Bukti teorema-teorema bilangan

Teorema. \forall a \in R, berlaku a.0=0 Bukti.
Menurut sifat identitas penjumlahan berlaku 1=1+0. Akibatnya,  a.1=a.(1+0).
Jadi,
a=a.1+a.0   [sifat distributif]
(-a)+a=(-a)+(a+a.0)
0=0+a.0

0=a.0

Teorema. Bilangan 0 tidak memiliki invers perkalian
Bukti.
Dari teorema di atas berlaku 0a=0 untuk setiap a. padahal bila 0 mempunyai invers berarti 0a=1 untuk suatu a, akibatnya 0=1. Hal ini tidak mungkin terjadi dalam bilangan real, sehingga haruslah pernyataan 0 tidak mempunyai invers merupakan pernyataan yang benar.

Teorema. Jika ab=ac dan a \ne 0, maka b = c
Bukti.


Diketahui ab = ac  dan a \ne 0, artinya a mempunyai invers. Sehingga dapat dituliskan,
a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac)
(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c
1b = 1c
b = c

Teorema. \forall a dan b \in R, berlaku  (-a)b = -(ab)
Bukti.
Kita tunjukkan bahwa (-a)b adalah negative dari (ab), artinya
(-a)b + ab = ab + (-a)b = 0
Menurut hukum distributif,
(-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = 0
Jadi, (-a)b = -(ab)

Teorema. \forall a dan b \in R, berlaku  -(a + b) = (-a) + (-b)
Bukti.
Kita buktikan bahwa [(-a) + (-b)] + (a + b) = 0 seperti berikut,
[(-a) + (-b)] + (a + b) = [(-a) + (-b)] + (a + b)
[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + (-b) + b + a
[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + 0 + a
[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + a
[(-a) + (-b)] + (a + b) = 0

Teorema. a < b jika dan hanya jika b - a > 0
Bukti.
Jika a < b, maka menurut sifat pada bilangan berlaku a - a < b - a. oleh karena itu didapatkan 0 < b - a. yang tidak lain yaitu b - a > 0. Sebaliknya, jika b - a > 0, maka (b - a) + a > 0 + a. dan diperoleh b > a
Teorema. a < b dan c > 0, maka ac < bc
Bukti.
Jika a < b, maka b - a > 0. Akibatnya, menurut sifat pada bilangan didapatkan (b - a)c > 0.c. sama dengan (b - a)c > 0. Sehingga bc - ac > 0. Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh ac < bc
Teorema. Jika a < 0, maka -a > 0
Bukti.
a < 0 maka a - a < 0 - a. diperoleh 0 < -a. Sama dengan -a > 0
Teorema. Jika a > 0, maka -a < 0
Bukti.
a > 0 maka a - a > 0 - a. diperoleh 0 > -a. Sama dengan -a < 0
Teorema. a < b dan c < 0, maka ac > bc
Bukti.
Jika a < b, maka b - a > 0. Padahal c < 0. Maka c - c < 0 - c. maka -c > 0. Akibatnya didapatkan -bc + ac > 0. Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh ac > bc

0 Response to "Bukti teorema-teorema bilangan"

Posting Komentar

Harap komentar yang bijak!!!

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel