Penerapan turunan

 

Cukup banyak penerapan dari suatu turunan. Beberapa akan dituliskan di bawah ini. Salah satunya yaitu untuk menentukan suatu maksimum dan minimum. Menentukan nilai maksimum, menentukan titik puncak, menentukan kecekungan, dan lain-lain.

 

 

Maksimum dan Minimum

Definisi : Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, kita katakana bahwa

$latex f(c)$ adalah nilai maksimum f pada S jika $latex f(c) \ge f(x)$ untuk semua x di S

$latex f(c)$ adalah nilai minimum f pada S jika $latex f(c) \le f(x)$ untuk semua x di S

$latex f(c)$ adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif

 

 

Teorema : Keberadaan Maksimum-Minimum




Jika f kontinu pada selang tutup $latex [a,b],$ maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana

Keberadaan minimum dan maksimum pasti ada pada suatu selang tertutup. Ini sangatlah jelas, apalagi kurva yang ada di dalamnya adalah kurva naik atau kurva turun. Untuk kurva yang datar, di semua titik adalah maksimum dan minimum.

 

 

Teorema : Titik Kritis




Andaikan f terdiferensiasikan pada selang I yang memuat titik c. Jika $latex f(c)$ adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu

1.Titik ujung dari $latex I$

2.Titik stasioner dari $latex f(f'(c)=0)$

3.Titik singular dari $latex f(f'(c))$ tidak ada

Contoh : Carilah titik-titk kritis dari $latex f(x)=-2x^3+3x^2$  pada $latex [- \frac{1}{2},2]$

Penyelesaian : Titik-titik ujung adalah $latex - \frac{1}{2}$ dan $latex 2.$ Untuk mencari titik stasioner kita selesaikan $latex f'(x)=-6x^2+6x=0$ untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak ada titik-titik singular. Jadi, titik-titik kritis adalah $latex - \frac{1}{2},0,1,2$

 

 

Kemonotonan dan Kecekungan




Definisi : Andaikan f terdefinisi pada selang I (buka, tutup atau tak satupun). Kita katakana bahwa :

f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan $latex x_1$ dan $latex x_2$ dalam I berlaku $latex x_1<x_2 \to f(x_1)<f(x_2)$

f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan $latex x_1$ dan $latex x_2$ dalam I berlaku $latex x_1<x_2 \to f(x_1)>f(x_2)$

f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I

 

 

Turunan Pertama dan Kemonotonan




Teorema : Andaikan f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik–dalam dari I

Jika $latex f'(x)>0$ untuk semua x titik–dalam I, maka f naik pada I

Jika $latex f'(x)<0$ untuk semua x titik–dalam I, maka f turun pada I

Contoh : Tentukan dimana $latex g(x)= \frac{x}{1+x^2}$ naik dan dimana turun

Penyelesaian :

$latex g'(x)= \frac{(1+x^2)-x(2x)}{(1+x^2)^2}= \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}= \frac{(1-x)(1+x)}{(1+x^2)^2}&s=1$

Perhatikan bahwa penyebut selalu bernilai positif. Titik-titik pemisahyaitu 1 dan -1 mengakibatkan menjadi tiga selang. Yaitu $latex (- \infty,-1),(-1,1),(1, \infty).$ jika kita menguji nilai mereka, kita temukan bahwa $latex g'(x)<0$ pada selang yang pertama dan yang ketiga. Dan $latex g'(x)>0$ pada selang yang kedua. Kita menyimpulkan bahwa g turun pada $latex (-\infty,-1]$ dan $latex [1, \infty).$ dan g naik pada $latex [-1,1]$

 

 

Turunan Kedua dan Kecekungan




Definisi : Andaikan  f  terdiferensialkan pada selang buka I. Kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika $latex f'$ naik pada I dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika $latex f'$ turun pada I

Teorema

Andaikan  f  terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I

Jika $latex f''(x)>0$ untuk semua x dalam I, naka f cekung ke atas pada I

Jika $latex f''(x)<0$ untuk semua x dalam I, naka f cekung ke bawah pada I

 

 

Titik Balik




Andaikan  f  kontinu di c. kita sebut $latex (c,f(c))$ suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.

 

 

Maksimum Lokal dan Minimum Lokal




Definisi : Andaikan S daerah asal dari f mengandung titik c. Kita katakana bahwa

$latex f(c)$ adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval $latex (a,b)$  yang berisi c sehingga $latex f(c)$ adalah nilai maksimum dari f pada $latex (a,b) \cap S$

$latex f(c)$ adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval $latex (a,b)$ yang berisi c sehingga $latex f(c)$ adalah nilai minimum dari f pada $latex (a,b) \cap S$

$latex f(c)$ adalah suatu nilai ekstrim lokal local dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai maksimum local atau sebuah nilai minimum local.

Teorema : Andaikan f  kontinu pada selang buka $latex (a,b)$ yang memuat titik kritis c

Jika $latex f'(x)>0$ untuk semua x dalam $latex (a,c)$ dan $latex f'(x)<0$ untuk semua x dalam $latex (c,b),$ maka $latex f(c)$ adalah nilai maksimum lokal f

Jika $latex f'(x)<0$ untuk semua x dalam $latex (a,c)$ dan $latex f'(x)>0$ untuk semua x dalam $latex (c,b),$ maka $latex f(c)$ adalah nilai minimum lokal f

Jika $latex f'(x)$ bertanda sama pada kedua pihak c, maka $latex f(c)$ bukan nilai ekstrim local f

 

Teorema : Uji Turunan Kedua

Andaikan $latex f'$ dan $latex f''$ ada pada setiap titik selang buka $latex (a,b)$ yang memuat c, dan andaikan $latex f'(c)=0$

Jika $latex f''(c)<0,$ maka $latex f(c)$ adalah nilai maksimum local f

Jika $latex f''(c)>0,$ maka $latex f(c)$ adalah nilai minimum local f

 

Teorema Nilai Rata-rata

Jika f kontinu pada selang tutup $latex [a,b]$  dan terdiferensiasikan pada titik-titik dalam dari $latex (a,b),$ maka terdapat paling sedikit satu bilangan $latex c$ dalam $latex (a,b)$  dengan

$latex \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)&s=2$

atau sama dengan

$latex f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)&s=1$

Contoh : Carilah bilangan c yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-rata untuk $latex f(x)=2 \sqrt{x}$ pada $latex [1,4]$

Penyelesaian :

$latex f'(x)=2. \frac{1}{2}x^{- \frac{1}{2}}= \frac{1}{ \sqrt{x}}&s=1$

Dan

$latex \frac{f(4)-f(1)}{4-1}= \frac{4-2}{3}= \frac{2}{3}&s=1$

Jadi, kita harus menyelesaikan

$latex \frac{1}{ \sqrt{c}}= \frac{2}{3}&s=1$

Penyelesaian tunggalnya adalah $latex c= \frac{9}{4}&s=1$

 

Tulisan Terbaru :

 

[archives limit=5]

 

Share this post