Mencari angka satuan dari bilangan berpangkat besar


Banyak soal-soal olimpiade yang soalnya menyuruh kita untuk mencari angka satuan. Misalnya carilah angka satuan dari 123^{2010}. Tentu kalkulator tidak mencukupi untuk menghitung hal ini. :roll: Lalu bagaimana caranya untuk menemukan angka satuan dari bilangan yang sangat besar tersebut. 

Perhatikan angka satuan berikut yang dipangkatkan dari pangkat 1, pangkat 2, pangkat 3, pangkat 4, dan seterusnya.

1 \quad = \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \dots
2 \quad = \quad 2 \quad 4 \quad 8 \quad 6 \quad 2 \quad 4 \quad 8 \quad 6 \dots
3 \quad = \quad 3 \quad 9 \quad 7 \quad 1 \quad 3 \quad 9 \quad 7 \quad 1 \dots
4 \quad = \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 6 \dots
5 \quad = \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \dots
6 \quad = \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \dots
7 \quad = \quad 7 \quad 9 \quad 3 \quad 1 \quad 7 \quad 9 \quad 3 \quad 1 \dots
8 \quad = \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 6 \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 6 \dots
9 \quad = \quad 9 \quad 1 \quad 9 \quad 1 \quad 9 \quad 1 \quad 9 \quad 1 \dots

Perhatikan polanya. Secara keseluruhan kita bisa mengatakan bahwa pada pangkat ke 5, maka angka satuannya sama dengan pangkat pertama. Ini menjadi kunci pada permasalahan ini.


Beberapa bilangan tertentu mempunyai angka satuan yang tetap jika dipangkatkan sebarang, yaitu bilangan yang berakhiran 1, 5 dan 6. Untuk bilangan yang lain, ada yang kembali lagi setelah pangkat ke empat, dan ada yang kembali lagi setelah pangkat yang ke lima.

Dari bagan tersebut, bisa kita simpulkan bahwa:

Untuk bilangan berakhiran satu jika dipangkatkan n, maka angka satuannya adalah 1. Secara umum bisa ditulis

..1^n=..1

Untuk bilangan-bilangan yang lain kita tuliskan sebagai berikut:
..2^n terbagi menjadi beberapa kasus.

..2^{4n+1}=..2 \qquad ..2^{4n+2}=..4 \qquad ..2^{4n+3}=..8 \qquad ..2^{4n}=..6

Untuk berikutnya sebagai berikut:

..3^{4n+1}=..3 \qquad ..3^{4n+2}=..9 \qquad ..3^{4n+3}=..7 \qquad ..3^{4n}=..1
..4^{2n+1}=..4 \qquad ..4^{2n}=6
..5^n=..5
..6^n=..6
..7^{4n+1}=..7 \qquad ..7^{4n+2}=..9 \qquad ..7^{4n+3}=..3 \qquad ..7^{4n}=..1
..8^{4n+1}=..8 \qquad ..8^{4n+2}=..4 \qquad ..8^{4n+3}=..2 \qquad ..8^{4n}=..6
..9^{2n+1}=..9 \qquad ..9^{2n}=1

Dengan begitu, kita akan sangat mudah mencari angka satuan pada bilangan dengan pangkat yang besar. :roll: Sebagai latihan coba temukan angka satuan dari bilangan berikut ini:

8^{2010}
(7!)^{2010}
3^{2010^{2011}}

Jawab aja di komentar! Tak ada hadiah khusus bagi yang bisa menjawabnya. Hehehe.
Semoga bermanfaat. Jangan lupa bagi ilmunya ke teman-temannya.

Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Mencari angka satuan dari bilangan berpangkat besar"

Posting Komentar

Harap komentar yang bijak!!!