Menghitung AKar Tanpa Menggunakan Kalkulator

Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (I)

Papercut Handmade
Sebagai hadiah ulang tahun, hadian pernikahan, dll
Cocok diberikan kepada pasangan, sahabat, anak, atau untuk hiasan rumah.

Contact :
Harga dan Informasi
WA/Line : 085230646886
BBM : 59423DB0

Sebelumnya ada komentar dari pembaca. Bagaimana cara menghitung akar kuadrat / akar pangkat dua? Kalau mengkuadratkan tinggal dikalikan saja kan. Tetapi kebalikannya? Coba perhatikan bagaimana cara menghitung perkalian, pembagian? Jika pembaca sudah terbiasa dengan menghitung pembagian menggunakan cara “porogapit / paragapit”, (istilah yang saya ketahui sejak SD), mungkin nanti pembaca juga bisa dengan mudah mencari nilai akar kuadrat dengan mudah juga. Oke deh, langsung saja kita bahas, bagaimana cara menemukan nilai akar kuadrat dari suatu bilangan.

Lebih tepatnya, untuk postingan kali ini yaitu menghitung akar pangkat dua tanpa menggunakan kalkulator. Meskipun kalkulator adalah alat canggih yang bisa digunakan untuk melakukan perhitungan matematika dengan cepat, tetapi tidak salah (bahkan dianjurkan) untuk menghitung akar tanpa kalkulator.

Sebelumnya, baca juga postingan Menghitung Akar Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Pendekatan.

Menghitung bentuk akar pangkat dua, atau biasa disebut akar kuadrat untuk beberapa bilangan yang kecil biasanya kita hafal, misalnya akar dari 144. Tentu kita yang sudah biasa akan hafal sendiri diluar kepala. Tetapi bagaimana kalau angka itu cukup besar, ratusan, ribuan, bahkan yang koma-koma (irasional).
Berikut akan sedikit dijelaskan bagaimana cara menghitung akar kuadrat tanpa menggunakan kalkulator atau komputer.

Syaratnya cukup mudah. Pembaca harus hafal nilai kuadrat dari 1 sampai 9. Hehehe.. Cukup mudah kok.

Contoh yang pertama yaitu $\sqrt{361}$

Perhatikan gambar, dan perhatikan juga langkah-langkah berikut ini!

1. Tulis bilangan 361 dengan memisahkannya seperti pada gambar
2. Angka 2 kecil berwarna hitam ini paten (tetap), tidak boleh dirubah.
3. Perhatikan angka 3 pada pemenggalan bilangan 361
4. Bilangan bulat positif berapakah yang jika dikuadratkan maka hasilnya mendekati 3 (tidak boleh melebihi). Tentu bilangan yang dimaksud adalah 1. Tulis di atas, berwarna biru (ini adalah hasil sementara)
5. Seperti biasa (seperti pada pembagian), 3 dikurangi 1 sama dengan 2. Kemudian turunkan 61. Menjadi 261
6. 2 warna merah berasal dari perkalian hasil sementara dengan angka 2 kecil berwarna hitam.
7. “duapuluh berapa dikali berapa” yang hasilnya mendekati 261. (“berapa” di sini haruslah sama. harus yang paling mendekati dengan 261. Tidak boleh melebihi) Ini langkah yang bisa digunakan dengan coba-coba.
8. Tentu akhirnya kita dapatkan angka 9 (berwarna biru muda). Karena $29 \times 9=261$
9. Tulis di atas (berwarna biru muda).
10. Karena sudah bersisa 0, maka sudah selesai.
Sehingga hasilnya adalah 19

Mudah bukan!

