Hubungan panjang garis, fungsi linear dan koordinat
Selama ini yang kita ketahui adalah mengenai jarak dua titik jika diketahui koordinat kedua titik tersebut. Dengan kata lain, mencari panjang garisnya. Rumus yang sejak SMA sudah kita kenal yaitu
$latex d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 $
Sekarang, akan dibuat perumumannya mengenai panjang garis, koordinat-koordinatnya dan tentunya suatu fungsi linearnya. Jika panjang garisnya diketahui, fungsi linearnya diketahui dan salah satu koordinatnya diketahui. Bagaimana kita menentukan koordinat titik yang lain sehingga memenuhi jarak yang dimaksudkan?
Bisa juga timbul masalah baru. Jika yang diketahui hanyalah fungsi linearnya saja dan jarak kedua titiknya, bagaimana kita mencari koordinat kedua titik tersebut yang mungkin?
$latex (a,b)$ adalah koordinat titik pertama, $latex (p,q)$ adalah koordinat titik kedua, $latex d$ adalah panjang garis (jarak kedua titik tersebut) dan $latex y=mx+c$ adalah persamaan garisnya.
Hubungan antara $latex a$ dan $latex b$ bisa ditemukan karena titik tersebut pada garis $latex y=mx+c$. Kita substitusikan titik tersebut ke dalam persamaan garisnya
$latex y=mx+c$
$latex b=ma+c$
begitu juga untuk hubungan antara $latex p$ dan $latex q$
$latex q=mp+c$
koordinat $latex (a,b)$ sekarang bisa dituliskan menjadi $latex (a,ma+c)$. Koordinat $latex (p,q)$ bisa dituliskan menjadi $latex (p,mp+c)$.
Dengan menggunakan rumus $latex d$ (jarak dua titik) yang sudah ada di awal tadi, kita dapatkan
$latex \begin{array}{rcl} d^2 & = & (a-p)^2+((ma+c)-(mp+c))^2 \\ d^2 & = & (a-p)^2+(ma-mp)^2 \\ d^2 & = & (a-p)^2+(m(a-p))^2 \\ d^2 & = & (a-p)^2+m^2(a-p))^2 \\ d^2 & = & (1+m^2)(a-p)^2 \\ (a-p)^2 & = & \frac{d^2}{1+m^2} \\ a-p & = & \sqrt{\frac{d^2}{1+m^2}} \\ a & = & p+ \frac{d}{ \sqrt{1+m^2}} \end{array}&s=2$
Dengan mensubstitusikan $latex a$ tersebut ke persamaan garis pada awal tadi, didapatkan koordinat titik $latex (a,b)$
$latex a = p + \frac{d}{ \sqrt{1+m^2}}&s=2$
$latex b = mp + \frac{dm}{ \sqrt{1+m^2}} + c&s=2$
koordinat titik $latex (a,b)$ pun didapatkan, setelah kita menentukan sebarang koordinat pada garis tersebut (yang memenuhi persamaan garis), yaitu koordinat $latex (p,q)$ kita bisa menentukan dengan menggunakan rumus terakhir untuk menentukan koordinat $latex (a,b)$. Sehingga, kedua koordinat titik-titik yang dicari pun didapatkan
Bagaimana jika yang diketahui hanyalah kemiringan garisnya?
Gunakan nilai $latex tan \alpha$ (jika besar sudutnya $latex \alpha^\circ$) sebagai $latex m$ (kemiringan garis). Rumus ini adalah rumus yang sudah umum di SMA.
Semoga tulisan ini bermanfaat.
$latex d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 $
Sekarang, akan dibuat perumumannya mengenai panjang garis, koordinat-koordinatnya dan tentunya suatu fungsi linearnya. Jika panjang garisnya diketahui, fungsi linearnya diketahui dan salah satu koordinatnya diketahui. Bagaimana kita menentukan koordinat titik yang lain sehingga memenuhi jarak yang dimaksudkan?
Bisa juga timbul masalah baru. Jika yang diketahui hanyalah fungsi linearnya saja dan jarak kedua titiknya, bagaimana kita mencari koordinat kedua titik tersebut yang mungkin?
$latex (a,b)$ adalah koordinat titik pertama, $latex (p,q)$ adalah koordinat titik kedua, $latex d$ adalah panjang garis (jarak kedua titik tersebut) dan $latex y=mx+c$ adalah persamaan garisnya.
Hubungan antara $latex a$ dan $latex b$ bisa ditemukan karena titik tersebut pada garis $latex y=mx+c$. Kita substitusikan titik tersebut ke dalam persamaan garisnya
$latex y=mx+c$
$latex b=ma+c$
begitu juga untuk hubungan antara $latex p$ dan $latex q$
$latex q=mp+c$
koordinat $latex (a,b)$ sekarang bisa dituliskan menjadi $latex (a,ma+c)$. Koordinat $latex (p,q)$ bisa dituliskan menjadi $latex (p,mp+c)$.
Dengan menggunakan rumus $latex d$ (jarak dua titik) yang sudah ada di awal tadi, kita dapatkan
$latex \begin{array}{rcl} d^2 & = & (a-p)^2+((ma+c)-(mp+c))^2 \\ d^2 & = & (a-p)^2+(ma-mp)^2 \\ d^2 & = & (a-p)^2+(m(a-p))^2 \\ d^2 & = & (a-p)^2+m^2(a-p))^2 \\ d^2 & = & (1+m^2)(a-p)^2 \\ (a-p)^2 & = & \frac{d^2}{1+m^2} \\ a-p & = & \sqrt{\frac{d^2}{1+m^2}} \\ a & = & p+ \frac{d}{ \sqrt{1+m^2}} \end{array}&s=2$
Dengan mensubstitusikan $latex a$ tersebut ke persamaan garis pada awal tadi, didapatkan koordinat titik $latex (a,b)$
$latex a = p + \frac{d}{ \sqrt{1+m^2}}&s=2$
$latex b = mp + \frac{dm}{ \sqrt{1+m^2}} + c&s=2$
koordinat titik $latex (a,b)$ pun didapatkan, setelah kita menentukan sebarang koordinat pada garis tersebut (yang memenuhi persamaan garis), yaitu koordinat $latex (p,q)$ kita bisa menentukan dengan menggunakan rumus terakhir untuk menentukan koordinat $latex (a,b)$. Sehingga, kedua koordinat titik-titik yang dicari pun didapatkan
Bagaimana jika yang diketahui hanyalah kemiringan garisnya?
Gunakan nilai $latex tan \alpha$ (jika besar sudutnya $latex \alpha^\circ$) sebagai $latex m$ (kemiringan garis). Rumus ini adalah rumus yang sudah umum di SMA.
Semoga tulisan ini bermanfaat.
thanks yach>>...
BalasHapusasli..jeniuss..ini yg lagi saya cari, trims ya
BalasHapus[…] Hubungan panjang garis, fungsi linear dan koordinat | Apa hubungannya? cek this post. Nanti ada hubungannya dengan rumus jarak dua titik. […]
BalasHapus