Modulo dan kongruensi
Modulo
Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat lebih besar nol. Operasi a mod m (dibaca a modulo m) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. biasanya a mod m dengan m = 1 tidak ditulis. Artinya, mod 1 jarang dijumpai atau tak pernah dijumpai. Karena a mod 1 nilainya pasti sama dengan nol. Semua bilangan bulat pasti habis dibagi 1. Sehingga tidak ada gunanya mempertanyakan mod 1.
Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo
Kongruen
Misalnya 28 mod 5 = 3 dan 18 mod 5 = 3, maka kita katakan 28 18 (mod 5) (baca: 28 kongruen dengan 18 dalam modulo 5). Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a ≢ b (mod m).
Contoh :
22 2 (mod 5) ( 5 habis membagi 22 – 2 = 20)
–6 14 (mod 10) (10 habis membagi –6 – 14 = –20)
Contoh :
17 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 3
–7 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11
Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut
1) 23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 3 (mod 5)
2) 27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 0 (mod 3)
Sifat-sifat pada kongruensi
m adalah bilangan bulat positif. Kongruensi modulo m memenuhi sifat-sifat berikut.
Bukti untuk 1.2 dan 2.1
a b (mod m) berarti:
a = b + km
a – b = km
(a – b)c = ckm
ac = bc + Km
ac bc (mod m) , terbukti.
Bukti selanjutnya :
a b (mod m) a = b + k1m
c d (mod m) c = d + k2m
(a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m
(a + c) = (b + d) + km dengan (k = k1 + k2)
Jadi, (a + c) = (b + d) (mod m)
Contoh :
Misalkan 17 2 (mod 3) dan 10 4 (mod 3), maka menurut Teorema 2,
17 + 5 = 2 + 5 (mod 3) 22 = 7 (mod 3)
17 . 5 = 2 . 5 (mod 3) 85 = 10 (mod 3)
Bukti untuk 1)
p ≡ q (mod m), maka sesuai definisi m ∣ p – q. kemudian dapat ditentukan bahwa rm ∣ r(p – q) atau rm ∣ rp – rq. Maka berdasarkan definisi dapat ditentukan bahwa pr ≡ pr (mod mr)
Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]
Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat lebih besar nol. Operasi a mod m (dibaca a modulo m) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. biasanya a mod m dengan m = 1 tidak ditulis. Artinya, mod 1 jarang dijumpai atau tak pernah dijumpai. Karena a mod 1 nilainya pasti sama dengan nol. Semua bilangan bulat pasti habis dibagi 1. Sehingga tidak ada gunanya mempertanyakan mod 1.
Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m. Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1}. Kenapa hanya sampai pada m – 1? Perhatikan syarat 0 ≤ r < m. karena semesta pembicaraan ada di bilangan bulat, maka himpunan hasil aritmetika modulo hanya akan sampai pada m – 1. Karena sama saja untuk m dengan nol.
Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo
- 23 mod 5 = 3 sama halnya dengan (23 = 5 4 + 3)
- 0 mod 17 = 0 sama halnya dengan (0 = 12 0 + 0)
Kongruen
Misalnya 28 mod 5 = 3 dan 18 mod 5 = 3, maka kita katakan 28 18 (mod 5) (baca: 28 kongruen dengan 18 dalam modulo 5). Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a ≢ b (mod m).
Definisi : ditentukan p, q, m adalah bilangan-bilangan bulat dan m ≠ 0. Pp disebut kongruen dengan q modulo m, ditulis p ≡ q (mod m), jika dan hanya jika m ∣ p - q
Contoh :
22 2 (mod 5) ( 5 habis membagi 22 – 2 = 20)
–6 14 (mod 10) (10 habis membagi –6 – 14 = –20)
Kekongruenan a b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan a = b + km dengan k adalah bilangan bulat.
Contoh :
17 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 3
–7 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11
Berdasarkan definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan a mod m = r sebagai a r (mod m)
Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut
1) 23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 3 (mod 5)
2) 27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 0 (mod 3)
Sifat-sifat pada kongruensi
m adalah bilangan bulat positif. Kongruensi modulo m memenuhi sifat-sifat berikut.
Sifat refleksif
Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka p ≡ p (mod m)
Sifat simetris
Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat sehingga p ≡ q (mod m), maka q ≡ p (mod m)
Sifat transitif
Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan bulat sehingga p ≡ q (mod m) dan q ≡ r (mod m) maka p ≡ r (mod m)
Teorema.
Misalkan m adalah bilangan bulat positif
1. Jika a b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka
1) (a + c) (b + c) (mod m)
2) ac bc (mod m)
2. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka
1) (a + c) (b + d) (mod m)
2) ac bd (mod m)
Bukti untuk 1.2 dan 2.1
a b (mod m) berarti:
a = b + km
a – b = km
(a – b)c = ckm
ac = bc + Km
ac bc (mod m) , terbukti.
Bukti selanjutnya :
a b (mod m) a = b + k1m
c d (mod m) c = d + k2m
(a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m
(a + c) = (b + d) + km dengan (k = k1 + k2)
Jadi, (a + c) = (b + d) (mod m)
Contoh :
Misalkan 17 2 (mod 3) dan 10 4 (mod 3), maka menurut Teorema 2,
17 + 5 = 2 + 5 (mod 3) 22 = 7 (mod 3)
17 . 5 = 2 . 5 (mod 3) 85 = 10 (mod 3)
Teorema.
p ≡ q (mod m), maka pr ≡ pr (mod mr)
p ≡ q (mod m) dan d ∣ m, maka p ≡ q (mod d)
ap ≡ aq (mod m), maka p ≡ q (mod m/(a, m))
Bukti untuk 1)
p ≡ q (mod m), maka sesuai definisi m ∣ p – q. kemudian dapat ditentukan bahwa rm ∣ r(p – q) atau rm ∣ rp – rq. Maka berdasarkan definisi dapat ditentukan bahwa pr ≡ pr (mod mr)
Baca juga mengena modulo dan kongruensi yang lainnya, yaitu
Soal-soal kongruensi teori bilangan | di sini pembaca bisa mengetahu soal-soal mengenai kongruensi yang lainnya
Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]
Klo soalnya bgini pke aturan modulo jg?
BalasHapussisa pembagian 43^(43^43) oleh 100 adalah...
Dalam mengerjakan soal math itu jangan hanya terpaku harus pakai cara..
BalasHapusKarena dibagi 100, kita perhatikan 2 angka terakhir saja
43^1=...43
43^2=...49
43^3=...07
43^4=...01
43^5=...43
43^6=...49
43^7=...07
43^8=...01
...
Skrg kita krjakan yang 43^43 yang diatas.
43^43=43^(40+3) py 2 angka terakhir ...07
Kmbali ke awal.
43^...7
43^(4k+3)
Jadi
43^3
Py angka dua angka terakhir 07.
Jd, sisanya ktka dbgi 100 adlh 7
ijin ya dishare , good banget
BalasHapusgak ngerti :v
BalasHapus