Jumlah bilangan ganjil yang berurutan
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Dan seterusnya.
Dapat ditebak bahwa jumlah dari bilangan ganjil berurutan dari yang pertama sama dengan banyaknya suku dikuadratkan. Dapat dilihat pada contoh di atas, jika ada dua suku, yaitu . Jika ada 5 suku, yaitu
Mengapa terjadi hal seperti ini?
Secara umum, jumlah bilangan ganjil yang pertama dapat dituliskan sebagai
Dengan n adalah banyaknya suku.
Ternyata bentuk dapat dijadikan . Perhatikan untuk jika dijabarkan. .
Diperoleh bentuk . Yang ternyata sama dengan rumus untuk bilangan ganjil ke n.
Deret di atas merupakan deret aritmetika yang jumlah suku ke n dapat dicari dengan menggunakan rumus setengah dari jumlah suku pertama dan terakhir kemudian dikalikan banyaknya suku. Dengan demikian diperoleh
Jumlah suku ke
Jumlah suku ke
Jumlah suku ke
Sehingga dapat disimpulkan unutk jumlah bilangan ganjil yang berurutan dan sebanyak n bilangan adalah sama dengan . Tentunya ini sudah ditunjukkan melalui penjabaran tersebut.
Bagaimana jika jumlah bilangan tersebut tidak dimulai dari yang terkecil? Jumlah bilangan ganjil yang tidak dimulai dari 1.
Tentunya jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai 19 akan sama dengan . Ini diperoleh dari suku terakhirnya.
yaitu , sehingga banyaknya suku jika dihitung dari 1 adalah , dan . Jumlah deret tersebut jika dimulai dari 1 adalah 100. Tetapi permasalahannya, deret yang diminta berawal dari 7.
Dengan demikian yang harus kita lakukan adalah mengurangkannya dengan jumlah beberapa suku awal sebelum deret yang ditanyakan. Bilangan ganjil sebelum 7 adalah 5. Kita hitung jumlah deret dari 1 sampai 5. yaitu .
Dengan demikian jumlah deret seperti di atas adalah
7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91
Secara umum, jumlah deret bilangan ganjil yang berurutan tetapi tidak dimulai dari angka 1 dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut
Pertama, tulis suku terakhir dalam bentuk rumus bilangan ganjil. Dan kemudian cari nilai n. Misalkan pada contoh di atas, suku terakhirnya adalah 19. Maka . Sehingga, n diperoleh yaitu 10.
Kedua, mencari jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai pada bilangan ganjil sebelum suku pertama pada deret yang ditanyakan. kurangi suku pertama dengan 1 kemudian kalikan dengan setengah. Misalnya suku pertama kita anggap a. maka langkah kedua diperoleh . Pada contoh tersebut adalah
Jumlah deret bilangan ganjil yang dimaksud akan sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu .
Contoh : berapakah 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75
Solusi :
Langkah pertama, . Diperoleh
Langkah kedua,
Jumlah deret yang diminta dari deret di atas adalah sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu sama dengan .
Soal :
Carilah jumlah deret yang terdiri dari bilangan ganjil berurutan berikut
101 + 103 + 104 + 105 + 107 + … + 299
99 + 101 + 103 + … + 999
0 Response to "Jumlah bilangan ganjil yang berurutan"
Posting Komentar
Harap komentar yang bijak!!!