Soal dan Solusi #1

Diambil dari grup facebook soul-mate-matika, ketika dulu saya jadi adminnya bro. :p Kemudian saya buatkan arsipnya di blog soul-mate-matika yang saya buat juga. https://soulmatematika.wordpress.com/category/soul-mate-matika/
Sekarang saya posting ulang di blog ini supaya jadi satu kesatuan, yaitu asimtot, membahas masalah matematika. :p

Pertanyaan 1
Hilmy Adam Jieta Pradana
Didefinisikan $[x]$ sebagai bilangan integer, yaitu bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan $x$ .
Jika $A = [ \sqrt{1}] + [ \sqrt{2}] + [ \sqrt{3}] + \cdots + [ \sqrt{2004}]$ , maka hitunglah nilai $A$

Jawaban 1

Axel D’myx ‎
$A=1+1+1+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+ \cdots +44+44+44$
lihat polanya aja.
1 sebanyak 3 kali.
2 sebanyak 5 kali.
3 sebanyak 7 kali.
tapi 44 sebanyak 69 kali.
jumlahkan!
$(1 \times 3) + (2 \times 5) + (3 \times 7) + \cdots + (43 \times 87) + (44 \times 69)$
$3 + 10 + 21 + \cdots + 3741 + 3036$
Barisan untuk $3,10,21, \cdots ,3741$ rumusnya adalah $2n^2 + n$
$2(1)^2 + 1$
$2(2)^2 + 2$
$2(3)^2 + 3$
…
$2(43)^2 + 43$
jumlahkan semuanya
$2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots +43^2) + (1+2+3+ \cdots+43)$
$2(27434) + 946 = 55814$
jangan lupa yg 3036. jumlahkan lagi. $55814 + 3036 = 58850$
jawabanny 58850

Pertanyaan 2
Hilmy Adam Jieta Pradana
Hitunglah nilai dari
$S = \sqrt{1+ \dfrac{1}{1^2}+ \dfrac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+ \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}}+ \cdots+ \sqrt{1+ \dfrac{1}{2004^2}+ \dfrac{1}{2005^2}}$

Jawaban 2
Axel D’myx ‎
Hitunglah nilai dari
$S = \sqrt{1+ \dfrac{1}{1^2}+ \dfrac{1}{2^2}}+ \sqrt{1+ \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}}+ \cdots + \sqrt{1+ \dfrac{1}{2004^2}+ \dfrac{1}{2005^2}}$
$\sqrt{1+ \dfrac{1}{n^2}+ \dfrac{1}{(n+1)^2}}$
kita selesaikan yg dalam akarnya…
$1+ \dfrac{1}{n^2}+ \dfrac{1}{(n+1)^2}=1+( \dfrac{1}{n})^2+( \dfrac{1}{(n+1)})^2$
Samakan penyebut!
$\dfrac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)^2]}$
setelah dihitung2, didapat
$\dfrac{ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1}{[n(n+1)]^2}$
$= \dfrac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}$
karena ada akar kuadratnya, maka hasil dari $\sqrt{1+ \dfrac{1}{n^2}+ \dfrac{1} {(n+1)^2}}$ adalah $\dfrac{(n^2+n+1)}{[n(n+1)]}$
jadi penjumlahan yang harus dicari itu adalah :
$\dfrac{(n^2+n+1)^2}{[n(n+1)]^2}$ dapat diubah menjadi $1+ \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1}$
berarti barisannya menjadi :
$1+ \dfrac{1}{1}- \dfrac{1}{2}$
$1+ \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}$
$1+ \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}$
$1+ \dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{5}$
…
$1+ \dfrac{1}{2004}- \dfrac{1}{2005}$
Dijumlahkan semuanya. Hasilnya :
$2004 + \dfrac{1}{1}- \dfrac{1}{2005}$
$2005- \dfrac{1}{2005}$
$\dfrac{2005^2-1}{2005}= \dfrac{4020024}{2005}$

Soal dan Solusi #1

0 Response to "Soal dan Solusi #1"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel