Teknik mengerjakan soal yang mengandung beberapa angka berulang

 

Berapakah bentuk sederhana dari

 

$latex \frac{199...99}{99...995}&s=3$

 


Dengan banyaknya angka 9 pada pembilangan adalah sama dengan banyaknya angka 9 pada penyebut yaitu sebanyak 2011.

Tentunya setiap orang bisa menggunakan cara yang berbeda.




Teknik I

Kita bisa menggunakan sedikit trik. Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi bentuk




$latex \frac{2 \times 10^{2011}-1}{10 \times 10^{2011}-5}&s=1$




Dan tentu saja, dengan mengeluarkan 5 pada penyebut, maka diperoleh :




$latex \frac{2 \times 10^{2011}-1}{5(2 \times 10^{2011}-1)}&s=1$




$latex = \frac{1}{5}&s=1$







Teknik II

Ini adalah teknik umum dan akan sering kita gunakan untuk pembuktian yang menyangkut suatu bilangan dengan angka yang berulang adalah sama. Seperti contoh tersebut.




$latex \frac{199...99}{99...995}&s=1$




Bentuk tersebut bisa kita tuliskan menjadi bentuk




$latex \frac{10^{2011}+9(11...11)}{90(11...11)+5}&s=1$




Banyaknya angka 1 berulang adalah sebanyak 2011

Sekarang kita perhatikan angka 1 berulang yang ada di dalam kurung. Bentuk tersebut sama dengan




$latex \frac{10^{2011}-1}{9}$




Konsepnya sebenarnya ada pada deret geometri. Berikut :




$latex 11...11=10^{2010}+10^{2009}+...+10+1$




Deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 10. Ingat jumlah deret geometri, menggunakan rumus $latex S_n$ untuk deret geometri, sehingga diperoleh bentuk tersebut sama dengan




$latex 11...11= \frac{10^{2011}-1}{9}$




Perhatikan bentuk yang kita peroleh tadi di awal




$latex \frac{10^{2011}+9(11...11)}{90(11...11)+5}&s=1$




$latex \frac{10^{2011}+9( \frac{10^{2011}-1}{9})}{90( \frac{10^{2011}-1}{9})+5}&s=2$




$latex \frac{2 \times 10^{2011}-1}{10 \times 10^{2011}-5}&s=1$




Dan tentu saja, dengan mengeluarkan 5 pada penyebut, maka diperoleh :




$latex \frac{2 \times 10^{2011}-1}{5(2 \times 10^{2011}-1)}&s=1$




$latex = \frac{1}{5}&s=1$







Teknik kedua ini akan sering kita gunakan dalam penyelesaian-penyelesaian mengenai bentuk-bentuk seperti ini.




Sebagai latihan, carilah bentuk sederhana dari :




$latex \frac{177...77}{88...885}&s=1$




$latex \frac{155...55}{77...775}&s=1$




$latex \frac{133...33}{66...665}&s=1$




$latex \frac{499...99}{99...998}&s=1$




$latex \frac{166...66}{66...664}&s=1$







Carilah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $latex \sqrt{44...44}$

dengan angka 4 sebanyak 2012




Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

Share this post