Pemenggalan bilangan itu harus dua-dua.. dan dipenggal dari belakang..
Misalnya 87645. pemenggalannya yaitu 8|76|45 (Benar)..
Tidak boleh dipenggal menjadi 87|64|5. (Ini salah)
Memenggalnya yaitu sebanyak dua-dua dari belakang. Khusus untuk jumlah digit ganjil yang cukup berbahaya. Karena untuk jumlah digit genap, pemenggalan dari depan dan dari belakang itu sama saja.
Jika ingin memenggal dari depan, hitung dulu jumlah digitnya. Jika jumlah digitnya genap, maka penggal saja dua-dua dari depan.. Jika ternyata jumlah digitnya sebanyak bilangan ganjil. Pemenggalan dari depan boleh dilakukan tetapi harus mengambil satu dulu, baru kemudian dua-dua. (pemenggalan dari depan adalah cara dari Denis Kinta, untuk memudahkan pada soal berikut)
Misalnya kita ingin mencari akar dari 12345678910111213…4950 (Tentu saja tidak mungkin disuruh mencari nilai dari akar ini, karena akan sangat panjang. Biasanya soal seperti ini adalah tentukan 3 angka pertama dari hasil akar tersebut)…

Hitung dulu jumlah digitnya. Karena jumlah digitnya ganjil, maka penggal satu dulu di depan. Sehingga pemenggalannya seperti ini. 1|23|45|67|89|10|11|12|13…

Kita tidak perlu menghitung sampai selesai, sampai ketemu 3 digit pertama sudah selesai…

Contoh lagi yang lebih panjang

Tentukan nilai dari $\sqrt{512656}$

Langkah-langkahnya sebagai berikut :
1. Penggal dulu seperti yang sudah dijelaskan
2. Carilah, berapakah suatu bilangan bulat positif yang jika dikuadratkan hasilnya mendekati 51. Yaitu 7. Karena 7 kuadrat adalah 49. Sedangkan 8 melebihi. Tulis 7 di atas (warna hitam. Ini adalah hasil sementara)
3. Lakukan pengurangan. 51-49=2. Kemudian turunkan 26. Sehingga diperoleh bilanga 226 (warna pink)
4. Selanjutnya tulis 14. Berasal dari hasil sementara dikalikan 2. Hasil sementara kita tadi adalah 7. $7 \times 2=14$
5. “Seratus empat puluh berapa dikali berapa” yang hasilnya mendekati 226. (“berapa” di sini haruslah sama. harus yang paling mendekati dengan 226. Tidak boleh melebihi) Ini langkah yang bisa digunakan dengan coba-coba.
6. Diperoleh angka 1. Karena jika kita mengambil 2, maka $142 \times 2=284$ dan 284 ini melebihi 226. Sehingga yang memenuhi adalah 1. Tulis angka 1 berwarna hijau di atas. (sehingga hasil sementara yang baru adalah 71)
7. Tuliskan hasil dari $141 \times 1$ di bawah 226 yang berwarna pink. Kemudian kurangkan sehingga diperoleh 85. Dan turunkan 56 dari atas. Sehingga diperoleh 8556 (berwarna kuning)
8. Sekarang 142 (berwarna biru tua) berasal dari hasil sementara yang baru dikalikan dengan 2. Yaitu $71 \times 2=142$
9. “Seribu empat ratus dua puluh berapa dikali berapa” yang hasilnya mendekati 8556. (“berapa” di sini haruslah sama. harus yang paling mendekati dengan 8556. Tidak boleh melebihi) Ini langkah yang bisa digunakan dengan coba-coba.
10. Diperoleh yaitu $1426 \times 6$ , hasilnya pas yaitu 8556.
11. Tulis angka 6 di atas.
Dan diperoleh hasil akhir yaitu 716.

Dua contoh sudah kita lalui. Apakah ada pertanyaan?

