Diskusi Asimtot 1

 

BILANGAN SEGITIGA DAN BILANGAN PRIMA

Beberapa bilangan segitiga yang pertama :

$latex 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55, \dots$

Rumus umumnya : $latex \frac{n(n+1)}{2}$

 
Dugaan




[pertama]

“jika p bilangan prima, maka $latex p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga”

 

[kedua]

“bilangan dengan bentuk $latex p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga ke-$latex (12k+1)$ dan ke-$latex (12k+10)$ dengan k  anggota bilangan cacah dan p adalah bilangan prima”

 




Sebelum menuju hal tersebut. Kami sedikit berdikusi dan mencari hal-hal tentang bilangan segitiga. Seperti berikut ini :

 

[satu] Bilangan segitiga ke-$latex 3k$ (k bilangan asli), maka bilangan segitiga itu habis dibagi 3. Misalnya bilangan segitiga ke 3, 6, 9, 12, 15, … secara berurutan adalah 6, 21, 45, 78, 120, … (semuanya habis dibagi 3)

Bukti :

Menggunakan induksi matematika. Akan dibuktikan $latex \frac{(1+3k)3k}{2}=3p$

Benar untuk k=1, yaitu $latex \frac{(4)3}{2}=3.2$

Anggap benar untuk $latex k=l$, yaitu benar bahwa $latex \frac{(1+3l)3l}{2}=3q$ atau $latex \frac{(9l^2+3l}{2}=3r$

Akan dibuktikan benar untuk $latex k=l+1$

$latex \frac{(1+3(l+1))3(l+1)}{2}$

$latex = \frac{(3l+4)(3l+3)}{2}$

$latex = \frac{9l^2+9l+12l+12}{2}$

$latex = \frac{(9l^2+3l}{2}+ \frac{18l+12}{2}$

$latex = 3r+(9l+6)$

$latex = 3(r+3l+2)$

Merupakan kelipatan 3. Sehingga terbukti bahwa untuk semua k, $latex \frac{(1+3k)3k}{2}$ hais dibagi 3. Atau juga bisa dikatakan bahwa untuk setiap $latex n=3k$, maka $latex \frac{(1+n)n}{2}$ habis dibagi 3.

 

[dua] Bilangan segitiga ke-$latex (3k+2)$ dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 3. Bilangan segitiga ke 2, 5, 8, 11, … berurutan adalah 3, 15, 36, 66, … . Dan mereka semua habis dibagi 3. Buktinya silahkan dicoba. Langkahnya sama dengan yang di atasnya.

 

[tiga] Bilangan segitiga ke-$latex (3k+1)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 3. Melainkan akan bersisa 1 jika dibagi 3. Bukti silahkan sebagai latihan

 

[empat] Bilangan segitiga ke-$latex (4k)$ dengan k bilangan asli, habis dibagi 2

 

[lima] Bilangan segitiga ke-$latex (4k-1)$ dengan k bilangan asli, juga habis dibagi 2

 

[enam] Bilangan segitiga ke - $latex (4k+1)$ dan ke - $latex (4k+2)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2.

Ini akan mengakibatkan bahwa bilangan segitiga ke-$latex (12+1)$ dan bilangan segitiga ke-$latex (12k+10)$ dengan k bilangan asli, tidak habis dibagi 2 dan juga tidak habis dibagi 3.

 

Lalu, apakah mereka merupakan bilangan prima?

Bilangan segitiga ke-$latex (12k+1)$ dan ke-$latex (12k+10)$ yang pertama antara lain

bilangan segitiga ke 1, 10, 13, 22, 25, 34, 37, 46, … berurutan adalah 1, 55, 91, 253, 325, 595, 703, 1081, …

Mereka semua bukan bilangan prima. secara berurutan mereka habis dibagi 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

{pembaginya tidak berurutan merupakan bilangan prima}

 

Ini penyebab kami mendiskusikan ini lebih dalam. Kami dikagetkan dengan berurutannya bilangan prima dari 5, 7, 11, 13, 17, 19

Tetapi ternyata ada lubang-lubang yang menggagalkan. Beberapa pada tabel berikut :

 

Bilangan segitiga ke-	Bilangan segitiga	Habis dibagi oleh
1	1	1
10	55	5
13	91	7
22	253	11
25	325	13
34	595	17
37	703	19
46	1081	23
49	1225	5
58	1711	29
61	1891	31
70	2485	5
73	2701	37
82	3403	41
85	3655	43
94	4465	47

 

Kami mencoba terus menggalinya. Dan muncullah dugaan-dugaan.

Inilah yang akan menjadi bahasan kita selanjutnya. Ini kami temukan dari mencari sendiri. Kami menyimpulkan bahwa, nantinya akan mempunyai dugaan sebagai berikut

 

“jika p bilangan prima, maka $latex p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga”

 

Dan dugaan kami lagi yaitu

 

“bilangan dengan bentuk $latex p(2p+1)$ pasti merupakan bilangan segitiga ke-$latex (12k+1)$ dan ke-$latex (12k+10)$ dengan k anggota bilangan cacah”

 

 

[pertama]




“jika p bilangan prima, maka $latex p(2p+1)$ adalah bilangan segitiga”

Bukti : ternyata sangat mudah untuk dibuktikan!

$latex p(2p+1)= \frac{2p(2p+1)}{2}$

yang merupakan rumus untuk bilangan segitiga. Dengan $latex m=2p$

Sangat disayangkan. Ternyata sangatlah sederhana. Meskipun demikian tak menjadi masalah. Karena ini bari diskusi pertama.







[kedua]

“bilangan dengan bentuk $latex p(2p+1)$ pasti merupakan bilangan segitiga ke-$latex (12k+1)$ dan ke-$latex (12k+10)$ dengan k anggota bilangan cacah”

 

|bersambung|