Mengutak-atik barisan fibonacci menjadi konvergen

 

Sudah kita kenal bagaimana barisan fibonacci itu. Beberapa suku awalnya adalah :

 

$latex 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \dots$

 

Barisan fibonacci ini menggunakan rumus rekursif yaitu $latex A_n=A_{n-1}+A_{n-2}$ untuk $latex n>2$ dengan $latex A_1=1$ dan $latex A_2=1$. Tentu di sini n adalah himpunan bilangan asli. 

 

Tentu, barisan fibonacci ini merupakan barisan yang divergen. Karena bilangan-bilangannya semakin membesar mendekati tak hingga. Deret fibonacci juga divergen karena jumlahnya mendekati tak hingga.

 

Berikut adalah deret fibonacci yang dimodif sehingga jumlah deret tak hingganya adalah mempunyai nilai (terhingga).

Kita mengenal deret berikut ini :

 

$latex \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \frac{1}{256}+ \dots$

 

Kina mengenal barisan tersebut sebagai barisan yang konvergen. Bagaimana menunjukkannya? Seperti berikut :

Misalkan :

 

$latex K= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \frac{1}{256}+ \dots$

 

Jikan kedua ruas kita kalikan dengan 2, kita peroleh :

 

$latex 2K=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \dots$

 

Kedua ruas kita kurangi dengan 1. Kita peroleh :

 

$latex 2K-1= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \dots$

 

Ini sama dengan pemisalan kita tadi, sehingga kita peroleh :

 

$latex 2K-1=K$

$latex 2K-K=1$

$latex K=1$

 

Jadi, kita peroleh bahwa :

 

$latex 1= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \frac{1}{64}+ \frac{1}{128}+ \frac{1}{256}+ \dots$

 

Ini juga bisa dicari dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga dengan suku pertama yaitu setengah dan rasionya adalah setengah.

Jika masing masing suku penjumlahannya diberikan bilangan fibonacci secara berurutan, bagaimanakah dengan jumlahnya?

 

$latex (1) \frac{1}{2}+(1) \frac{1}{4}+(2) \frac{1}{8}+(3) \frac{1}{16}+(5) \frac{1}{32}+(8) \frac{1}{64}+(13) \frac{1}{128}+(21) \frac{1}{256}+ \dots$

 

 

Bagaimana dengan jumlahnya?

 

Perhatikan tabel berikut ini :

 

n	Setengah pangkat n	fibonacci	Nilai suku ke-n		Jumlah sampai suku ke-n
1	0,5	1	0,5		0,5
2	0,25	1	0,25		0,75
3	0,125	2	0,25		1
4	0,0625	3	0,1875		1,1875
5	0,03125	5	0,15625		1,34375
6	0,015625	8	0,125		1,46875
7	0,0078125	13	0,1015625		1,5703125
8	0,00390625	21	0,08203125		1,65234375
9	0,001953125	34	0,06640625		1,71875
10	0,000976563	55	0,053710938		1,772460938
11	0,000488281	89	0,043457031		1,815917969
12	0,000244141	144	0,03515625		1,851074219
13	0,00012207	233	0,028442383		1,879516602
14	6,10352E-05	377	0,023010254		1,902526855
15	3,05176E-05	610	0,018615723		1,921142578
16	1,52588E-05	987	0,015060425		1,936203003
17	7,62939E-06	1597	0,012184143		1,948387146
18	3,8147E-06	2584	0,009857178		1,958244324
19	1,90735E-06	4181	0,007974625		1,966218948
20	9,53674E-07	6765	0,006451607		1,972670555
21	4,76837E-07	10946	0,00521946		1,977890015
22	2,38419E-07	17711	0,004222631		1,982112646
23	1,19209E-07	28657	0,003416181		1,985528827
24	5,96046E-08	46368	0,002763748		1,988292575
25	2,98023E-08	75025	0,002235919		1,990528494
26	1,49012E-08	121393	0,001808897		1,992337391
27	7,45058E-09	196418	0,001463428		1,993800819
28	3,72529E-09	317811	0,001183938		1,994984757
29	1,86265E-09	514229	0,000957826		1,995942583
30	9,31323E-10	832040	0,000774898		1,996717481
31	4,65661E-10	1346269	0,000626905		1,997344386
32	2,32831E-10	2178309	0,000507177		1,997851563
33	1,16415E-10	3524578	0,000410315		1,998261878
34	5,82077E-11	5702887	0,000331952		1,99859383
35	2,91038E-11	9227465	0,000268555		1,998862385
36	1,45519E-11	1,5E+07	0,000217265		1,99907965
37	7,27596E-12	2,4E+07	0,000175771		1,999255421
38	3,63798E-12	3,9E+07	0,000142202		1,999397623
39	1,81899E-12	6,3E+07	0,000115044		1,999512667
40	9,09495E-13	1E+08	9,30724E-05		1,999605739
41	4,54747E-13	1,7E+08	7,52971E-05		1,999681036
42	2,27374E-13	2,7E+08	6,09167E-05		1,999741953
43	1,13687E-13	4,3E+08	4,92826E-05		1,999791236
44	5,68434E-14	7E+08	3,98705E-05		1,999831106
45	2,84217E-14	1,1E+09	3,22559E-05		1,999863362
46	1,42109E-14	1,8E+09	2,60956E-05		1,999889457
47	7,10543E-15	3E+09	2,11118E-05		1,999910569
48	3,55271E-15	4,8E+09	1,70798E-05		1,999927649
49	1,77636E-15	7,8E+09	1,38178E-05		1,999941467
50	8,88178E-16	1,3E+10	1,11789E-05		1,999952646

 

Ternyata nilainya mendekati 2.

Dan memang barisan tersebut akan konvergen ke 2.

 

$latex (1) \frac{1}{2}+(1) \frac{1}{4}+(2) \frac{1}{8}+(3) \frac{1}{16}+(5) \frac{1}{32}+(8) \frac{1}{64}+(13) \frac{1}{128}+(21) \frac{1}{256}+ \dots$

 

Akan konvergen ke 2.

 

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

 

Share this post