Selalu membentuk bilangan kuadrat (barisan aritmetika)

 

Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya selalu membentuk bilangan kuadrat.

Misalnya saja barisan aritmatikanya adalah $latex 1,2,3,4,5,6,7,8,9, \dots$. beda dari barisan tersebut adalah 1. Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya. Misalnya kita ambil 4 bilangan di awal barisan aritmatika tersebut. yaitu 1, 2, 3, 4. Jika kita kalikan hasilnya adalah 24. Kemudian ditambahkan dengan bedanya yang dipangkatkan 4. Secara matematis dapat ditulis

 

$latex (1 \times 2 \times 3 \times 4) + 1^4= 24 + 1 = 25$

 

Bilangan 25 adalah bilangan kuadrat sempurna, karena 25 adalah sama dengan $latex 5^2$

 

Dengan bilangan yang lain. Misalnya kita ambil 4 bilangan yang ada di bagian belakang barisan tersebut, yaitu  6, 7, 8 dan 9.

 

$latex (6 \times 7 \times 8 \times 9) + 1^4 = 3024 + 1 = 3025$

 

3025 merupakan bilangan kuadrat sempurna karena 3025 sama dengan $latex 55^2$

 

Contoh lain untuk barisan aritmetika yang lebih rumit. Barisan aritmetikanya adalah $latex 2,6,10,14, \dots$. beda barisannya adalah 4.

 

$latex (2 \times 6 \times 10 \times 14) + 4^2 = 1680 + 256 = 1936$

 

1936 merupakan bilangan kuadrat sempurna karena 1936 sama dengan $latex 44^2$

 

 

Mengapa terjadi seperti ini?

 

Mengapa bisa terjadi bahwa hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya selalu membentuk bilangan kuadrat. Apa ini berlaku untuk semuanya. Haruslah kita menunjukkan bahwa ini berlaku untuk semuanya. Jadi kita harus menggunakan bilangan-bilangan secara umum.

Misalnya beda dari barisan aritmetika adalah b. kita dapat menuliskan barisan aritmetika tersebut menjadi

 

$latex a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), \dots$

 

kemudian kita lakukan yang diminta. Yaitu Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya

 

$latex (a \times (a + b) \times (a + 2b) \times (a + 3b)) + b^4$

$latex = (a^2 + ab)(a^2 + 5ab + 6b^2) + b^4$

$latex = (a^4 + 5a^3b + 6a^2b^2 + a^3b + 5a^2b^2 + 6b^3a) + b^4$

$latex = a^4 + 6a^3b + 11a^2b^2 + 6b^3a + b^4$

$latex = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 6a^3b + 9a^2b^2 + 6b^3a$

$latex = (a^2 + b^2)^2 + 6ab(a^2 + b^2) + 9a^2b^2$

$latex = (a^2 + b^2)^2 + 2.(3ab)(a^2 + b^2) + (3ab)^2$

$latex = [(a^2 + b^2) + 3ab]^2$

 

Bentuk terakhir merupakan bilangan kuadrat.

 

Dapat dikatakan bahwa Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya adalah sama dengan $latex = [(a^2 + b^2) + 3ab]^2$

jika a adalah bilangan awalnya dan b adalah bedanya.

 

 

Perhatikan contoh pertama

 

barisan aritmatikanya adalah $latex 1,2,3,4,5,6,7,8,9, \dots$ . beda dari barisan tersebut adalah 1. Hasil kali empat bilangan yang membentuk barisan aritmatika ditambah dengan pangkat empat dari bedanya. Misalnya kita ambil 4 bilangan di awal barisan aritmatika tersebut. yaitu 1, 2, 3, 4. Jika kita kalikan hasilnya adalah 24. Kemudian ditambahkan dengan bedanya yang dipangkatkan 4. Secara matematis dapat ditulis

 

$latex (1 \times 2 \times 3 \times 4) + 1^4= 24 + 1 = 25$

 

1, 2, 3, 4 dan bedanya 1. Artinya $latex a = 1$ dan $latex b = 1$. Maka. Dengan menggunakan yang sudah kita dapatkan yaitu

 

$latex [(a^2 + b^2) + 3ab]^2 = [(1^2 + 1^2) + 3.1.1]^2$

$latex = [2 + 3]^2$

$latex = 25$

 

 

Semoga bermanfaat.

 

 

Share this post