Bukti bahwa akar dua adalah bilangan irasional

 

Akar dua merupakan bilangan irasional. Kita akan menunjukkan dengan menggunakan kontradiksi. Bahwa akar dua irasional.

Untuk menunjukkan dengan kontradiksi maka kita asumsikan bahwa

 

Pernyataan $latex r^2=2$

 

Pernyataan kesimpulan salah, yang benar r bilangan rasional

 

Oleh karena itu, berdasarkan asumsi bahwa r adalah bilangan rasional. Maka r dapat dituliskan menjadi bentuk $latex r= \frac{p}{q}$ dengan p dan q merupakan bilangan bulat yang pembagi bersama terbesar adalah 1. Serta memenuhi

 

$latex ( \frac{p}{q})^2=2$

$latex p^2=2q^2$

 

karena ruas kanan merupakan bilangan genap. Maka ruas kiri juga merupakan bilangan genap. Dengan demikian p juga merupakan bilangan genap.

 

Tuliskan $latex p=2k$ dengan k adalah suatu bilangan bulat yang lain.

Maka diperoleh

 

$latex (2k)^2=2q^2$

$latex 2k^2=q^2$

 

Akibatnya ruas kanan juga merupakan bilangan genap. Maka q juga genap.

 

Kesimpulannya p dan q merupakan bilangan genap.

Hal ini kontradiksi dengan anggapan bahwa pembagi bersama terbesar dari p dan q adalah 1.

Ini membuktikan bahwa akar 2 merupakan bilangan irasional.

 

Bukti akar 2 adalah bilangan irasional sudah terbukti.

Semoga bermanfaat.

 

Share this post