Asal rumus jumlah khusus bilangan asli

 

$latex 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ \dots +99= \dots$

$latex 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+ \dots +50^2= \dots$



Bentuk tersebut adalah bentuk jumlah yang dimulai dari 1 (bilangan asli) sampai suatu bilangan tertentu. Untuk bentuk yang kedua adalah jumlah bilangan asli yang dikuadratkan. Dimulai dari bilangan 1. Bisa diselesaikan dengan mudah bukan. Karena kita mempunyai rumus umumnya yaitu :

 

$latex \frac{n(n+1)}{2}$ , untuk soal yang pertama

$latex \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , untuk soal yang kedua

 

Sehingga dengan mudah kita bisa menentukan jumlahnya, yaitu 4950 untuk soal yang pertama. dan 42925 untuk kasus yang kedua.

 

Kali ini yang kita bahas yaitu dari mana asal rumus-rumus tersebut? Dari mana asal rumus $latex \frac{n(n+1)}{2}$? Dari mana juga rumus $latex \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$?

Mungkin pembaca pernah membuktikan rumus ini dengan induksi matematika. Ingat! induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu kebenaran suatu rumus. Jadi, rumus tersebut dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika untuk mengecheck kebenarannya. Apakah berlaku sampai bilangan yang sangat besar manapun.

Lalu, untuk menemukan rumus tersebut bagaimana? Inilah yang menjadi pertanyaan beberapa pembaca.

 

Ada beberapa cara mencari rumus-rumus ini. Bisa menggunakan prinsip jumlah (sigma) dan juga bisa menggunakan fungsi pembangkit. atau menggunakan yang lainnya.

Kali ini akan kami bahas mengenai konsep atau prinsip penjumlahan (sigma).

 

Tentunya semuanya sudah tahu mengenai bentuk ini :

 

$latex (a+1)^2=a^2+2a+1$

$latex (a+1)^2-a^2=2a+1$

 

Sekarang kita beri sigma di masing-masing ruas. Ruas kanan maupun ruas kiri.

 

$latex \sum \limits_{a=1}^n [(a+1)^2-a^2] = \sum \limits_{a=1}^n [2a+1]$

 

Untuk ruas kiri, sekarang perhatikan ini :

 

$latex \sum \limits_{a=1}^n [(a+1)^2-a^2]=(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+(4^2-3^2)+ \dots +((n+1)^2-n^2)$

$latex \sum \limits_{a=1}^n [(a+1)^2-a^2]=(n+1)^2-1$

 

Mengapa?

 

Tentunya sudah sangat jelas. Karena bilangan-bilangannya akan saling mengurangi.

 

Sehingga, bisa dituliskan :

 

$latex (n+1)^2-1= \sum \limits_{a=1}^n [2a+1]$

$latex n^2+2n+1-1= \sum \limits_{a=1}^n 2a + \sum \limits_{a=1}^n 1]$

$latex n^2+2n=2[ \sum \limits_{a=1}^n a ] + n$

$latex \sum \limits_{a=1}^n a= \frac{n^2+n}{2}$

$latex 1+2+3+4+5+6+ \dots +n= \frac{n^2+n}{2}$

 

Sebenarnya, untuk mencari rumus ini bisa dikonstruksi seperti berikut :

 

$latex 1+2+3+4+5+6+ \dots +(n-1)+n$

 

Sekarang kita copy di bawahnya tetapi penulisannya kita balik, seperti berikut :

 

$latex 1+2+3+4+5+6+ \dots +(n-1)+n$

$latex n+(n-1)+ \dots + 6+5+4+3+2+1$

 

Kita jumlahkan masing-masing sukunya ke bawah. Diperoleh :

 

$latex (n+1)+(n+1)+(n+1)+ \dots +(n+1)(n+1)$  sebanyak n kali tentunya

 

Akan sama dengan $latex (n+1) \times n$ , karena ada sebanyak n kali. Akibat kita copy tadi, maka hasil ini tentunya harus dibagi 2, sehingga sama dengan $latex = \frac{n^2+n}{2}$

 

 

Untuk mencari rumus jumlah bilangan asli berurutan yang dikuadratkan, maka kita gunakan fakta bahwa :

 

$latex (b+1)^3=b^3+3b^2+3b+1$

$latex (b+1)^3-b^3=3b^2+3b+1$

 

Sekarang kita beri sigma di masing-masing ruas. Ruas kanan maupun ruas kiri.

 

$latex \sum \limits_{b=1}^n [(b+1)^3-b^3] = \sum \limits_{b=1}^n [3b^2+3b+1]$

$latex (n+1)^3-1^3 = \sum \limits_{b=1}^n 3b^2 + \sum \limits_{b=1}^n 3b + \sum \limits_{b=1}^n 1$

$latex n^3+3n^2+3n+1-1 =3[ \sum \limits_{b=1}^n b^2] +3[ \sum \limits_{b=1}^n b]+n$

 

Kita manfaatkan :

$latex \sum \limits_{a=1}^n a= \frac{n^2+n}{2}$

yang telah kita cari sebelumnya. Sehingga diperoleh :

 

$latex n^3+3n^2+3n+1-1 =3[ \sum \limits_{b=1}^n b^2] + \frac{n^2+n}{2}+n$

 

Lakukan beberapa operasi kecil, dan akhirnya diperoleh :

 

$latex \sum \limits_{b=1}^n b^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

 

Untuk cara mencari dengan menggunakan fungsi pembangkit, tunggu postingan selanjutnya.

Jangan lupa kunjungi terus, asimtot. Dan juga gabung di grup facebook SOUL-MATE-MATIKA (link sudah terpasang di sebelah kanan blog).

 

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

 

Share this post