Penjumalahan berurutan

1+2+3+4 = 10

5+6+7=18

Nah.. itu adalah contoh bilangan hasil penjumlahan berurutan yang mempunyai beberapa suku dan dimulai dari nilai sebarang.

Pertanyaannya?

Bagaimana kita menentukan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan?

Apakah semua bilangan bisa dituliskan dalam bentuk penjumlahan berurutan?

Dua pertanyaan saja yah untuk postingan kali ini..

 

Bagaimana kita menentukan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan?

Tentu saja harus diperhatikan banyaknya sukunya. Ada berapa? Sebanyak ganjil atau sebanyak genap?

 

Karena bilangan berurutan mempunyai sifat yaitu “…, ganjil, genap, ganjil, genap, …” Kita manfaatkan sifat ini.

 

Kasus I

Sebanyak ganjil

Coba ya bersama-sama..

Jika dimulai dari genap, maka “genap+ganjil+…+genap” (sebanyak ganjil), hasilnya adalah ganjil

Jika dimulai dari ganjil, maka “ganjil+genap+…+ganjil” (sebanyak ganjil), hasilnya adalah genap

 

Kasus II

Sebanyak genap

Jika dimuali dari genap, maka “genap+ganjil+…+ganjil” (sebanyak genap), hasilnya adalah ??

Ternyata kasus II menimbulkan masalah baru, tergantung dari banyaknya sukunya,

Misalkan banyaknya suku adalah n, jika n=2 , maka hasilnya adalah ganjil

Jika n=4, maka hasilnya adalah genap

Jika n=6, maka hasilnya adalah ganjil

Kita bisa menggunakan modulo, jika n modulo 4 sama dengan 0, maka hasilnya genap

Jika n modulo 4 sama dengan 2, maka hasilnya ganjil

Jika dimulai dari ganjil, maka “ganjil+genap+…+genap”, menghasilkan kasus yang sama.

Kesimpulannya, jika n sebanyak genap, tentu saja ada 2 kasus,

Jika n mod 4 = 2 , maka hasilnya ganjil

Sedangkan jika n mod 4 = 0 , maka hasilnya genap

 

Bagaimana kita menentukannya

Misalkan saja penjumlahan bilangan berurutan itu adalah “…+(k-1)+k+(k+1)+…”

Jadi,

Jika sebanyak ganjil, tentu saja penjumlahannya adalah nk, tergantung banyaknya sukunya (n=ganjil)

Jika sebanyak genap, menimbulkan masalah baru

Misalkan 2 suku, k + (k+1) = 2k + 1

4 suku, (k-1) + k + (k+1) + (k+2) = 4k + 2

6 suku, (k-2) + (k-1) + k + (k+1) + (k+2) +(k+3) = 6k + 3

8 suku, (k-3) + (k-2) + (k-1) + k + (k+1) + (k+2) +(k+3) + (k+4) = 8k + 4

n suku (dengan n genap), maka nk + (n/2)

 

Tentu saja sekarang, apakah bilangan yang akan dicari itu bisa dituliskan dalam bentuk nk (untuk n ganjil), atau nk + (n/2) (untuk n genap)?

Dengan syarat tentu saja n harus lebih besar atau sama dengan 2

 

Atau secara umum, ((2m+1)k) atau (2mk + m), dengan m lebih besar atau sama dengan 1

 

Jika m ganjil

2mk+k ?? bisa genap bisa ganjil

Atau

m(2k+1) adalah ganjil

 

Jika m genap

2mk+k ?? bisa genap bisa ganjil

Atau

m(2k+1) adalah genap

 

wah wah.. lha kok sama gini

 

Jadi, prosedurnya, tulis bilangan a.

Apakah a genap atau ganjil?

Apakah bisa ditulis dalam bentuk m(2k+1) atau 2mk+k=k(2m+1) “perkalian dua bilangan, salah satunya harus ganjil”, m=1 juga boleh kok, jadi bilangan prima juga ada kemungkinan bisa.

Tentu saja m>=1 dan k>=2

 

Untuk memuaskan, kita coba dulu

15, perkalian dari 3x5 atau 1x15 (cek saja faktor2nya)

3x5 = 3(2.2+1) = m(2k+1), dengan m=3 dan k=2 (memenuhi syarat) ,

Jadi 15 = 2 + 3 + 4 + 5 + 1 + 0

Karena kita ingin bilangan asli, ternyata harus ada syarat tambahan.. yaitu : k harus lebih besar dari m

K=3, dan m=2, jadi 15 = 3, 4, 5, 2, 1

Kalau menggunakan 15x1,

Tentu saja m=1, k=7

15=7+8

 

Wahhh.. dung dung..

Simplenya, bilangan ganjil adalah penjumlahan dua bilangan berurutan. Mudah dibuktikan..

Bagaimana kalau bilangan genap?

 

Contoh dulu : 28 (bilangan sembarangan. . wkwk)

28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28

4 x 7 = k=4, m=3

4, 5, 6, 7, 3, 2, 1

120 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

Yang ganjil adalah 5 dan 3 dan 15

5x24 dan 3x40 dan 15x6

5x24, maka m=2, k=24, diperoleh hasilnya 24, 25, 26, 23, 22

3x40, maka m=1, k=40 diperoleh hasilnya 40, 41, 39

15x8, maka m=8, k=7 diperoleh 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 6, 5, 4, 3, 2, 1

 

Jadi kuncinya adalah mencari faktor yang ganjil, dan kemudian faktor yang ganjil, dijadikan acuan sebagai k atau m, dengan syarat k>m

 

Contoh lagi :

84 : 2, 3, 7 faktor primanya, berarti factor ganjilnya 3, 7, 21

3x28 dan 7x12 dan 21x4

3x28, maka m=1 k=28, diperoleh hasil 28, 29, 27

7x12, maka m=3 dan k=12, diperoleh hasil 12, 13, 14, 15, 11, 10, 9

21x4, maka m=4 dan k=10, diperoleh hasil 10, 11, 12, 13, 14, 9, 8, 7

 

Apakah semua bilangan asli bisa dituliskan? 1 tidak bisa… :p 2 juga tidak bisa. :p

3 bisa dong. 1+2=3.

4 tidak bisa, karena 4 tidak mempunyai factor berupa bilangan ganjil

Apakah yang lebih dari 5 pasti bisa?

Kalo 2^x bisa tidak?? ??? ???

8 misalnya.. 16… bagaimana 32???

 

Jadi, kuncinya adalah factor/pembagi yang ganjil. cmiiw

Share this post