Deret yang aneh
Kita sudah mengenal mengenai deret suatu bilangan. Ada deret konvergen dan deret divergen.
Coba perhatikan beberapa hal berikut ini :
Misalkan M = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
M = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...
M = 0 + 0 + 0 + ...
M = 0
Dengan pengelompokan yang berbeda. Kita mendapatkan sesuatu yang berbeda pula
M = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
M = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) – ...
M = 1 – 0 – 0 – 0 – ...
M = 1
Jadi apakah bisa dikatakan bahwa 1 = 0?
Coba kita perhatikan kasus yang lain seperti yang di bawah ini
Misalkan N = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ...1)
Jika dikalikan dengan 2, maka menjadi 2N = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ...2)
Bentuk yang pertama, bisa kita tuliskan menjadi
N – 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ...3
Dari 2) dan 3) bisa kita substitusikan dan didapatkan 2N = N – 1
2N – N = – 1
N = – 1
???????????
Bagaimana bisa. N adalah jumlah bilangan positif. Sedangkan hasil akhir yang kita dapatkan adalah -1. yang merupakan bilangan negatif. Pastinya ada suatu langkah yang menyalahi aturan matematika.
Sekarang coba perhatikan kasus berikut ini :
P = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Jika kedua ruas dikalikan 2, didapatkan
2P = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Jika kita substitusikan, kita dapatkan 2P = 2 + P. Dan akhirnya kita peroleh P = 2.
Sedikit dapat kita terima bahwa penjumlahan 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2. Karena bilangan yang kita jumlahkan semakin kecil mendekati 0. Inilah yang disebut dengan deret konvergen. Hanya pada deret konvergen saja kita bisa menjumlahkan seperti itu. Mengapa?
Karena pada deret konvergen, bilangan yang kita jumlahkan semakin lama akan semakin kecil mendekati 0. Jadi jumlah bilangan yang kita dapatkan juga pasti akan mendekati suatu bilangan tertentu.
Berbeda dengan kasus pertama dan kedua. yang berakibat 1 = 0. Dan juga berakibat 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... = -1. Deret tersebut adalah deret yang tidak konvergen. Untuk kasus pertama, kita tidak akan pernah bisa mengetahui bahwa akhr dari deret tersebut berhenti pada 1 atau berhenti pada -1. Sehingga kita tidak bisa mengelompokkan menjadi seperti itu.
Untuk kasus kedua, ini juga bukan merupakan deret konvergen. Karena bilangan yang kita jumlahkan semakin lama semakin besar. Bilangan yang kita jumlahkan semakin besar sampai pada tak terhingga. Jadi, kita tidak bisa menuliskannya dalam bentuk yang seperti itu. Deret tersebut tidak bisa dikerjakan.
Jadi, hanya pada deret konvergen saja kita bisa melakukan hal seperti contoh yang ketiga (contoh yang terakhir).
Coba perhatikan beberapa hal berikut ini :
Misalkan M = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
M = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...
M = 0 + 0 + 0 + ...
M = 0
Dengan pengelompokan yang berbeda. Kita mendapatkan sesuatu yang berbeda pula
M = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
M = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) – ...
M = 1 – 0 – 0 – 0 – ...
M = 1
Jadi apakah bisa dikatakan bahwa 1 = 0?
Coba kita perhatikan kasus yang lain seperti yang di bawah ini
Misalkan N = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ...1)
Jika dikalikan dengan 2, maka menjadi 2N = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ...2)
Bentuk yang pertama, bisa kita tuliskan menjadi
N – 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ...3
Dari 2) dan 3) bisa kita substitusikan dan didapatkan 2N = N – 1
2N – N = – 1
N = – 1
???????????
Bagaimana bisa. N adalah jumlah bilangan positif. Sedangkan hasil akhir yang kita dapatkan adalah -1. yang merupakan bilangan negatif. Pastinya ada suatu langkah yang menyalahi aturan matematika.
Sekarang coba perhatikan kasus berikut ini :
P = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Jika kedua ruas dikalikan 2, didapatkan
2P = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Jika kita substitusikan, kita dapatkan 2P = 2 + P. Dan akhirnya kita peroleh P = 2.
Sedikit dapat kita terima bahwa penjumlahan 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2. Karena bilangan yang kita jumlahkan semakin kecil mendekati 0. Inilah yang disebut dengan deret konvergen. Hanya pada deret konvergen saja kita bisa menjumlahkan seperti itu. Mengapa?
Karena pada deret konvergen, bilangan yang kita jumlahkan semakin lama akan semakin kecil mendekati 0. Jadi jumlah bilangan yang kita dapatkan juga pasti akan mendekati suatu bilangan tertentu.
Berbeda dengan kasus pertama dan kedua. yang berakibat 1 = 0. Dan juga berakibat 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... = -1. Deret tersebut adalah deret yang tidak konvergen. Untuk kasus pertama, kita tidak akan pernah bisa mengetahui bahwa akhr dari deret tersebut berhenti pada 1 atau berhenti pada -1. Sehingga kita tidak bisa mengelompokkan menjadi seperti itu.
Untuk kasus kedua, ini juga bukan merupakan deret konvergen. Karena bilangan yang kita jumlahkan semakin lama semakin besar. Bilangan yang kita jumlahkan semakin besar sampai pada tak terhingga. Jadi, kita tidak bisa menuliskannya dalam bentuk yang seperti itu. Deret tersebut tidak bisa dikerjakan.
Jadi, hanya pada deret konvergen saja kita bisa melakukan hal seperti contoh yang ketiga (contoh yang terakhir).
0 Response to "Deret yang aneh"
Posting Komentar
Harap komentar yang bijak!!!