Jumlah kuadrat bilangan berurutan

 

Jumlah kuadrat bilangan berurutan, misalnya $latex 3^2+4^2+5^2=50$. Bentuk seperti ini yang akan dibahas ditulisan ini. Di dalam soal-soal matematika atau kalimat-kalimat matematika, kita perlu hati-hati dengan perbedaan antara “kuadrat jumlah” dan “jumlah kuadrat”. Kalau kuadrat jumlah artinya, Kuadrat dari jumlah beberapa bilangan. Misalnya $latex (1+2+3+4+5)^2$. Sedangkan untuk jumlah kuadrat artinya jumlah dari beberapa bilangan kuadrat. misalnya, $latex 3^2+4^2+5^2$. Perbedaan ini sangat penting untuk memahami matematika.

 

Jumlah kuadrat bilangan berurutan (bilangan asli) akan diberikan menjadi beberapa sub bab, seperti berikut :



 

Jumlah kuadratnya membentuk palindrom

 

Ini sudah dituliskan pada tulisan sebelumnya. Jumlah kuadrat bilangan tersebut yang hasilnya membentuk suatu bilangan palindrom. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut :

 

$latex 55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$

$latex 77=4^2+5^2+6^2$

$latex 181=9^2+10^2$

$latex 434=11^2+12^2+13^2$

$latex 1111=11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2$

$latex 1441=6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2$

 

Bentuk tersebut masih banyak lagi macam-macamnya, kita hanya menuliskan sebagian kecilnya saja. tidak ada cara yang pasti untuk mencarinya. Satu-satunya cara yang paling ampuh adalah membuat programnya. Hehe.

 

 

Akar pangkat dua dari hasil jumlah kuadratnya adalah berupa bilangan bulat

 

Ini juga menarik, Akar pangkat dua nya merupakan bilangan bulat. Menarik bagi kami untuk dicari. Berawal dari tripel pythagoras primitif  (3,4 dan 5). Karena $latex \sqrt{3^2+4^2}=5$ atau di dalam penulisan lainnya yaitu $latex 3^2+4^2=5^2$. Akhirnya kami memutuskan untuk mencari bilangan-bilangan seperti itu (jumlah kuadrat bilangan berurutan) yang hasilnya berupa bilangan kuadrat.

Tidak lama kami menemukan bilangan 841, yang merupakan bilangan kuadrat karena sama dengan  $latex 29^2$. Dan 841 juga bisa dituliskan menjadi jumlah kuadrat bilangan berurutan, yaitu

 

$latex 841=20^2+21^2$  atau  $latex 29= \sqrt{20^2+21^2}$

 

Bilangan selanjutnya yaitu 28561, yang juga merupakan bilangan kuadrat karena sama dengan $latex 169^2$. Sama dengan $latex 28561=119^2+120^2$. Bisa dituliskan $latex 28561=119^2+120^2$  atau  $latex 169= \sqrt{119^2+120^2}$.

 

Bilangan selanjutnya adalah 5929, merupakan bilangan kuadrat karena sama dengan $latex 77^2$, bisa dituliskan sebagai berikut :

 

$latex 77= \sqrt{18^2+19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2+25^2+26^2+27^2+28^2}$

 

Dan bilangan terakhir yang kami temukan adalah 20449 yang merupakan bilangan kuadrat karena sama dengan $latex 143^2$, bisa dituliskan sebagai berikut :

 

$latex 143= \sqrt{38^2+39^2+40^2+41^2+42^2+43^2+44^2+45^2+46^2+47^2+48^2}$

 

 

Hasilnya selalu habis dibagi 5

 

Hasil dari jumlah kuadrat lima bilangan berurutan selalu habis dibagi 5. Perhatikan saja berikut ini :

 

$latex 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$   habis dibagi 5

$latex 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=90$   habis dibagi 5

$latex 3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=135$   habis dibagi 5

$latex 4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=190$   habis dibagi 5

 

…

 

Selalu habis dibagi 5. Apakah ini berlaku untuk semuanya? Mari kita lihat secara umum!

Secara umum, bilangan berurutan bisa kita tuliskan menjadi $latex (a-2),(a-1),a,(a+1),(a+2)$. Jadi bisa kita tuliskan

 

$latex (a-2)^2+(a-1)^2+a^2+(a+1)^2+(a+2)^2$

$latex =a^2-4a+4+a^2-2a+1+a^2+a^2+2a+1+a^2+4a+4$

$latex =5a^2+10$

 

Bentuk terakhir sudah sangat jelas pasti habis dibagi 5. Jadi, pasti berlaku untuk 5 bilangan berurutan yang lainnya. Silahkan dicoba.

Bahkan ini juga pasti berlaku untuk 10 bilangan berurutan atau 15 bilangan berurutan, 20 bilangan berurutan dan seterusnya. Jika kalian masih kurang yakin, silahkan dibuat perumumannya.

 

 

Jumlah yang sama, bentuk yang berbeda

 

Inilah yang menarik perhatian kami. Ada tidak ya yang mempunyai jumlah yang sama?

Kami mencari dan terus mencari, akhirnya kami temukan bilangan yang hasilnya sama. bilangan itu adalah 1730. Jika kita tuliskan, seperti berikut :

 

$latex 23^2+24^2+25^2=1730=6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2$

 

Selain itu ada juga yang sama dengan 3740, yang sama dengan seperti berikut :

 

$latex 6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+19^2+20^2+21^2+22^2$

$latex =18^2+19^2+20^2+21^2+22^2+23^2+24^2+25^2$

 

 

 

 

 

 

Share this post