Saya saja tanya sendiri. Hehehe.. Kok dari tadi hasilnya bagus-bagus (merupakan bilangan bulat)? Apakah tidak bisa digunakan untuk bilangan yang hasilnya desimal (ada koma-komanya)?
Jawab : Bisa. (hehehe.. singkat bener ya jawabannya)

Berikut adalah contoh yang hasilnya berupa bilangan desimal. Untuk langkah-langkahnya diserahkan kepada pembaca. Jika kebingungan silahkan lemparkan di komentar

Hitunglah nilai dari $\sqrt{12345}$

Hasilnya $111,10 \dots$
Ada kelanjutannya, silahkan dicoba ya…

Sebagai latihan, Hitunglah!
$\sqrt{13830961}$ dan carilah 3 angka pertama dari $\sqrt{1234567891011213 \dots 9899100}$

Selamat mencoba…

Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (II)

Iseng-iseng baca bukunya David Darling yang judulnya The Universal Book of Mathematics. Di dalamnya ada subjudul yaitu “Bakhshali manuscript”

Entah itu apa artinya, tetapi ada rumus yang menarik untuk saya pelajari. Akhirnya saya pelajari rumus tersebut dan berikut laporannya :
Hasil dari perhitungan akar kuadrat dengan menggunakan rumus ini sangat mendekati dengan hasil sebenarnya.
Rumusnya adalah sebagai berikut :

$\sqrt{N}= \sqrt{A^2+b} \approx A+ \frac{b}{2A}- \frac{( \frac{b}{2A})^2}{2(A+ \frac{b}{2A})}$

Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah
A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N
Dan b adalah $b=N-A^2$

Misalnya untuk menghitung $\sqrt{13}$ , maka kita pilih $A=3$ sehingga $A^2=9$ sangat mendekati 13. Sehingga, $b=4$ , maka

$\sqrt{13}= \sqrt{3^2+4}=3,606060606...$

Nilai yang sebenarnya adalah $\sqrt{13}=3,605551275...$

Berikut ini adalah beberapa nilai untuk $\sqrt{N}$ sampai dengan $N=99$

$n$	$\sqrt{n}$	Menggunakan Rumus
1	1	1
2	1,414213562	1,416666667
3	1,732050808	1,75
4	2	2
5	2,236067977	2,236111111
6	2,449489743	2,45
7	2,645751311	2,647727273
8	2,828427125	2,833333333
9	3	3
10	3,16227766	3,162280702
11	3,31662479	3,316666667
12	3,464101615	3,464285714
13	3,605551275	3,606060606
14	3,741657387	3,742753623
15	3,872983346	3,875
16	4	4
17	4,123105626	4,123106061
18	4,242640687	4,242647059
19	4,358898944	4,358928571
20	4,472135955	4,472222222
21	4,582575695	4,58277027
22	4,69041576	4,690789474
23	4,795831523	4,796474359
24	4,898979486	4,9
25	5	5
26	5,099019514	5,099019608
27	5,196152423	5,196153846
28	5,291502622	5,291509434
29	5,385164807	5,385185185
30	5,477225575	5,477272727
31	5,567764363	5,567857143
32	5,656854249	5,657017544
33	5,744562647	5,744827586
34	5,830951895	5,831355932
35	5,916079783	5,916666667
36	6	6
37	6,08276253	6,082762557
38	6,164414003	6,164414414
39	6,244997998	6,245
40	6,32455532	6,324561404
41	6,403124237	6,403138528
42	6,480740698	6,480769231
43	6,557438524	6,557489451
44	6,633249581	6,633333333
45	6,708203932	6,708333333
46	6,782329983	6,782520325
47	6,8556546	6,855923695
48	6,92820323	6,928571429
49	7	7
50	7,071067812	7,071067821
51	7,141428429	7,141428571
52	7,211102551	7,211103253
53	7,280109889	7,280112045
54	7,348469228	7,348474341
55	7,416198487	7,416208791
56	7,483314774	7,483333333
57	7,549834435	7,549865229
58	7,615773106	7,615821095
59	7,681145748	7,681216931
60	7,745966692	7,746068152
61	7,810249676	7,81038961
62	7,874007874	7,874195624
63	7,937253933	7,9375
64	8	8
65	8,062257748	8,062257752
66	8,124038405	8,124038462
67	8,185352772	8,185353053
68	8,246211251	8,246212121
69	8,306623863	8,30662594
70	8,366600265	8,366604478
71	8,426149773	8,426157407
72	8,485281374	8,485294118
73	8,544003745	8,544023723
74	8,602325267	8,602355072
75	8,660254038	8,660296763
76	8,717797887	8,717857143
77	8,774964387	8,775044326
78	8,831760866	8,831866197
79	8,888194417	8,88833042
80	8,94427191	8,944444444
81	9	9
82	9,055385138	9,05538514
83	9,110433579	9,110433604
84	9,16515139	9,165151515
85	9,219544457	9,219544846
86	9,273618495	9,273619428
87	9,327379053	9,327380952
88	9,38083152	9,380834977
89	9,433981132	9,433986928
90	9,486832981	9,486842105
91	9,539392014	9,539405685
92	9,591663047	9,591682723
93	9,643650761	9,643678161
94	9,695359715	9,695396825
95	9,746794345	9,746843434
96	9,797958971	9,798022599
97	9,848857802	9,848938826
98	9,899494937	9,899596524
99	9,949874371	9,95

Selisih terbesarnya ada pada $\sqrt{3}$ , yaitu mempunyai selisih 0,017949192
Selisih terbesar kedua ada pada $\sqrt{8}$ , yaitu mempunyai selisih 0,004906209

Jika diperhatikan, dengan menggunakan rumus tersebut. Nilai dari $\sqrt{82}$ mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari $\sqrt{99}$ . Begitu juga untuk $\sqrt{65}$ dengan $\sqrt{80}$ . Begitu juga $\sqrt{50}$ dibandingkan dengan $\sqrt{63}$ .

Jika yang kita hitung adalah yang kurang dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna, maka tingkat ketelitiannya kurang bagus. Berbeda dengan jika yang kita hitung adalah yang lebih besar dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna. Tingkat ketelitiannya sangatlah bagus.

Untuk menyiasati hal ini, kami mencoba untuk mengambil kasus jika nilai $A^2$ melebihi dari nilai N tetapi masih sangat dekat dengan N, tentu nilai b akan negatif.
Beberapa tabelnya untuk N mulai dari 81 sampai 100 adalah sebagai berikut :

$N$	$\sqrt{N}$	Rumus untuk b negatif
81	9	9,000138122
82	9,055385138	9,055494505
83	9,110433579	9,110519126
84	9,16515139	9,165217391
85	9,219544457	9,219594595
86	9,273618495	9,273655914
87	9,327379053	9,327406417
88	9,38083152	9,380851064
89	9,433981132	9,433994709
90	9,486832981	9,486842105
91	9,539392014	9,539397906
92	9,591663047	9,591666667
93	9,643650761	9,64365285
94	9,695359715	9,695360825
95	9,746794345	9,746794872
96	9,797958971	9,797959184
97	9,848857802	9,848857868
98	9,899494937	9,899494949
99	9,949874371	9,949874372
100	10	10,00010284

Dapat kita lihat bahwa Nilai dari $\sqrt{99}$ mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari $\sqrt{82}$
Dan nilai dari suatu kuadrat sempurna itu sendiri jadi tidak sama dengan nilai yang sebenarnya.

Dapat disimpulkan di sini! Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus.
Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna (mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan nilai $A^2$ sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati.
Begitu juga sebaliknya.

Intinya! Gunakan nilai A dan b sedemikian sehingga nilai $A^2$ sangat dekat dengan N
Semoga bermanfaat.

Menghitung AKar Tanpa Menggunakan Kalkulator

Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (I)

Menghitung Akar Tanpa Kalkulator (II)

0 Response to "Menghitung AKar Tanpa Menggunakan Kalkulator"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel