Soal dan Solusi #1

Diambil dari grup facebook soul-mate-matika, ketika dulu saya jadi adminnya bro. :p Kemudian saya buatkan arsipnya di blog soul-mate-matika yang saya buat juga. https://soulmatematika.wordpress.com/category/soul-mate-matika/

Sekarang saya posting ulang di blog ini supaya jadi satu kesatuan, yaitu asimtot, membahas masalah matematika. :p

Pertanyaan 1

Hilmy Adam Jieta Pradana

Didefinisikan $latex [x]$ sebagai bilangan integer, yaitu bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan $latex x$.
Jika $latex A = [ \sqrt{1}] + [ \sqrt{2}] + [ \sqrt{3}] + \cdots + [ \sqrt{2004}]$, maka hitunglah nilai $latex A$

Jawaban 1

Axel D'myx ‎

$latex A=1+1+1+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+ \cdots +44+44+44$
lihat polanya aja.

1 sebanyak 3 kali.
2 sebanyak 5 kali.
3 sebanyak 7 kali.
tapi 44 sebanyak 69 kali.

jumlahkan!
$latex (1 \times 3) + (2 \times 5) + (3 \times 7) + \cdots + (43 \times 87) + (44 \times 69)$
$latex 3 + 10 + 21 + \cdots + 3741 + 3036$

Barisan untuk $latex 3,10,21, \cdots ,3741$ rumusnya adalah $latex 2n^2 + n$

$latex 2(1)^2 + 1$
$latex 2(2)^2 + 2$
$latex 2(3)^2 + 3$
...
$latex 2(43)^2 + 43$

jumlahkan semuanya
$latex 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots +43^2) + (1+2+3+ \cdots+43)$
$latex 2(27434) + 946 = 55814$

jangan lupa yg 3036. jumlahkan lagi. $latex 55814 + 3036 = 58850$

jawabanny 58850

 

---

 

Pertanyaan 2

Hilmy Adam Jieta Pradana

Hitunglah nilai dari

$latex S = \sqrt{1+ \dfrac{1}{1^2}+ \dfrac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+ \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}}+ \cdots+ \sqrt{1+ \dfrac{1}{2004^2}+ \dfrac{1}{2005^2}}$

 

Jawaban 2

Axel D'myx ‎

Hitunglah nilai dari

$latex S = \sqrt{1+ \dfrac{1}{1^2}+ \dfrac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+ \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}}+ \cdots + \sqrt{1+ \dfrac{1}{2004^2}+ \dfrac{1}{2005^2}}$

$latex \sqrt{1+ \dfrac{1}{n^2}+ \dfrac{1}{(n+1)^2}}$

kita selesaikan yg dalam akarnya...
$latex 1+ \dfrac{1}{n^2}+ \dfrac{1}{(n+1)^2}=1+( \dfrac{1}{n})^2+( \dfrac{1}{(n+1)})^2$

Samakan penyebut!

$latex \dfrac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)^2]}$

setelah dihitung2, didapat

$latex \dfrac{ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1}{[n(n+1)]^2}$

$latex = \dfrac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}$

karena ada akar kuadratnya, maka hasil dari $latex \sqrt{1+ \dfrac{1}{n^2}+ \dfrac{1}

{(n+1)^2}}$ adalah $latex \dfrac{(n^2+n+1)}{[n(n+1)]}$

jadi penjumlahan yang harus dicari itu adalah :

$latex \dfrac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}$ dapat diubah menjadi $latex 1+ \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1}$

berarti barisannya menjadi :

$latex 1+ \dfrac{1}{1}- \dfrac{1}{2}$

$latex 1+ \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}$

$latex 1+ \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}$

$latex 1+ \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{5}$

...

$latex 1+ \dfrac{1}{2004}- \dfrac{1}{2005}$

Dijumlahkan semuanya. Hasilnya :

$latex 2004 + \dfrac{1}{1}- \dfrac{1}{2005}$

$latex 2005- \dfrac{1}{2005}$

$latex \dfrac{2005^2-1}{2005}= \dfrac{4020024}{2005}$




Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

Share this post