Palindrom

Bilangan palindrom

Palindrom adalah dibaca dari depan dan dari belakang adalah sama. Misalnya palindrom pada kata.

Kasur rusak, saras, ini, dan sebagainya.

Pada sebuah bilangan disebut bilangan palindrom jika dibaca dari depan dan dari belakang hasilnya adalah sama. Misalnya 11, 3332333, 87678, 9019109, dan sebagainya…
Untuk membuat bilangan palindrom. Yang harus dilakukan adalah sangat sederhana. Hanya menjumlahkan bilangan dengan bilangan tersebut yang ditulis dari belakang. Misalnya kita ambil sebarang bilangan 45. Yang kita lakukan hanyalah menjumlahkan seperti ini. 45 + 54 = 99. Suda membentuk suatu palindrom bukan!

Kita mulai dengan

129 + 921 = 1050, 1050 + 501 = 1551. Membentuk palindrom.
86 + 68 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111. Membentuk palindrom…

Sekarang coba mulai dengan angka 97

97 + 79 = 176
176 + 671 = 847
847 + 748 = 1595
1595 + 5951 = 7546
7546 + 6457 = 14003
14003 + 30041 = 44044

Membentuk suatu palindrom. Meskipun langkah yang ditempuh sangatlah panjang. tetapi pada akhirnya akan membentuk suatu palindrom.

Coba mulai dengan angka 98

Jika kalian memang merasa tertarik dengan matematika. Palindrom yang bagaimana yang akan terjadi jika kita mulai dari 98. Coba lakukan!

Palindrom yang bagus

Bilangan palindrom merupakan bilangan yang dibaca dari belakang bernilai sama dengan ketika dibaca dari belakang. Misalnya, 232 ini akan sama dengan jika dibaca dari belakang, yaitu sama dengan 232.
Keunikan-keunikan pada bilangan palindrom juga sangatlah banyak macamnya. Bilangan palindrom berikut ini adalah bilangan palindrom yang ada di basis 10 dan ada di basis 2. Suatu bilangan yang apabila dituliskan di basis 10 maupun dituliskan di basis 2 akan membentuk palindrom.

$585$

$(1001001001)_2$

Bilangan palindrom yang lain ini sama dengan penjumlahan kuadrat bilangan berurutan.

$55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$
$77=4^2+5^2+6^2$
$434=11^2+12^2+13^2$
$1111=11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2$
$181=9^2+10^2$
$1441=6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2$

Dan masih banyak yang lainnya.

Palindrom berupa bilangan prima juga merupakan salah satu yang unik. 11 adalah palindrom 2 digit. Dan hanya 11 bilangan prima 2 digit yang membentuk palindrom. 14341 merupakan bilangan palindrom yang sekaligus bilangan prima juga. Dan masih banyak yang lain-lainnya.

Palindrom pada jam digital juga bisa terjadi, yaitu misalnya ketika pukul 11:11:11, ketika pukul 05:55:50, dan banyak lagi yang lain. Pada tanggal yang dipersingkat juga bisa membentuk palindrom.
Jika 2011, kita tuliskan menjadi 11, maka bilangan 11-11-11 ini adalah bilangan palindrom. 11:11:11 11-11-11, pukul 11 lebih 11 menit 11 detik pada waktu tanggal 11 november 2011.

Cara untuk mendapatkan bilangan palindrome bisa didapatkan dengan cara menjumlahkan bilangan dengan bilangan itu sendiri yang dibaca dari belakang. Ini dilakukan terus-menerus sampai menemukan bilangan palindrom.
Misalnya kita mulai dari bilangan 28, maka kita jumlahkan dengan bilangan itu yang dibaca dari belakang. $28+82=110$ , karena belum membentuk bilangan palindrome, maka lakukan lagi proses tersebut. $110+011=121$ . Sudah membentuk bilangan palindrom.

93 bilangan prima 5-digit yang membentuk palindrom

Dari judul dikatakan bahwa ada 93 bilangan prima yang membentuk palindrome. Bilangan-bilangan prima itu adalah

$10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,13331,$
$13831,13931,14341,14741,15451,15551,16061,16361,16561,$
$16661,17471,17971,18181,18481,19391,19891,19991,30103,$
$30203,30403,30703,30803,31013,31513,32323,32423,33533,$
$34543,34843,35053,35153,35353,35753,36263,36563,37273,$
$37573,38083,38183,38783,39293,70207,70507,70607,71317,$
$71917,72227,72727,73037,73237,73637,74047,74747,75557,$
$76367,76667,77377,77477,77977,78487,78787,78887,79397,$
$79697,79997,90709,91019,93139,93239,93739,94049,94349,$
$94649,94849,94949,95959,96269,96469,96769,97379,97579,$
$97879,98389,98689$

Sebanyak 93 bilangan prima 5-digit yang membentuk palindrom.
26 bilangan yang diawali dengan angka 1.
24 bilangan yang diawali dengan angka 3.
24 bilangan yang diawali dengan angka 7.
Dan 19 bilangan yang diawali dengan angka 9.

Palindrom 4 angka selalu habis dibagi 11

Misalnya 1111. Merupakan palindrom dengan 4 digit. 1111 habis dibagi 11 yaitu hasilnya 101. Begitu juga dengan palindrom 4 digit yang lain. Misalnya 2332. Merupakan palindrom 4 digit. Dan 2332 habis dibagi 11. Hasilnya yaitu 212.
Mengapa bisa terjadi hal seperti itu?
Perhatikan ciri sebuah bilangan habis dibagi 11 berikut ini :
Sebuah bilangan habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi 11.

Misalnya
Apakah 1221 habis dibagi 11?
1 – 2 + 2 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 11. Maka 1221 habis dibagi 11.
Untuk sebarang bilangan misalnya $(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)$ sebanyak n digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n$

Sekarang kita perhatikan hal berikut ini :

1 = 0 + 1
10 = 11 – 1
100 = 99 + 1
1000 = 1001 – 1
10000 = 9999 + 1
…
dan seterusnya…

perhatikan bahwa 0, 11, 99, 1001, 9999, … merupakan kelipatan 11

$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times 100 +a_{n-1} \times 10 + a_n$
$(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n$

Untuk memudahkan kita anggap banyaknya digitnya sebarang.

$( \dots a_{n-1} a_n)= \dots+ a_{n-2} \times (99+1) + a_{n-1} \times (11-1) + a_n$
$( \dots a_{n-1} a_n)= ( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1}) + ( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n)$

Jika $( \dots a_{n-1} a_n)$ habis dibagi 11. Dan $( \dots + 99a_{n-2} + 11a_{n-1})$ habis dibagi 11. Maka haruslah $( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n)$ habis dibagi 11. Jadi, ciri habis dibagi 11 adalah $( \dots + a_{n-2} - a_{n-1} + a_n)$ habis dibagi 11. Yaitu jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan dimulai dari tanda positif hasilnya habis dibagi 11.

Dan sekarang kita perhatikan bahwa setiap bilangan palindrom 4 digit. Maka jika kita lakukan langkah ciri bilangan habis dibagi 11. Yaitu menjumlahkan digit-digitnya dari digit satuan dengan tanda positif terlebih dahulu. Maka nanti hasilnya pasti nol. Karena bilangan palindrom 4 digit berbentuk (aaaa) atau (abba). Untuk (aaaa) sudah pasti habis dibagi 11. Karena
a – a + a – a = 0
Untuk (abba), a – b + b – a = 0. Maka abba juga habis dibagi 11.

Dengan demikian terbukti bahwa bilangan berdigit 4 yang membentuk palindrom, habis dibagi 11.
Begitu juga untuk bilangan berdigit 2, 6, 8, 10, dst.. bisa dibuktikan sendiri.

15 bilangan prima 3-digit yang membentuk palindrom

Palindrom adalah sesuatu yang dibaca dari depan dan dari belakang adalah sama. Maksudnya jika dibaca dari arah kiri ke kanan atau dari kanan ke kiri maka hasilnya adalah sama. Palindrom ini bukan hanya ada pada kata. Tetapi pada bilangan juga ada palindrom.

Misalnya $212,23432$ dan sebagainya

Bilangan-bilangan prima berikut ini adalah bilangan-bilangan prima 3-digit yang membentuk palindrome. Ada 15 bilangan, sebagai berikut

$101,131,151,181,191,313,353,373,383,$

$727,757,787,797,919$ dan $929$

Palindrom pada bilangan prima, semuanya berdigit ganjil (kecuali bilangan 11). Bilangan 11 adalah salah satu bilangan prima yang membentuk palindrome yang berdigit genap. Hanya terdiri dari 2-digit. Untuk palindrome yang terdiri dari 1-digit yaitu 2, 3, 5 dan 7. Tentunya, semua bilangan 1 digit membentuk palindrom. Begitu juga untuk semua bilangan prima 1-digit.
Bilangan prima 4 digit tidak ada yang membentuk palindrom. Karena bilangan-bilangan palindrom berdigit sebanyak genap, habis dibagi oleh 11.

Palindrom

Bilangan palindrom

Palindrom yang bagus

93 bilangan prima 5-digit yang membentuk palindrom

Palindrom 4 angka selalu habis dibagi 11

15 bilangan prima 3-digit yang membentuk palindrom

0 Response to "Palindrom"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel