Integral substitusi

 

Setelah kemarin membahas mengenai integral dan kemarin hanya diberikan sifat pangkat pada integral dan linear saja. kali ini akan diberikan integral yang terhitung masih sederhana, tetapi sudah berada di tingkat di atas dari aturan pangkat, yaitu integral substitusi.

Sebelum masuk ke integral substitusi, kita perhatikan terlebih dahulu hal berikut :

Bagaimana mengerjakan bentuk :

$latex \int (x+1)^2 \, dx$




Tentu kita bisa menjabarkannya dan selanjutnya menggunakan aturan pangkat. Untuk menjabarkan bentuk pangkat tersebut, kita harus ingat dengan binomial newton.

$latex (x+1)^2=x^2+2x+1$

Sehingga, bentuk integral pada soal pun bisa dituliskan menjadi

$latex \int (x+1)^2 \, dx= \int x^2+2x+1 \, dx=x^3/3+x^2+x+C$




Lalu, bagaimana kalau kita bertemu dengan soal ini :

$latex \int (x+1)^34 \, dx$
Apakah kita harus menjabarkannya? Tentu akan memakan waktu yang sangat lama.

Kita akan mempelajari teknik integral yang sering disebut sebagai integral substitusi. Untuk itu, kita kerjakan terlebih dahulu untuk soal $latex \int (x+1)^2 \, dx$ dengan menggunakan aturan substitusi.




Di dalam aturan substitusi kita akan menggunakan pemisalan. Pada soal tersebut, langkah-langkahnya sebagai berikut : misalkan,

$latex u=x+1$, maka $latex \frac{du}{dx}=1$, maka $latex du=dx$




Sehingga, bentuk soal bisa dituliskan sebagai berikut :

$latex \int u^2 \, du=u^3/3+C$

Karena yang diinginkan adalah variabel x, maka masukkan kembali bentuk yang tadi. Sehingga diperoleh $latex \frac{u^3}{3}+C= \frac{(x+1)^3}{3}+C$




Dengan cara seperti ini, maka bentuk soal $latex \int (x+1)^34 \, dx$ akan mudah diselesaikan. Berikut langkah penyelesaiannya, yaitu dengan memisalkan $latex u=x+1$




Contoh soal

$latex \int (2x+3)^12 \, dx$

Penyelesaian :

Misalkan $latex u=2x+3$, maka $latex \frac{du}{dx}=2$, maka $latex dx= \frac{du}{2}$

Kita kembali ke soal, sehingga soal menjadi :

$latex \int (2x+3)^12 \, dx= \int u^12 \, \frac{du}{2}= \int \frac{1}{2}u^12 \, du$

Silahkan dilanjutkan. ..




Soal yang bukan menggunakan substitusi misalnya

$latex \int (x^2-4)^6 \, dx$

Soal seperti ini tidak bisa menggunakan aturan substitusi seperti di atas. Silahkan dicoba dengan menggunakan pemisalan seperti contoh-contoh di atas. Nanti, akan ditemukan sesuatu yang mengakibatkan langkah itu tidak bisa dilanjutkan.




Berbeda dengan soal berikut, yang bisa menggunakan aturan substitusi

$latex \int x(x^2-4)^6 \, dx$

Soal ini bisa menggunakan substitusi, yaitu dengn memisalkan

$latex u=x^2-4$, maka $latex \frac{du}{dx}=2x$, sehingga $latex dx= \frac{du}{2x}$

Soal pun bisa dituliskan dalam bentuk

$latex \int xu^6 \, \frac{du}{2x}$

Akhirnya x nya bisa dicoret.. . sehingga menjadi bentuk berikut ini :

$latex \int \frac{1}{2}u^6 \, du$

Silahkan dilanjutkan.. .




Latihan Soal

$latex 1). \int (6-3x)^13 \, dx$

$latex 2). \int x(0,5x^2+1)^5 \, dx$

$latex 3). \int 2x(4-x^2)^3 \, dx$

$latex 4). \int 3x^2(x^3+5)^6 \, dx$

 

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

 

Share this post