Bukti Teorema-teorema Bilangan

Bukti teorema-teorema pada bilangan, misalnya bukti bahwa a dikali 0 sama dengan nol. Bukti perkalian dengan nol itu sama dengan nol. Dan bukti-bukti lain untuk teorema-teorema pada bilangan.

 

Teorema. $latex \forall a \in R$, berlaku $latex a.0=0$

Bukti.


Menurut sifat identitas penjumlahan berlaku $latex 1=1+0$. Akibatnya,  $latex a.1=a.(1+0)$.

Jadi,

$latex a=a.1+a.0$   [sifat distributif]

$latex (-a)+a=(-a)+(a+a.0)$

$latex 0=0+a.0$

$latex 0=a.0$

 

Teorema. Bilangan 0 tidak memiliki invers perkalian

Bukti.

Dari teorema di atas berlaku $latex 0a=0$ untuk setiap a. padahal bila 0 mempunyai invers berarti $latex 0a=1$ untuk suatu a, akibatnya $latex 0=1$. Hal ini tidak mungkin terjadi dalam bilangan real, sehingga haruslah pernyataan 0 tidak mempunyai invers merupakan pernyataan yang benar.

 

Teorema. Jika $latex ab=ac$ dan $latex a \ne 0$, maka $latex b = c$

Bukti.

Diketahui $latex ab = ac$  dan $latex a \ne 0$, artinya a mempunyai invers. Sehingga dapat dituliskan,

$latex a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac)$

$latex (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c$

$latex 1b = 1c$

$latex b = c$

 

Teorema. $latex \forall a$ dan $latex b \in R$, berlaku  $latex (-a)b = -(ab)$

Bukti.

Kita tunjukkan bahwa $latex (-a)b$ adalah negative dari $latex (ab)$, artinya

$latex (-a)b + ab = ab + (-a)b = 0$

Menurut hukum distributif,

$latex (-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = 0$

Jadi, $latex (-a)b = -(ab)$

 

Teorema. $latex \forall a$ dan $latex b \in R$, berlaku  $latex -(a + b) = (-a) + (-b)$

Bukti.

Kita buktikan bahwa $latex [(-a) + (-b)] + (a + b) = 0$ seperti berikut,

$latex [(-a) + (-b)] + (a + b) = [(-a) + (-b)] + (a + b)$

$latex [(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + (-b) + b + a$

$latex [(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + 0 + a$

$latex [(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + a$

$latex [(-a) + (-b)] + (a + b) = 0$

 

Teorema. $latex a < b$ jika dan hanya jika $latex b - a > 0$

Bukti.

Jika $latex a < b$, maka menurut sifat pada bilangan berlaku $latex a - a < b - a$. oleh karena itu didapatkan $latex 0 < b - a$. yang tidak lain yaitu $latex b - a > 0$. Sebaliknya, jika $latex b - a > 0$, maka $latex (b - a) + a > 0 + a$. dan diperoleh $latex b > a$

 

Teorema. $latex a < b$ dan $latex c > 0$, maka $latex ac < bc$

Bukti.

Jika $latex a < b$, maka $latex b - a > 0$. Akibatnya, menurut sifat pada bilangan didapatkan $latex (b - a)c > 0.c$. sama dengan $latex (b - a)c > 0$. Sehingga $latex bc - ac > 0$. Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh $latex ac < bc$

 

Teorema. Jika $latex a < 0$, maka $latex -a > 0$

Bukti.

$latex a < 0$ maka $latex a - a < 0 - a$. diperoleh $latex 0 < -a$. Sama dengan $latex -a > 0$

 

Teorema. Jika $latex a > 0$, maka $latex -a < 0$

Bukti.

$latex a > 0$ maka $latex a - a > 0 - a$. diperoleh $latex 0 > -a$. Sama dengan $latex -a < 0$

 

Teorema. $latex a < b$ dan $latex c < 0$, maka $latex ac > bc$

Bukti.

Jika $latex a < b$, maka $latex b - a > 0$. Padahal $latex c < 0$. Maka $latex c - c < 0 - c$. maka $latex -c > 0$. Akibatnya didapatkan $latex -bc + ac > 0$. Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh $latex ac > bc$

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

Share this post