Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya

Bilangan kompleks dituliskan sebagai $a+bi$
Jika $z=a+bi$ merupakan suatu bilangan kompleks, maka a adalah bagian nyata dan b adalah bagian imajiner. Ingat a dan b di sini adalah bilangan real.
Jadi bisa dituliskan
$R(z)=a$ dan $I(z)=b$

Jika $R(z)=0$ dan $I(z) \ne 0$ maka disebut bilangan kompleks murni
Jika $R(z)=0$ dan $I(z)=1$ atau dituliskan sebagai $z=i$ disebut satuan khayal

Kesamaan bilangan kompleks
Jika $z=a+bi$ , maka $z_1=z_2$ yaitu jika
$a_1=a_2$ dan $b_1=b_2$

Jumlah pada bilangan kompleks yaitu

$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$

Perkaliannya
$z_1 \times z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$

$i^2=-1$

Di dalam bilangan kompleks juga dikenal bilangan nol, yaitu merupakan identitas penjumlahan, yaitu $0+0i$
Dan identitas perkaliannya adalah $1+0i$

Lawan penjumlahannya, $-z$
Jika $z=a+bi$ maka $-z=-a-bi$
Kebalikan dari z, yaitu $\dfrac{1}{z}$
$z^{-1}= \dfrac{x}{x^2+y^2}- \dfrac{y}{x^2+y^2}i$

$zz^{-1}=1$

Sekawan (Conjugation)
Jika $z=a+bi$ adalah bilangan kompleks, maka sekawannya (conjugation) dari z adalah $\bar z =a-bi$

Sifat-sifat bilangan kompleks

Komutatif
$z_1+z_2=z_2+z_1$
$z_1z_2=z_2z_1$

Asosiatif
$z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3$
$z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3$

Distributif
$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$

Distributivitas kesekawanan
$\overline{z_1+z_2}= \bar z_1+ \bar z_2$
$\overline{z_1-z_2}= \bar z_1- \bar z_2$
$\overline{z_1z_2}= \bar z_1 \bar z_2$
$\overline{z_1/z_2}= \bar z_1/ \bar z_2$

$\overline{ \overline{z}}=z$

$z \bar z=[R(z)]^2+[I(z)]^2$

Beberapa soal :
Tuliskan dalam bentuk $A+Bi$ untuk $\dfrac{1+i}{1-i}$
Jawaban :
$\dfrac{1+i}{1-i}= \dfrac{1+i}{1-i} \dfrac{1+i}{1+i}= \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2}= \dfrac{2i}{2}=i$
Maka $\dfrac{1+i}{1-i}=0+i$

Pangkat bulat tak negatif pada bilangan kompleks didefinisikan seperti pada bilangan nyata, yaitu
$z^1=z$
$z^2=zz$
$z^3=z^2z$
$\dots$
$z^{n+1}=z^nz$
Dan bila $z \ne 0$ , maka $z^0=1$

Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya

0 Response to "Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel