Jarak titik ke garis (versi lain)

Bagaimana cara menentukan jarak sebuah titik ke sebuah garis?

 

Menentukan jarak sebuh titik ke sebuah garis dapat dicari dengan menggunakan rumus yang pernah diajarkan ketika SMP. Tetapi, apa kita masih ingat rumus tersebut. semoga kita masih tetap ingat. Tetapi seandainya lupa, kita bisa mencari rumus tersebut dengan cara.

Perhatikan gambar berikut ini





 

Misalnya di situ ada titik A dan ada sebuah garis dengan persamaan $latex y=ax+b$. berapakah jarak dari titik A ke garis $latex y=ax+b$. Mengingat suatu jarak pada suatu garis atau bidang. Jarak adalah panjang proyeksinya terhadap garis $latex y=ax+b$. tentunya harus tegak lurus. karena kita berbicara proyeksi. Jadi pada gambar haruslah garis d tegak lurus dengan persamaan garis $latex y=ax+b$.

 

Langkah untuk menemukan rumus untuk mencari jarak titik ke sebuah garis adalah sebagai berikut :

 

Buat persamaan garis d yang melewati titik A dan tegak lurus dengan garis y. ini artinya gradient garis y dikalikan gradient garis d nantinya harus sama dengan –1. Kemudian yang kita lakukan adalah mencari titik potong antara garis d dan garis y. titik potongnya nanti akan diketahui sama dengan suatu koordinat. Setelah itu kita cari jarak antara dua titik tersebut dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Dan diperolehlah panjang d. sehingga jarak antara titik A dengan garis y dapat dicari.

 

Rumus untuk mencari jarak dari titik ke suatu garis

 

Jarak dari titik $latex (p,q)$ ke garis $latex y=ax+b$ adalah

 

$latex d= \frac{ \mid q-ap-b \mid}{ \mid \sqrt{1+a^2} \mid}&s=1$

 

Jarak dari titik $latex (p,q)$ ke garis $latex Ax+By+C=0$ adalah

 

$latex d= \frac{ \mid Ap+Bq+C \mid}{ \sqrt{A^2+B^2}}&s=1$

 

Untuk mencarinya dengan cara lain bisa menggunakan jarak dua garis yang sejajar yang telah ada di postingan sebelumnya. Jika kita buat garis dengan gradient sama dengan garis yang diketahui dan melewati titik tersebut. maka permasalahan bisa berubah menjadi jarak dua garis yang sejajar dan dapat dicari dengan menggunakan rumus

 

 



 

yang akan kita cari adalah panjang d yaitu jarak dari garis dengan persamaan $latex y_1=ax+c$ dan $latex y_2=ax+d$. Ingat kembali bahwa grafik mengalami penggeseran sebesar konstanta tunggal dari sebuah persamaan.

 

Misalnya $latex y=2x+5$, artinya gambar grafik tersebut sama dengan gambar grafik $latex y=2x$, hanya saja mengalami penggeseran ke atas sebanyak 5 satuan.

 

Begitu juga untuk $latex y_1=ax+c$ dan $latex y_2=ax+d$. gambar $latex y_2$ sama dengan $latex y_1$, hanya saja mengalami penggeseran ke atas atau ke bawah sebesar $latex d-c$. sehingga dari gambar di atas diperoleh panjang CA yaitu $latex \mid d-c \mid$.

 

Sekarang untuk kemiringan suatu grafik. Besarnya sudut sebuah garis terhadap garis horizontal dapat dicari dengan menggunakan tangent. Sehingga, besarnya sudut yang dibentuk (dalam gambar di atas adalah t derajat) dapat dicari menggunakan arc tangent dari gradient.

Setelah ditemukan nilai dari t derajat. Kita bisa mencari jarak dua buah garis yang sejajar tersebut atau di dalam gambar adalah panjang BA atau d, dengan menggunakan cosines. Ingat kembali bahwa cosines adalah sama dengan samping dibagi miring pada segitiga siku-siku.

 

Sehingga,

 

$latex cos \, t= \frac{BA}{ \mid d-c \mid}$

 

$latex BA= \mid d-c \mid . cos \, t$

 

Jadi, jarak dua buah garis yang sejajar dapat dicari dengan menggunakan cosines sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan garis horizontal dikalikan dengan mutlak dari selisih koefisien tunggal dari kedua persamaan garis yang dimaksudkan.

 

Atau bisa juga dituliskan dalam bentuk

 

$latex BA= \mid d-c \mid \times cos \, (arc \, tan \, m)$ ,  dengan m adalah gradient dari garis.

 

Contoh : Carilah jarak dari titik $latex (0,5)$ ke sebuah garis $latex y=x+9$

 

Solusi :

 

Kita buat garis yang melewati titik $latex (0,5)$ dan sejajar dengan garis y.

 

$latex (y-y_1)=m(x-x_1)$

$latex (y-5)=m(x-0)$

 

Karena $latex m=1$, maka diperoleh persamaan garisnya yaitu

 

$latex y=x+5$

 

Kita dapat menggunakan rumus yang kita punya untuk menemukan jarak yang dimaksudkan. Jarak kedua garis kita misalkan d.

 

$latex d=(9-5).cos \, (arc \, tan \, 1)$

$latex d=4.cos \, 45$

$latex d=4 \times \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$latex d=2 \sqrt{2}$

 

Selesai

 

Silahkan dicheck dengan menggunakan rumus yang biasanya.

 

 

Share this post