Bentuk umum pecahan parsial

  

Pada postingan sebelumnya sudah dibahas mengenai cara merubah pecahan biasa menjadi penjumlahan dua pecahan yang lebih sederhana. Ini akan sering digunakan untuk mengerjakan soal-soal limit, integral, persamaan differensial, maupun soal yang lainnya.

Pada postingan sebelumnya, membagi pecahan biasa menjadi penjumlahan dua pecahan seperti berikut ini :

$latex \frac{1}{x(x+1)}= \frac{a}{x}+ \frac{b}{x+1}$

     

Mencari a dan b, dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.




$latex \frac{a}{x}+ \frac{b}{x+1}$

$latex \qquad = \frac{a(x+1)}{x(x+1)}+ \frac{bx}{x(x+1)}$

$latex \qquad = \frac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}$

$latex \qquad = \frac{ax+a+bx}{x(x+1)}$

$latex \qquad = \frac{ax+bx+a}{x(x+1)}$

$latex \qquad = \frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}$




Samakan pembilanganya




$latex \frac{1}{x(x+1)}= \frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}$

$latex \frac{0x+1}{x(x+1)}= \frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}$




Didapatkan $latex a=1$ dan $latex $latex a+b=0$. Maka, nilai b yaitu $latex b=-a=-1$.

Jadi, bentuk fungsi rasional itu bisa dituliskan menjadi jumlah dua fungsi rasional yang lebih sederhana, yaitu :




$latex \frac{1}{x(x+1)}= \frac{1}{x}+ \frac{-1}{x+1}$




Cara yang digunakan sangatlah sederhana, hanya tinggal menyamakan dan menyamakan.




Akan ada beberapa kasus dalam hal merubah pecahan biasa ini menjadi penjumlahan beberapa pecahan bagian.

Kasus tersebut akan dibagi-bagi sebagai berikut :







KASUS I (faktor dari penyebut tak berulang)




*Contoh bentuk pertama yaitu sebagai berikut :




$latex \frac{2x+1}{(3x-1)(x+2)}&s=1$




Faktor dari penyebutnya tak berulang. Bisa juga dikatakan tidak ada pangkat dari faktor penyebutnya. Untuk menyelesaikannya, maka kita misalkan penjumlahan pecahan berulangnya sebagai penjumlahan biasa dengan penyebut adalah masing-masing faktor dari penyebut semula dan pembilang merupakan suatu konstanta. Seperti berikut :




$latex \frac{2x+1}{(3x-1)(x+2)}= \frac{A}{3x-1}+ \frac{B}{x+2}&s=1$




Cari A dan B dengan cara menyamakan penyebutnya dan membandingkan pembilangnya dengan ruas sebelah kiri. Seperti pada postingan sebelumnya.




*Contoh bentuk kedua apabila penyebutnya merupakan suatu pangkat dua atau lebih yang tidak bisa difaktorkan (penyebut pangkat 2)




$latex \frac{x-1}{(3x^2+1)(x^2+x-4)}&s=1$




Karena faktor dari penyebutnya berpangkat dua, dan sudah tidak bisa disederhanakan (dijadikan menjadi pangkat satu), maka tetap kita misalkan sebagai penjumlahan dua pecahan dengan pembilangnya berupa linear (pangkat satu).




$latex \frac{x-1}{(3x^2+1)(x^2+x-4)}= \frac{Ax+B}{3x^2+1}+ \frac{C+Dx}{x^2+x-4}&s=1$




*Bentuk campuran :




$latex \frac{x+1}{(3x-2)(x^2+2x-3)}&s=1$




Maka, pecahan bagiannya adalah :




$latex \frac{x+1}{(3x-2)(x^2+2x-3)}= \frac{A}{3x-2}+ \frac{Bx+C}{x^2+2x-3}&s=1$




Konsepnya yaitu terletak pada “pembilang pada pecahan bagiannya mempunyai pangkat terbesar yang lebih kecil satu dari penyebut pada pecahan bagian tersebut”







KASUS II (faktor dari penyebut berulang)




Jika menemukan kasus berupa penyebut dengan faktor yang berulang, maka kita buat menjadi deret pecahan parsial. Secara umum, jika mempunyai penyebut dengan faktor berulang $latex (mx+n)^k$, maka pecahan bagiannya kita tuliskan sebagai berkut




$latex \frac{A}{(mx+n)^k}+ \frac{B}{(mx+n)^{k-1}}+ \dots + \frac{N}{mx+n}$




Misalnya bertemu kasus sepeti contoh berikut :




$latex \frac{2x+1}{(3x-1)^2(x+2)}= \frac{A}{(3x-1)^2}+ \frac{B}{3x-1}+ \frac{C}{x+2}&s=1$




Dan kasus-kasus yang lainnya sebagai berikut :




$latex \frac{1}{x^3(x^2+3)^2}= \frac{A}{x^3}+  \frac{B}{x^2}+  \frac{C}{x}+ \frac{D}{(x^2+3)^2}+ \frac{E}{(x^2+3)^2}&s=1$




Dan seterusnya




Meskipun sederhana, tetapi masih banyak yang salah dalam melakukan prosesnya. Entah dikarenakan kekurang telitian atau memang susah untuk dimengerti.

Selamat belajar.

 

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

 

Share this post