11...1, 99...9 dan 100...01

   

Bangun tidur.. Otak-atik angka.. Setelah posting tentang 15873 di grup Facebook Sisi Lain Matematika, eh.. lha kok penasaran dengan bilangan 1111...11 (angka 1 berulang). Akhirnya, otak-atik program dan mencoba mencari beberapa hal yang ada hubungannya dengan 111...11. Dan juga kami tambah dengan bilangan 999...99 dan 1000...01 (angka 0 berulang)




Sebelum ke hasil pencarian, kita singgung kembali mengenai 15873. Ada apa dengan bilangan itu? Apa sih yang dipostingkan Asimtot dengan bilangan itu?

Asimtot menuliskan seperti ini :




“15873

Kalikan bilangan tersebut dengan bilangan asli kelipatan 7. Tapi jangan besar-besar. Maksimal 100 saja.

Lihat hasilnya”




Apa maksudnya?... maksudnya seperti ini :




15873*7=111111

15873*14=222222

15873*21=333333

15873*28=444444

15873*35=555555

15873*42=666666

15873*49=777777

15873*56=888888

15873*63=999999




Memang hasilnya unik. Tapi sebenarnya pembaca sedikit dibohongi.. hehe.. peace.




Sekilas terlihat bahwa bilangan 15873 seperti sangat menarik. Istimewa atau yang lain. Padahal sebenarnya ya biasa saja. Kebetulan saja bilangan 15873 adalah faktor dari 111111.

Kita disuruh mengalikan dengan bilangan kelipatan 7. Mengapa sih kok kelipatan 7?




Karena seperti ini :

15873 jika kita kalikan dengan kelipatan 7, misalkan saja 7k, maka hasilnya adalah sebagai berikut :

$latex 15873 \times 7k=111111k$

Tentu saja k di sini adalah bilangan asli. Maka, hasilnya pun, adalah bilangan dengan angka-angka yang kembar/sama.




15873*7*1=111111

15873*7*2=111111*2=222222

15873*7*3=111111*3=333333

15873*7*4=111111*4=444444




Bagaimana? 15873 aja kebetulan merupakan faktor dari 111111

Kalau kita mau menggunakan 8547 juga bisa.. tetapi dikalikan dengan kelipatan 13. Atau menggunakan 5291 dikalikan dengan kelipatan 21. Dan faktor-faktor dari 111111 yang lain.




Bisa juga pembaca kembangkan untuk bilangan yang lain, misalnya 1111111111 atau 9999999999 atau 10000001 dan lain sebagainya.




Oleh karena itu, Asimtot berikan data-data hasil pencarian, yaitu faktor-faktor dari bilangan-bilangan yang sepertinya menarik, sebagai berikut : .. :




Faktor-faktor dari beberapa bilangan :




111 : 1, 3, 37, 111




1111 : 1, 11, 101, 1111




11111 : 1, 41, 271, 11111




111111 : 1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111, 143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1001, 1221, 1443, 2849, 3003, 3367, 5291, 8547, 10101, 15873, 37037, 111111




1111111 : 1, 239, 4649, 1111111




11111111 : 1, 11, 73, 101, 137, 803, 1111, 1507, 7373, 10001, 13837, 81103, 110011, 152207, 1010101, 11111111




111111111 : 1, 3, 9, 37, 111, 333, 333667, 1001001, 3003003, 12345679, 37037037, 111111111




1111111111 : 1, 11, 41, 271, 451, 2981, 9091, 11111, 100001, 122221, 372731, 2463661, 4100041, 27100271, 101010101, 1111111111










999 : 1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999




9999 : 1, 3, 9, 11, 33, 99, 101, 303, 909, 1111, 3333, 9999




99999 : 1, 3, 9, 41, 123, 271, 369, 813, 2439, 11111, 33333, 99999




999999 : 1, 3, 7, 9, 11, 13, 21, 27, 33, 37, 39, 63, 77, 91, 99, 111, 117, 143, 189, 231, 259, 273, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 693, 777, 819, 999, 1001, 1221, 1287, 1443, 2079, 2331, 2457, 2849, 3003, 3367, 3663, 3861, 4329, 5291, 6993, 8547, 9009, 10101, 10989, 12987, 15873, 25641, 27027, 30303, 37037, 47619, 76923, 90909, 111111, 142857, 333333, 999999




9999999 : 1, 3, 9, 239, 717, 2151, 4649, 13947, 41841, 1111111, 3333333, 9999999




99999999 : 1, 3, 9, 11, 33, 73, 99, 101, 137, 219, 303, 411, 657, 803, 909, 1111, 1233, 1507, 2409, 3333, 4521, 7227, 7373, 9999, 10001, 13563, 13837, 22119, 30003, 41511, 66357, 81103, 90009, 110011, 124533, 152207, 243309, 330033, 456621, 729927, 990099, 1010101, 1369863, 3030303, 9090909, 11111111, 33333333, 99999999




999999999 : 1, 3, 9, 27, 37, 81, 111, 333, 999, 2997, 333667, 1001001, 3003003, 9009009, 12345679, 27027027, 37037037, 111111111, 333333333, 999999999










1001 : 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001




10001 : 1, 73, 137, 10001




100001 : 1, 11, 9091, 100001




1000001 : 1, 101, 9901, 1000001




10000001 : 1, 11, 909091, 10000001




100000001 : 1, 17, 5882353, 100000001




1000000001 : 1, 7, 11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 209, 247, 1001, 1463, 1729, 2717, 19019, 52579, 368053, 578369, 683527, 999001, 4048583, 4784689, 6993007, 7518797, 10989011, 12987013, 52631579, 76923077, 90909091, 142857143, 1000000001










123 : 1, 3, 41, 123




1234 : 1, 2, 617, 1234




12345 : 1, 3, 5, 15, 823, 2469, 4115, 12345




123456 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192, 643, 1286, 1929, 2572, 3858, 5144, 7716, 10288, 15432, 20576, 30864, 41152, 61728, 123456




1234567 : 1, 127, 9721, 1234567




12345678 : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 47, 94, 141, 282, 423, 846, 14593, 29186, 43779, 87558, 131337, 262674, 685871, 1371742, 2057613, 4115226, 6172839, 12345678




123456789 : 1, 3, 9, 3607, 3803, 10821, 11409, 32463, 34227, 13717421, 41152263, 123456789










98 : 1, 2, 7, 14, 49, 98




987 : 1, 3, 7, 21, 47, 141, 329, 987




9876 : 1, 2, 3, 4, 6, 12, 823, 1646, 2469, 3292, 4938, 9876




98765 : 1, 5, 19753, 98765




987654 : 1, 2, 3, 6, 97, 194, 291, 582, 1697, 3394, 5091, 10182, 164609, 329218, 493827, 987654




9876543 : 1, 3, 227, 681, 14503, 43509, 3292181, 9876543




98765432 : 1, 2, 4, 8, 37, 74, 148, 296, 333667, 667334, 1334668, 2669336, 12345679, 24691358, 49382716, 98765432




987654321 : 1, 3, 9, 17, 51, 153, 289, 867, 2601, 379721, 1139163, 3417489, 6455257, 19365771, 58097313, 109739369, 329218107, 987654321




Lumayan kan.. Banyak?

Apa yang sedikit asimtot temukan di sini? Beberapa yang menarik adalah sebagai berikut :




*12345679 adalah faktor dari 98765432

12345679 juga merupakan faktor dari 111111111 dan juga 999999999

*9999 adalah bilangan palindrom yang faktor-faktornya juga merupakan bilangan palindrom.

yaitu : 1, 3, 9, 11, 33, 99, 101, 303, 909, 1111, 3333, 9999

Meskipun ini bukan salah satunya bilangan. Banyak juga bilangan yang seperti ini, misalnya 22, 44, 88, 101 dan juga masih banyak yang lain.

*11 adalah faktor dari 1111, 111 adalah faktor dari 111111, 1111 adalah faktor dari 11111111, dan seterusnya. Ini bisa dibuktikan. Kapan-kapan saja kalau sempat dibuktikan dan dibahas lebih dalam.

*... (di tambah ya, di komentar)




Sekian dulu untuk hari ini. Sampai jumpa nanti. . Salam Asimtot

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

 

Share this post