Bukti induksi untuk deret

$1+2+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}$
$(1 \times 2)+(2 \times 3)+ \dots +(n(n+1))= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$(1 \times 2 \times 3)+(2 \times 3 \times 4)+ \dots +(n(n+1)(n+2))= ?$

Kita-kira bagaimana rumusnya? Di isi dengan rumus bagaimanakah tanda tanya itu supaya benar?

Dengan sedikit menyimpulkan suatu pola yang muncul pada dua deret sebelumnya, kita bisa menebaknya bahwa rumus untuk deret tersebut sama dengan seperti berikut :

$(1 \times 2 \times 3)+(2 \times 3 \times 4)+ \dots +(n(n+1)(n+2))= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$


Apakah juga benar untuk $(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)$ ?. Apakah selanjutnya bisa kita simpulkan juga berlaku untuk $(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \dots \times p)$ ?

$(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(n(n+1) \times \dots \times (n+p-1))= \frac{n(n+1)(n+2) \times \dots \times (n+p)}{p+1}$

Ini harus dibuktikan dengan induksi matematika.

Mari kita coba membuktikan untuk yang pertama, kita akan membuktikan

$1+2+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}$

Bukti :
Benar untuk $n=1$ , yaitu $\frac{1(1+1)}{2}= \frac{2}{2}=1$

Andaikan benar untuk $n=k$ , yaitu
$1+2+ \dots +k= \frac{k(k+1)}{2}$

Akan dibuktikan benar untuk $n=k+1$ , akan dibuktikan
$1+2+ \dots +(k+1)= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

Bukti :
$1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$
$1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{k(k+1)}{2}+ \frac{2(k+1)}{2}$
$1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{(k+2)(k+1)}{2}$
$1+2+ \dots +k+(k+1)= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$
Terbukti

Ini terbukti benar untuk bentuk $1+2+ \dots +k= \frac{k(k+1)}{2}$
Bagaimana bentuk-bentuk yang lainnya? Apakah juga benar
Mari kita buktikan secara umumnya. Dengan menggunakan induksi matematika.

$(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(n(n+1) \times \dots \times (n+p-1))= \frac{n(n+1)(n+2) \times \dots \times (n+p)}{p+1}$

Benar untuk $n=1$ ,
$(1 \times 2 \times \dots \times p)= \frac{1(1+1)(1+2) \times \dots \times (p)(1+p)}{p+1}=(1 \times 2 \times \dots \times p)$

Andaikan benar untuk $n=k$ ,
$(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(k(k+1) \times \dots \times (k+p-1))= \frac{k(k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p)}{p+1}$

Akan dibuktikan benar untuk $n=k+1$

Akan dibuktikan
$(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +((k+1)((k+1)+1) \times \dots \times ((k+1)+p-1))= \frac{(k+1)(k+2)(k+3) \times \dots \times (k+p+1)}{p+1}$
Bukti
$(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +((k+1)((k+1)+1) \times \dots \times ((k+1)+p-1))= \frac{k(k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p)}{p+1}+(k+1)(k+2) \times \dots \times ((k+p)$
$= \frac{k(k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p)}{p+1}+ \frac{(p+1)(k+1)(k+2) \times \dots \times ((k+p)}{p+1}$
$= \frac{((k+1)(k+2) \times \dots \times (k+p))(k+p+1)}{p+1}$
Terbukti

Jadi, kita sudah membuktikannya secara umum. Sehingga berlaku bentuk-bentuk berikut

$1+2+ \dots +n= \frac{n(n+1)}{2}$

$(1 \times 2)+(2 \times 3)+ \dots +(n(n+1))= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$(1 \times 2 \times 3)+(2 \times 3 \times 4)+ \dots +(n(n+1)(n+2))= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

$(1 \times 2 \times \dots \times p)+(2 \times 3 \times \dots \times (p+1))+ \dots +(n(n+1) \times \dots \times (n+p-1))= \frac{n(n+1)(n+2) \times \dots \times (n+p)}{p+1}$

Semoga bermanfaat

Bukti induksi untuk deret

0 Response to "Bukti induksi untuk deret"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel