Jumlah bilangan ganjil yang berurutan

1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

Dan seterusnya.

Dapat ditebak bahwa jumlah dari bilangan ganjil berurutan dari yang pertama sama dengan banyaknya suku dikuadratkan. Dapat dilihat pada contoh di atas, jika ada dua suku, yaitu $1+3=4=2^2$ . Jika ada 5 suku, yaitu $1+3+5+7+9=25=5^2$

Mengapa terjadi hal seperti ini?

Secara umum, jumlah bilangan ganjil yang pertama dapat dituliskan sebagai

$1+3+5+7+9+ \dots +(2n-1)$

Dengan n adalah banyaknya suku.

Ternyata bentuk $(2n-1)$ dapat dijadikan $n^2-(n-1)^2$ . Perhatikan untuk $n^2-(n-1)^2$ jika dijabarkan. $n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=n^2-n^2+2n-1=2n-1$ .
Diperoleh bentuk $2n-1$ . Yang ternyata sama dengan rumus untuk bilangan ganjil ke n.

Deret di atas merupakan deret aritmetika yang jumlah suku ke n dapat dicari dengan menggunakan rumus setengah dari jumlah suku pertama dan terakhir kemudian dikalikan banyaknya suku. Dengan demikian diperoleh

Jumlah suku ke $n= \frac{1}{2}(1+(2n-1))(n)$
Jumlah suku ke $n= \frac{1}{2}2n(n)$
Jumlah suku ke $n=n^2$

Sehingga dapat disimpulkan unutk jumlah bilangan ganjil yang berurutan dan sebanyak n bilangan adalah sama dengan $n^2$ . Tentunya ini sudah ditunjukkan melalui penjabaran tersebut.
Bagaimana jika jumlah bilangan tersebut tidak dimulai dari yang terkecil? Jumlah bilangan ganjil yang tidak dimulai dari 1.

$7+9+11+13+15+17+19=?$

Tentunya jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai 19 akan sama dengan $( \frac{19+1}{2})^2$ . Ini diperoleh dari suku terakhirnya.
yaitu $2n-1=19$ , sehingga banyaknya suku jika dihitung dari 1 adalah $2n=19+1$ , dan $n=10$ . Jumlah deret tersebut jika dimulai dari 1 adalah 100. Tetapi permasalahannya, deret yang diminta berawal dari 7.

Dengan demikian yang harus kita lakukan adalah mengurangkannya dengan jumlah beberapa suku awal sebelum deret yang ditanyakan. Bilangan ganjil sebelum 7 adalah 5. Kita hitung jumlah deret dari 1 sampai 5. yaitu $1+3+5=9$ .

Dengan demikian jumlah deret seperti di atas adalah $10^2-3^2=100-9=91$

7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91

Secara umum, jumlah deret bilangan ganjil yang berurutan tetapi tidak dimulai dari angka 1 dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut
Pertama, tulis suku terakhir dalam bentuk rumus bilangan ganjil. Dan kemudian cari nilai n. Misalkan pada contoh di atas, suku terakhirnya adalah 19. Maka $19=2n-1$ . Sehingga, n diperoleh yaitu 10.
Kedua, mencari jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai pada bilangan ganjil sebelum suku pertama pada deret yang ditanyakan. kurangi suku pertama dengan 1 kemudian kalikan dengan setengah. Misalnya suku pertama kita anggap a. maka langkah kedua diperoleh $\frac{a-1}{2}$ . Pada contoh tersebut adalah $\frac{7-1}{2}= \frac{6}{2}=3$

Jumlah deret bilangan ganjil yang dimaksud akan sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu $10^2-3^2=100-9=91$ .

Contoh : berapakah 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75

Solusi :

Langkah pertama, $75=2n-1$ . Diperoleh $n=38$
Langkah kedua, $\frac{59-1}{2}=29$
Jumlah deret yang diminta dari deret di atas adalah sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu sama dengan $38^2-29^2$ .

Soal :

Carilah jumlah deret yang terdiri dari bilangan ganjil berurutan berikut

101 + 103 + 104 + 105 + 107 + … + 299
99 + 101 + 103 + … + 999

Jumlah bilangan ganjil yang berurutan

0 Response to "Jumlah bilangan ganjil yang berurutan"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel