28z%29%3D0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="R(z)=0" /> dan <img alt="I(z)=1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=I%28z%29%3D1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="I(z)=1" /> atau dituliskan sebagai <img alt="z=i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%3Di&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z=i" /> disebut <strong>satuan khayal <span id="more-4100"></span><br />
</strong><br />
<strong>Kesamaan bilangan kompleks</strong><br />
Jika <img alt="z=a+bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%3Da%2Bbi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z=a+bi" />, maka <img alt="z_1=z_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1%3Dz_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1=z_2" /> yaitu jika<br />
<img alt="a_1=a_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a_1%3Da_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a_1=a_2" /> dan <img alt="b_1=b_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=b_1%3Db_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="b_1=b_2" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Jumlah pada bilangan kompleks yaitu <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<img alt="z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i " class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1%2Bz_2%3D%28a_1%2Ba_2%29%2B%28b_1%2Bb_2%29i+&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i " /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Perkaliannya<br />
<img alt="z_1 \times z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1+%5Ctimes+z_2%3D%28a_1%2Bb_1i%29%28a_2%2Bb_2i%29%3D%28a_1a_2-b_1b_2%29%2B%28a_1b_2%2Ba_2b_1%29i&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1 \times z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="i^2=-1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=i%5E2%3D-1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="i^2=-1" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Di dalam bilangan kompleks juga dikenal bilangan nol, yaitu merupakan identitas penjumlahan, yaitu <img alt="0+0i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=0%2B0i&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="0+0i" /><br />
Dan identitas perkaliannya adalah <img alt="1+0i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=1%2B0i&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="1+0i" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Lawan penjumlahannya, <img alt="-z" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=-z&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="-z" /><br />
Jika <img alt="z=a+bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%3Da%2Bbi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z=a+bi" /> maka <img alt="-z=-a-bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=-z%3D-a-bi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="-z=-a-bi" /><br />
Kebalikan dari z, yaitu <img alt="\dfrac{1}{z}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{1}{z}" /><br />
<img alt="z^{-1}= \dfrac{x}{x^2+y^2}- \dfrac{y}{x^2+y^2}i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%5E%7B-1%7D%3D+%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D-+%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Di&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z^{-1}= \dfrac{x}{x^2+y^2}- \dfrac{y}{x^2+y^2}i" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="zz^{-1}=1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=zz%5E%7B-1%7D%3D1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="zz^{-1}=1" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Sekawan (Conjugation)</strong><br />
Jika <img alt="z=a+bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%3Da%2Bbi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z=a+bi" /> adalah bilangan kompleks, maka sekawannya (conjugation) dari z adalah <img alt="\bar z =a-bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbar+z+%3Da-bi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\bar z =a-bi" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Sifat-sifat bilangan kompleks</strong><br />
<strong><br />
</strong><br />
Komutatif<br />
<img alt="z_1+z_2=z_2+z_1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1%2Bz_2%3Dz_2%2Bz_1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1+z_2=z_2+z_1" /><br />
<img alt="z_1z_2=z_2z_1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1z_2%3Dz_2z_1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1z_2=z_2z_1" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Asosiatif<br />
<img alt="z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1%2B%28z_2%2Bz_3%29%3D%28z_1%2Bz_2%29%2Bz_3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3" /><br />
<img alt="z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1%28z_2z_3%29%3D%28z_1z_2%29z_3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Distributif<br />
<img alt="z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z_1%28z_2%2Bz_3%29%3Dz_1z_2%2Bz_1z_3&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Distributivitas kesekawanan<br />
<img alt="\overline{z_1+z_2}= \bar z_1+ \bar z_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Coverline%7Bz_1%2Bz_2%7D%3D+%5Cbar+z_1%2B+%5Cbar+z_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\overline{z_1+z_2}= \bar z_1+ \bar z_2" /><br />
<img alt="\overline{z_1-z_2}= \bar z_1- \bar z_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Coverline%7Bz_1-z_2%7D%3D+%5Cbar+z_1-+%5Cbar+z_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\overline{z_1-z_2}= \bar z_1- \bar z_2" /><br />
<img alt="\overline{z_1z_2}= \bar z_1 \bar z_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Coverline%7Bz_1z_2%7D%3D+%5Cbar+z_1+%5Cbar+z_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\overline{z_1z_2}= \bar z_1 \bar z_2" /><br />
<img alt="\overline{z_1/z_2}= \bar z_1/ \bar z_2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Coverline%7Bz_1%2Fz_2%7D%3D+%5Cbar+z_1%2F+%5Cbar+z_2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\overline{z_1/z_2}= \bar z_1/ \bar z_2" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="\overline{ \overline{z}}=z" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Coverline%7B+%5Coverline%7Bz%7D%7D%3Dz&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\overline{ \overline{z}}=z" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<img alt="z \bar z=[R(z)]^2+[I(z)]^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z+%5Cbar+z%3D%5BR%28z%29%5D%5E2%2B%5BI%28z%29%5D%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z \bar z=[R(z)]^2+[I(z)]^2" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Beberapa soal :</strong><br />
Tuliskan dalam bentuk <img alt="A+Bi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=A%2BBi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="A+Bi" /> untuk <img alt="\dfrac{1+i}{1-i}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B1%2Bi%7D%7B1-i%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{1+i}{1-i}" /><br />
<strong>Jawaban :</strong><br />
<img alt="\dfrac{1+i}{1-i}= \dfrac{1+i}{1-i} \dfrac{1+i}{1+i}= \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2}= \dfrac{2i}{2}=i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B1%2Bi%7D%7B1-i%7D%3D+%5Cdfrac%7B1%2Bi%7D%7B1-i%7D+%5Cdfrac%7B1%2Bi%7D%7B1%2Bi%7D%3D+%5Cdfrac%7B1%2B2i%2Bi%5E2%7D%7B1-i%5E2%7D%3D+%5Cdfrac%7B2i%7D%7B2%7D%3Di&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{1+i}{1-i}= \dfrac{1+i}{1-i} \dfrac{1+i}{1+i}= \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2}= \dfrac{2i}{2}=i" /><br />
Maka <img alt="\dfrac{1+i}{1-i}=0+i" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B1%2Bi%7D%7B1-i%7D%3D0%2Bi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{1+i}{1-i}=0+i" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
Pangkat bulat tak negatif pada bilangan kompleks didefinisikan seperti pada bilangan nyata, yaitu<br />
<img alt="z^1=z" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%5E1%3Dz&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z^1=z" /><br />
<img alt="z^2=zz" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%5E2%3Dzz&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z^2=zz" /><br />
<img alt="z^3=z^2z" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%5E3%3Dz%5E2z&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z^3=z^2z" /><br />
<img alt="\dots" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdots&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dots" /><br />
<img alt="z^{n+1}=z^nz" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%5E%7Bn%2B1%7D%3Dz%5Enz&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z^{n+1}=z^nz" /><br />
Dan bila <img alt="z \ne 0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z+%5Cne+0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z \ne 0" />, maka <img alt="z^0=1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=z%5E0%3D1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="z^0=1" /></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-87469449165700714292016-06-21T13:25:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.582+07:00Tips menulis Matematika di Microsoft Word (Office 2007)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<strong></strong>Membuat laporan tugas-tugas matematika dengan mengetiknya di
Microsoft Word. Merupakan hal yang paling membuat kita malas. Mengapa?
Karena kecepatan mengetik kita akan menurun ketika kita mengetikkan
simbol-simbol matematika.
Kita masih perlu insert equation dan sebagainya.<br />
Meskipun sudah ada tombol cepatnya, yaitu alt + =, terkadang kita
juga masih cukup lambat ketika harus mengklik simbol apa yang kita
masukkan. Misalnya saja, ketika kita ingin memasukkan symbol <img alt="\pi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cpi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\pi" />, kita harus menekan alt + = kemudian mencari symbol <img alt="\pi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cpi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\pi" /> kemudian mengkliknya. Ini memang mudah dan cukup cepat.<br />
Tetapi pada postingan kali ini akan kami berikan cara yang lebih
cepat, yaitu dengan memanfaatkan nama-nama dari simbolnya.. . Ini
awalnya kami mencoba-coba.. dan ternyata sedikit berhubungan dengan
latex. . <span id="more-4106"></span><br />
<strong><br />
</strong><br />
Cara ini juga bisa menghemat/mempercepat kita untuk menuliskan bentuk akar, integral, pangkat, pecahan, dan lain sebagainya.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Ketika kita menekan tombol cepat, alt + = , maka akan muncul kotak equation sebagai berikut :<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-1.png"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4108" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-1.png?w=595" title="tips microsoft word 1" /></a><br />
<br />
<a name='more'></a><strong><br />
</strong><br />
Kita semua sudah pasti mengerti, kita akan mengetik simbol-simbol
matematika, persamaan matematika dan lain-lain di dalam kotak equation
tersebut.<br />
Ketika kita menuliskan suatu bentuk matematika, kita pasti menuju uquation tools :<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-0.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4109" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-0.jpg?w=595" title="tips microsoft word 0" /></a><br />
<strong><br />
</strong><br />
Kemudian memilihnya, lalu mengklik. . kemudian baru mengisi.<br />
Cara ini sudah efektif, tetapi akan lebih efektif lagi jika menggunakan cara berikut ini :<br />
<strong><br />
</strong><br />
Cara-cara selanjutnya (cara asimtot) adalah dengan cara mengetikkan :<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<strong><span style="color: green;">deklarasi kemudian spasi</span></strong></div>
<div style="text-align: center;">
<strong><br />
</strong></div>
<strong><br />
</strong><br />
Pertama, <strong>membuat pecahan</strong><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-2.png"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4110" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-2.png?w=595" title="tips microsoft word 2" /></a><br />
Ketika kita menuliskan bentuk pecahan seperti itu, mungkin kita masih
menggunakan equation tools, pada bagian fraction. Padahal sebenarnya
ada cara yang lebih cepat, yaitu dengan mengetikkan : / (kemudian) spasi<br />
Maka akan muncul bentuk fraction seperti gambar di atas.<br />
<strong>Membuat pangkat</strong><br />
Untuk membuat pangkat, misalkan kita ingin menuliskan <img alt="a^b" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%5Eb&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="a^b" />, maka kita cukup mengetikkan : a^ (kemudian) spasi<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Membuat indeks atau (subscript)</strong><br />
Ketik : a_ (kemudian) spasi<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Membuat akar kuadrat</strong><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-4.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4111" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tips-microsoft-word-4.jpg?w=595" title="tips microsoft word 4" /></a><br />
Untuk membuat akar kuadrat, maka kita harus mengetikkan : \sqrt (kemudian) spasi (kemudian) spasi<br />
<strong><br />
</strong><br />
Selengkapnya ada pada table berikut ini :<br />
<strong><br />
</strong><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tabel-tips-microsoft-word-5.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4112" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tabel-tips-microsoft-word-5.jpg?w=595" title="tabel tips microsoft word 5" /></a><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Untuk penulisan simbol, maka wajib diawali tanda “\” (tanpa tanda petik)</strong><br />
<strong><br />
</strong><br />
Beberapa simbol yang mungkin akan sering digunakan :<br />
<strong>Pi </strong><img alt="\pi" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cpi&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\pi" /><br />
Dengan cara mengetikkan : \pi (kemudian) spasi<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Implikasi</strong> <img alt="\to" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cto&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\to" /><br />
Dengan cara mengetik : \to (kemudian) spasi<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Tanda kurang dari atau sama dengan dan sejenisnya</strong><br />
Dengan mengetikkan : <= (kemudian) spasi [atau] >= (kemudian spasi)<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Tidak sama dengan</strong><br />
Dengan mengetik : \ne (kemudian) spasi<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong><br />
</strong><br />
Selengkapnya ada pada tabel berikut ini :<br />
<strong><br />
</strong><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tabel-tips-microsoft-word-6.jpg"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-4113" src="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/tabel-tips-microsoft-word-6.jpg?w=595" title="tabel tips microsoft word 6" /></a><br />
<strong><br />
</strong><br />
Tidak perlu dihafal semuanya.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Dengan seringnya kita mempraktekkan, maka nanti kita bisa hafal sendiri<br />
<strong><br />
</strong><br />
Ini awalnya saya dapatkan dengan mencoba-coba. Dan ternyata bisa. Dan
ternyata berhubungan dengan symbol pada latex. Jadi ya untuk saya lebih
mudah, karena saya juga sering menggunakan latex.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Semoga bermanfaat</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-64228184293463488332016-06-21T13:23:00.002+07:002017-12-02T06:03:54.565+07:00Soal-soal dan Solusi mengenai Bentuk Akar<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
1. Rasionalkan penyebut pada bentuk <img alt="\dfrac{2}{ \sqrt{5}- \sqrt{3}}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B2%7D%7B+%5Csqrt%7B5%7D-+%5Csqrt%7B3%7D%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{2}{ \sqrt{5}- \sqrt{3}}" /><br />
Jawab :<br />
Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan sekawannya.<br />
<img alt="\dfrac{2}{ \sqrt{5}- \sqrt{3}} \times \dfrac{ \sqrt{5}+ \sqrt{3}}{ \sqrt{5}+ \sqrt{3}}= \dfrac{2( \sqrt{5}+ \sqrt{3})}{5-3}= \sqrt{5}+ \sqrt{3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B2%7D%7B+%5Csqrt%7B5%7D-+%5Csqrt%7B3%7D%7D+%5Ctimes+%5Cdfrac%7B+%5Csqrt%7B5%7D%2B+%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B+%5Csqrt%7B5%7D%2B+%5Csqrt%7B3%7D%7D%3D+%5Cdfrac%7B2%28+%5Csqrt%7B5%7D%2B+%5Csqrt%7B3%7D%29%7D%7B5-3%7D%3D+%5Csqrt%7B5%7D%2B+%5Csqrt%7B3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{2}{ \sqrt{5}- \sqrt{3}} \times \dfrac{ \sqrt{5}+ \sqrt{3}}{ \sqrt{5}+ \sqrt{3}}= \dfrac{2( \sqrt{5}+ \sqrt{3})}{5-3}= \sqrt{5}+ \sqrt{3}" /> <span id="more-4133"></span><br />
<strong><br />
</strong><br />
2. Rasionalkan penyebut pada bentuk <img alt="\dfrac{2}{ \sqrt{3}}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B2%7D%7B+%5Csqrt%7B3%7D%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{2}{ \sqrt{3}}" /><br />
Jawab :<br />
<img alt="\dfrac{2}{ \sqrt{3}} \times \dfrac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{3}}= \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B2%7D%7B+%5Csqrt%7B3%7D%7D+%5Ctimes+%5Cdfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B+%5Csqrt%7B3%7D%7D%3D+%5Cdfrac%7B2+%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{2}{ \sqrt{3}} \times \dfrac{ \sqrt{3}}{ \sqrt{3}}= \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
3. Rasionalkan penyebut pada bentuk <img alt="\dfrac{13}{4- \sqrt{3}}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B13%7D%7B4-+%5Csqrt%7B3%7D%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{13}{4- \sqrt{3}}" /><br />
Jawab : <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<img alt="\dfrac{13}{4- \sqrt{3}} \times \dfrac{4+ \sqrt{3}}{4+ \sqrt{3}}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B13%7D%7B4-+%5Csqrt%7B3%7D%7D+%5Ctimes+%5Cdfrac%7B4%2B+%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B4%2B+%5Csqrt%7B3%7D%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\dfrac{13}{4- \sqrt{3}} \times \dfrac{4+ \sqrt{3}}{4+ \sqrt{3}}" /><br />
<img alt="= \dfrac{13(4+ \sqrt{3})}{4^2-3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+%5Cdfrac%7B13%284%2B+%5Csqrt%7B3%7D%29%7D%7B4%5E2-3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="= \dfrac{13(4+ \sqrt{3})}{4^2-3}" /><br />
<img alt="= \dfrac{13(4+ \sqrt{3})}{13}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+%5Cdfrac%7B13%284%2B+%5Csqrt%7B3%7D%29%7D%7B13%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="= \dfrac{13(4+ \sqrt{3})}{13}" /><br />
<img alt="= 4+ \sqrt{3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+4%2B+%5Csqrt%7B3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="= 4+ \sqrt{3}" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
4. <img alt="( \sqrt{3}+ \sqrt{2})( \sqrt{3}- \sqrt{2})= \dots" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Csqrt%7B3%7D%2B+%5Csqrt%7B2%7D%29%28+%5Csqrt%7B3%7D-+%5Csqrt%7B2%7D%29%3D+%5Cdots&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \sqrt{3}+ \sqrt{2})( \sqrt{3}- \sqrt{2})= \dots" /><br />
Jawab :<br />
Ingat bentuk <img alt="(a+b)(a-b)=a^2-b^2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28a%2Bb%29%28a-b%29%3Da%5E2-b%5E2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="(a+b)(a-b)=a^2-b^2" /><br />
<img alt="( \sqrt{3}+ \sqrt{2})( \sqrt{3}- \sqrt{2})=3-2=1" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28+%5Csqrt%7B3%7D%2B+%5Csqrt%7B2%7D%29%28+%5Csqrt%7B3%7D-+%5Csqrt%7B2%7D%29%3D3-2%3D1&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="( \sqrt{3}+ \sqrt{2})( \sqrt{3}- \sqrt{2})=3-2=1" /><br />
<strong><br />
</strong><br />
5. Apakah <img alt="\sqrt{c} \times \sqrt{c}=c" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7Bc%7D+%5Ctimes+%5Csqrt%7Bc%7D%3Dc&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{c} \times \sqrt{c}=c" /><br />
Jawab :<br />
Iya. Asalkan c merupakan bilangan real yang bukan negatif. Kalau c merupakan bilangan negatif, maka bentuk <img alt="\sqrt{c} \times \sqrt{c}=c" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7Bc%7D+%5Ctimes+%5Csqrt%7Bc%7D%3Dc&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{c} \times \sqrt{c}=c" /> tidak berlaku.<br />
Bilangan yang bukan negatif yaitu bilangan real yang lebih besar atau sama dengan nol.<br />
<strong><br />
</strong><br />
6. Bentuk sederhana dari <img alt="\sqrt{75}+2 \sqrt{12}- \sqrt{27}= \dots" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B75%7D%2B2+%5Csqrt%7B12%7D-+%5Csqrt%7B27%7D%3D+%5Cdots&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{75}+2 \sqrt{12}- \sqrt{27}= \dots" /><br />
Jawab :<br />
<img alt="\sqrt{75}+2 \sqrt{12}- \sqrt{27}= \sqrt{25 \times 3}+2 \sqrt{4 \times 3}- \sqrt{9 \times 3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%7B75%7D%2B2+%5Csqrt%7B12%7D-+%5Csqrt%7B27%7D%3D+%5Csqrt%7B25+%5Ctimes+3%7D%2B2+%5Csqrt%7B4+%5Ctimes+3%7D-+%5Csqrt%7B9+%5Ctimes+3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="\sqrt{75}+2 \sqrt{12}- \sqrt{27}= \sqrt{25 \times 3}+2 \sqrt{4 \times 3}- \sqrt{9 \times 3}" /><br />
<img alt="=5 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D5+%5Csqrt%7B3%7D%2B4+%5Csqrt%7B3%7D-3+%5Csqrt%7B3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="=5 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{3}" /><br />
<img alt="=(5+4-3) \sqrt{3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D%285%2B4-3%29+%5Csqrt%7B3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="=(5+4-3) \sqrt{3}" /><br />
<img alt="=6 \sqrt{3}" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D6+%5Csqrt%7B3%7D&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="=6 \sqrt{3}" /></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-7201514774466354122016-06-21T13:22:00.003+07:002017-12-02T06:03:54.569+07:00Download soal OMV Nasional 2011 – tk. SD (sederajat)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<strong></strong>OMV N 2011 telah berlalu.. . ada yang menang dan tentu saja ada yang
kalah. . Selamat bagi yang menang untuk Olimpiade Matematika Vektor
Nasional tahun 2011.
yang belum mengenal OMV N, apa itu?<br />
yaitu Olimpiade Matematika Vektor Nasional,adalah olimpiade
matematika, tingkat SD, SMP dan SMA (sederajat) yang diadakan oleh
himatikavektor Universitas Negeri Malang.. Untuk lebih lengkapnya,
silahkan masuk ke situsnya saja di <span style="color: blue;"><a href="http://www.vektor-um.org/" rel="nofollow">http://www.vektor-um.org</a></span><br />
<strong> </strong><br />
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 sudah berlalu, bagi yang
belum berkesempatan ikut, atau bagi yang ingin mengikuti lagi untuk
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012 (OMV N 2011), silahkan
mempersiapkan diri mulai sekarang.<strong></strong><br />
Berikut kami sediakan, soal-soal OMV tahun 2011, untuk tingkat SD (<span style="color: green;">mulai dari penyisihan, sampai final</span>) <span id="more-4149"></span><br />
<strong> </strong><br />
Soal Penyisihan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SD<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/soal-penyisihan-olimpiade-matematika-vektor-nasional-2011-tk-sd.pdf">Soal Penyisihan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SD</a><br />
<strong> </strong><br />
Soal Final <strong></strong>Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SD , babak 1<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/soal-final-sd-babak1-2011.pdf">Soal Final Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SD , babak 1</a><br />
<strong> </strong><br />
Soal Final <strong></strong>Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SD , babak 2 <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/soal-final-sd-babak2-2011.pdf">Soal Final Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SD , babak 2</a><br />
<strong> </strong><br />
Soal Final <strong></strong>Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SD , babak 3<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/10/soal-final-sd-babak3-2011.pdf">Soal Final Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SD , babak 3</a><br />
<strong> </strong><br />
Silahkan didownload, dipelajari.. . Kami tunggu partisipasinya di
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 , tk. SD, SMP dan SMA
(sederajat). .</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-57319889959852051602016-06-21T13:21:00.002+07:002017-12-02T06:03:54.560+07:00Download soal OMV Nasional 2011 – tk. SMP (sederajat)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 sudah berlalu, bagi yang
belum berkesempatan ikut, atau bagi yang ingin mengikuti lagi untuk
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012 (OMV N 2011), silahkan
mempersiapkan diri mulai sekarang.<strong></strong><br />
Berikut kami sediakan, soal-soal OMV tahun 2011, untuk tingkat SMP (mulai dari penyisihan, sampai final)<br />
<strong> </strong><br />
Soal Penyisihan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMP<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-penyisihan-olimpiade-matematika-vektor-nasional-2011-tk-smp.pdf">Soal Penyisihan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMP</a><br />
<strong> </strong><br />
Soal Semifinal <strong></strong>Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMP <span id="more-4166"></span><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-semifinal-smp-perorangan-2011.pdf">Soal Semifinal Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMP </a><br />
<a name='more'></a><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-semifinal-smp-perorangan-2011.pdf"><br /></a><br />
<strong> </strong><br />
Soal Semifinal Beregu <strong></strong>Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMP<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-semifinal-smp-beregu-2011.pdf">Soal Semifinal Beregu Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMP</a><br />
<strong> </strong><br />
Soal Final <strong></strong>Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMP<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-final-smp-perorangan-2011.pdf">Soal Final Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMP</a><br />
<strong> </strong><br />
Soal Final <strong></strong>Beregu Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMP<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-final-smp-beregu-2011.pdf">Soal Final Beregu Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMP</a><br />
<strong> </strong><br />
Silahkan didownload, dipelajari.. . Kami tunggu partisipasinya di
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 , tk. SD, SMP dan SMA
(sederajat). .</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-73025771670720131842016-06-21T13:20:00.000+07:002017-12-02T06:03:54.574+07:00Download soal OMV Nasional 2011 – tk. SMA (sederajat)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 sudah berlalu, bagi yang
belum berkesempatan ikut, atau bagi yang ingin mengikuti lagi untuk
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012 (OMV N 2011), silahkan
mempersiapkan diri mulai sekarang.<b></b><br />
Berikut kami sediakan, soal-soal OMV tahun 2011, untuk tingkat SMA (<span style="color: #3366ff;">mulai dari penyisihan, sampai final</span>)<br />
<b> </b><br />
Soal Penyisihan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMA<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-penyisihan-olimpiade-matematika-vektor-nasional-2011-tk-sma.pdf">Soal Penyisihan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMA </a><br />
<a name='more'></a><a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-penyisihan-olimpiade-matematika-vektor-nasional-2011-tk-sma.pdf"><br /></a>
<b> </b><br />
Soal Semifinal <b></b>Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMA <span id="more-4175"></span><br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-semifinal-perorangan-olimpiade-matematika-vektor-nasional-2011-tk-sma.pdf">Soal Semifinal Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMA</a><br />
<b> </b><br />
Soal Semifinal Beregu <b></b>Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMA<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-semifinal-sma-beregu-2011.pdf">Soal Semifinal Beregu Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMA</a><br />
<b> </b><br />
Soal Final <b></b>Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMA<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-final-perorangan-olimpiade-matematika-vektor-nasional-2011-tk-sma.pdf">Soal Final Perorangan Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMA</a><br />
<b> </b><br />
Soal Final <b></b>Beregu Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011, tingkat SMA<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/soal-final-beregu-sma-2011.pdf">Soal Final Beregu Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 tk. SMA</a><br />
<b> </b><br />
Silahkan didownload, dipelajari.. . Kami tunggu partisipasinya di
Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2011 , tk. SD, SMP dan SMA
(sederajat). .</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-88741156392149223342016-06-16T15:47:00.002+07:002017-12-02T06:03:59.794+07:00Metode Numerik – Solusi Persamaan Non Linear<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Dalam metode numerik, untuk mencari solusi persamaan non linear, kita
bisa menggunakan berbagai macam metode. Sebelumnya, kita perhatikan
sekilas Latar Belakang berikut :
<strong><br />
</strong><br />
Dalam bidang sains dan rekayasa, para ahli ilmu alam dan rekayasawan
sering berhadapan dengan persoalan mencari solusi persamaan – lazim
disebut akar persamaan (root of equation) atau nilai-nilai nol – yang
berbentuk <img alt="f(x)=0" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D0&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="f(x)=0" />. Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya. Misalnya, <img alt="2x+3=0," class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=2x%2B3%3D0%2C&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="2x+3=0," /> solusi atau akarnya adalah <img alt="x=-3/2" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D-3%2F2&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="x=-3/2" />. <br />
<a name='more'></a><br /><br />
Umumnya persamaan yang kan dipecahkan muncul dalam bentuk non linear
yang melibatkan bentuk sinus, cosines, eksponensial, ligaritma, dan
fungsi transenden lainnya. Misalnya, akar real terkecil dari<br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="9,34-21,97x+16,3x^3-3,704x^5=0." class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=9%2C34-21%2C97x%2B16%2C3x%5E3-3%2C704x%5E5%3D0.&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="9,34-21,97x+16,3x^3-3,704x^5=0." /> <span id="more-4218"></span></div>
<strong><br />
</strong><br />
Contoh diatas memperlihatkan bentuk persamaan yang rumit/ kompleks
yang tidak dapat dipecahkan secara analitik (seperti persamaan kuadratik
pada paragraph awal). Bila metode analitik tidak dapat menyelesaikan
persamaan, maka kita masih bias mencari solusinya dengan mengguakan
metode numerik.<br />
Berdasarkan latar belakang diatas, akan dijelaskan beberapa metode dalam penyelesaian persamaan non linear.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Lalu, apa saja metode-metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini? Berikut :<br />
<strong><br />
</strong><br />
<h2>
<strong>Metode Pencarian Akar</strong><strong>, dibagi menjadi dua :</strong></h2>
<strong></strong><br />
<strong>Metode Tertutup Atau Metode Pengurung (bracketing method)</strong><strong></strong><br />
1. Metode Bagi Dua atau Metode Bolzano<br />
2. Metode Regula-Falsi (Bahasa Latin) atau Metode Posisi Palsu. (False Position Method).<br />
3. Perbaikan Metode Regula-Falsi (modified false position method).<br />
<br />
<strong> </strong><br />
<strong>Metode terbuka</strong><strong></strong><br />
Yang termasuk dalam metode terbuka adalah :<br />
1. Metode lelaran titik tetap (<em>fixed-point interation</em>)<br />
2. Metode Newton-Raphson<br />
3. Metode Secant<br />
<strong><br />
</strong><br />
Untuk selengkapnya, makalah bisa didownload di link berikut ini<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/solusi-persamaan-non-linear.pdf">Makalah : Metode Numerik – Solusi Persamaan Non Linear</a></div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8041578846712705257.post-63497170540526948862016-06-16T15:46:00.000+07:002017-12-02T06:03:59.774+07:00Fungsi Kompleks Trigonometri<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<strong></strong>Kita sudah mengenal fungsi trigonometri untuk bilangan real. Tentu
saja kita sudah mengetahui banyak hal, mengenai kapan sinus bernilai 1
dan kapan cosinus bernilai 1. Sifat-sifat fungsi trigonometri untuk
bilangan real juga sangatlah banyak. Hal itu sudah kita pelajari sejak
SMA dan ketika awal kuliah di Matematika.
Selain itu, kita tentu saja mengenal mengenai identitas trigonometri dan yang lainnya.<br />
<strong><br />
</strong><br />
Lalu, bagaimana jika fungsi trigonometri tersebut dikembangkan di bilangan kompleks? <span id="more-4224"></span><br />
<strong><br />
</strong><br />
Bentuk fungsi trigonometri untuk bilangan real bisa dituliskan dalam bentuk seperti berikut : <br />
<a name='more'></a><br /><br />
<div style="text-align: center;">
<strong><br />
</strong></div>
<div style="text-align: center;">
<img alt="sin \, x=\dfrac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=sin+%5C%2C+x%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2i%7D%28e%5E%7Bix%7D-e%5E%7B-ix%7D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="sin \, x=\dfrac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})" /></div>
<strong><br />
</strong><br />
Dan<br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="cos \, x=\dfrac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=cos+%5C%2C+x%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%28e%5E%7Bix%7D%2Be%5E%7B-ix%7D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="cos \, x=\dfrac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})" /></div>
<strong><br />
</strong><br />
<strong><br />
</strong><br />
Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi
nyata sinus dan cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri,
didefinisikan dengan mengganti x (pada fungsi nyata trigonometri di
atas) dengan z , yaitu<br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong><br />
</strong><br />
<strong>Definisi Fungsi Kompleks Trigonometri</strong><br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="sin \, z=\dfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=sin+%5C%2C+z%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2i%7D%28e%5E%7Biz%7D-e%5E%7B-iz%7D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="sin \, z=\dfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})" /></div>
<strong><br />
</strong><br />
Dan<br />
<strong><br />
</strong><br />
<div style="text-align: center;">
<img alt="cos \, z=\dfrac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=cos+%5C%2C+z%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%28e%5E%7Biz%7D%2Be%5E%7B-iz%7D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="cos \, z=\dfrac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})" /></div>
<strong><br />
</strong><br />
untuk semua bilangan kompleks z<br />
<strong><br />
</strong><br />
Untuk sifat-sifatnya beserta buktinya, sifat-sifat fungsi kompleks trigonometri dan buktinya, beserta asal mula rumus <img alt="sin \, x=\dfrac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})" class="latex" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=sin+%5C%2C+x%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2i%7D%28e%5E%7Bix%7D-e%5E%7B-ix%7D%29&bg=ffffff&fg=555555&s=0" title="sin \, x=\dfrac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})" /><br />
Bisa langsung didownload makalah berikut ini,<br />
<a href="https://asimtot.files.wordpress.com/2011/11/fungsi-kompleks-trigonometri.pdf">Makalah : Fungsi Kompleks Trigonometri + Sifat dan Bukti</a><br />
<strong><br />
</strong><br />
Silahkan</div>
udin451http://www.blogger.com/profile/01366679556417322202noreply@blogger.com0