-->

Desimal berulang


Berbicara mengenai desimal berulang, sangat berkaitan erat dengan beda bilangan irrasional dan bilangan rasional. Kalau bilangan irasional tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk pecahan \frac{a}{b} dengan a dan b bilangan bulat, beda lagi dengan bilangan rasional. Bilangan rasional ini selalu bisa dituliskan menjadi bentuk pecahan \frac{a}{b} dengan a dan b bilangan bulat.

Selain cara tersebut, cara membedakan yang lain juga bisa menggunakan aturan desimal berulang. Jika suatu bilangan bisa dituliskan ke dalam bentuk decimal berulang, maka bilangan itu adalah bilangan rasional. Sedangkan jika tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk decimal berulang, maka bilangan itu adalah bilangan irasional.

Lalu, bagimana dengan 0,5? Mana yang berulang dari bentuk tersebut? Tentu saja bilangan 0,5=0,500000000000000000, dengan angka 0 yang berulang.



Jadi, kita sudah bisa membedakan dengan mudah tentang decimal berulang dan bukan decimal berulang.

Awal belajar mungkin agak kaget. Inilah yang terjadi pada kami. Setiap kita membagi bilangan selalu ditemukan bilangan berulang (angka berulang di belakang koma). Misalnya \frac{1}{3}=0,333333333333333 \dots. Angka 3 berulang. \frac{1}{7}=0,1428571428 \dots masih terlihat berulang yaitu setiap 142857. Tetapi, kalkulator 12 angka tidak mencukupi untuk menghitung \frac{1}{17} misalnya.. kalkulator yang dimiliki mungkin hanya kalkulator 12 angka, yang hanya menampilkan hasil seperti berikut :

\frac{1}{17}=0,05882352941

Mana yang berulang? Apa tidak ada yang berulang? Tidak, kalkulator tidak bisa menampilkan perulangannya. Mungkin jika kalian menghitungnya di kalkulator 100 digit di blog ini baru akan terlihat.

Padahal \frac{1}{17}=0, 05882352941176470588235294117647 \dots

Berulang setiap setelah 16 angka di belakang koma.

Apa setiap pembagian dengan bilangan prima akan ditemukan bilangan berulang yang panjang? Misalnya saja

\frac{1}{17}=0,0588235294117647 \dots
\frac{1}{19}=0,052631578947368421 \dots
\frac{1}{23}=0434782608695652173913 \dots

Tetapi untuk bilangan prima 37, nilai dari 1/27 mempunyai angka berulang yang pendek.

\frac{1}{37}=0,027027 \dots

Jadi, tidak semua bilangan prima (1/p) mempunyai decimal berulang yang panjang.

Berikut adalah daftar beberapa bilangan decimal berulang


n \qquad \qquad \frac{1}{n}

1 \qquad \qquad 1
2 \qquad \qquad 0,5
3 \qquad \qquad 0,33333
4 \qquad \qquad 0,25
5 \qquad \qquad 0,2
6 \qquad \qquad 0,16666666
7 \qquad \qquad 0,142857142857
8 \qquad \qquad 0,125
9 \qquad \qquad 0,11111111111111
10 \qquad \qquad 0,1
11 \qquad \qquad 0,09090909
12 \qquad \qquad 0,083333333333
13 \qquad \qquad 0,076923
14 \qquad \qquad 0,0714285714285
15 \qquad \qquad 0,066666666666
16 \qquad \qquad 0,0625
17 \qquad \qquad 0,0588235294117647
18 \qquad \qquad 0,05555555
19 \qquad \qquad 0,052631578947368421
21 \qquad \qquad 0,047619047619
22 \qquad \qquad 0,0454545
23 \qquad \qquad 0,0434782608695652173913
24 \qquad \qquad 0,0416666666
26 \qquad \qquad 0,0384615384615
27 \qquad \qquad 0,037037037
28 \qquad \qquad 0,03571428571428
29 \qquad \qquad 0,0344827586206896551724137931
31 \qquad \qquad 0,032258064516129
37 \qquad \qquad 0,027
41 \qquad \qquad 0,02439
43 \qquad \qquad 0,023255813953488372093
47 \qquad \qquad 0,0212765957446808510638297872340425531914893617
53 \qquad \qquad 0,0188679245283
59 \qquad \qquad 0,0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
61 \qquad \qquad 0,016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
67 \qquad \qquad 0,014925373134328358208955223880597
71 \qquad \qquad 0,01408450704225352112676056338028169
73 \qquad \qquad 0,01369863
79 \qquad \qquad 0,0126582278481
83 \qquad \qquad 0,01204819277108433734939759036144578313253
89 \qquad \qquad 0,01123595505617977528089887640449438202247191
97 \qquad \qquad 0,01030927835051546391752577319587628865979381443298


Nilai seperti ini juga disebut sebagai “reciproc”. Diantara 1 sampai 100, yang mempunyai nilai dengan angka berulang yang panjang adalah untuk n=61. Unik di sini yaitu untuk 27 dan 37. Mereka saling bertukar. Kawan reciproc.

\frac{1}{27}=0,037037037037
\frac{1}{37}=0,027027027027

Perhatikan bahwa 27 \times 37=999

Dibedakan juga untuk bilangan prima. Karena kebanyakan bilangan prima mempunyai angka berulang yang panjang. Maka dibuat suatu hal berbeda untuknya.

\frac{1}{31}=0,032258064516129

Adalah bilangan berulang ( \frac{1}{p} dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan \frac{p-1}{2}. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

\frac{1}{53}=0,0188679245283

Adalah bilangan berulang ( \frac{1}{p} dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan \frac{p-1}{4}. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

\frac{1}{41}=0,02439

Adalah bilangan berulang ( \frac{1}{p} dengan p adalah bilangan prima) yang periode angka berulangnya sama dengan \frac{p-1}{8}. Ini adalah bilangan prima yang terkecil yang mempunyai periode tersebut.

Semoga bermanfaat.

0 Response to "Desimal berulang"

Posting Komentar

Harap komentar yang bijak!!!

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel