Macam-macam Bilangan
Bilangan sempurna (Perfect Number)
Bilangan sempurna adalah sebuah bilangan positif yang jumlah faktor pembaginya tanpa bilangan itu sendiri adalah sama dengan bilangan tersebut. atau bisa juga dikatakanbilangan sempurna adalah bilangan positif yang jumlah factor pembaginya termasuk bilangan itu sendiri sebesar dua kali bilangan tersebut. Contohnya, 6. Faktor-faktor dari 6 yaitu 1, 2, 3, dan 6. Kita jumlahkan factor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri (yaitu angka 6), 1 + 2 + 3 = 6. Jumlah faktor-faktornya (selain dirinya) adalah 6, yaitu sama dengan bilangan awal.
Contoh lain, 28. Faktor dari 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, 28. Jumlah factor-faktornya kecuali dirinya adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Sama dengan bilangan awal. Contoh yang lain yaitu 496, 8128, dsb. Cara mencari bilangan ini yaitu menggunakan aturan Marsenne. Dengan rumus,
$latex 2^{n-1} \times (2^n-1)$
Bilangan Asli dan Bilangan Kuadrat
Beberapa hal tentang bilangan asli dan bilangan kuadrat i :
- Setiap bilangan asli yang dikudratkan pasti akan mempunyai angka satuan 0, 1, 4, 5, 6, atau 9.
- Setiap bilangan kuadrat bila dibagi 4 maka akan bersisa 0 atau 1.
- Setiap bilangan ganjil yang kuadrat bila dibagi 8 akan bersisa 1.
- Setiap jumlah dua bilangan ganjil yang kuadrat bila dibagi 8 maka akan bersisa 2.
- Jumlah dari dua bilangan ganjil kuadrat bukanlah suatu bilangan kuadrat.
- Jika P merupakan bilangan prima dan $latex n^2$ habis dibagi P maka $latex n^2$ juga akan habis dibagi $latex p^2.$
- Digit suatu bilangan yang bersatuan 0, 1, 5, dan 6. Bila dikuadratkan menghasilkan akhir satuan yang sama (disebut automorphic)
"Bilangan Asli adalah Jumlah beberapa Bilangan Kuadrat (paling banyak empat)"
Setiap Bilangan Asli terdiri dari sebanyak-banyaknya jumlah dari 4 bilangan Asli. Ini ditemukan oleh Ilmuwan Italia, Joseph Louis Lagrange. Sulung dari 11 bersaudara.
$latex 1=1$
$latex 2=1+1$
$latex 3=1+1+1$
$latex 4=4$
$latex 10=9+1$
$latex 20=16+4$
$latex 21=16+4+1$
$latex 123=121+1+1$
$latex 234=225+9$
dst.
Bilangan asli yang hanya terbentuk dari satu bilangan kuadrat disebut dengan kuadrat penuh. Misalnya 4, 25, 100, dsb.
Angka satuan dari bilangan kuadrat
Bila angka dari 1 sampai 99 dikuadratkan kemudian diambil angka puluhan dan satuannya maka akan didapatkan dua puluh dua kemungkinan angka-angka yang ada dan berujung pada {00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96}.
Ternyata kedua puluh dua bilangan itu adalah kelipatan 4 penuh atau bersisa 1, sehingga dapat dikatakan :
“Dua angka terakhir dari kuadrat suatu bilangan asli akan habis dibagi 4 atau bersisa 1 bila dibagi 4”
"Setiap Bilangan ganjil adalah selisih dua bilangan berurutan yang dikuadratkan"
Perhatikan beberapa kasus dibawah ini :
$latex 3=2^2-1^2$
$latex 5=3^2-2^2$
$latex 7=4^2-3^2$
$latex 9=5^2-4^2$
$latex 11=6^2-5^2$
$latex 13=7^2-6^2$
dst.
Secara umum. Dua bilangan yang berurutan dapat dituliskan sebagai $latex n$ dan $latex n+1.$ Maka selisih kedua bilangan yang di kuadratkan itu adalah
$latex 2n+1=(n + 1)^2-n^2$
Dimana $latex 2n+1$ adalah rumus umum untuk bilangan ganjil.
Jumlah kuadrat yang unik
Perhatikan pola-pola berikut ini
$latex 3^2+4^2=5^2$
$latex 10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$
$latex 21^2+ 22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2$
$latex 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$
dst.
Ini dimulai dari deret segitiga dengan menghilangkan suku yang ke ganjilnya
Perhatikan bahwa ini adalah deret segitiga
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …
Kita hilangkan suku yang ke ganjil, yaitu suku pertama, ketiga, kelima, dst.
Diperoleh
3, 10, 21, 36, 55, …
Dan ujung akhirnya diperoleh dari empat kali deret segitiga, yaitu :
4, 12, 24, 40, 60, …
$latex 55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2$
$latex 78^2+79^2+80^2+81^2+82^2+83^2+84^2=85^2+86^2+87^2+88^2+89^2+90^2$
…
Dan seterusnya. Polanya adalah sebagai berikut :
$latex [n(2n+1)]^2+ \dots +[2n(n+1)]^2=(2n^2+2n+1)^2+ \dots +(2n^2+3n)^2$
Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]
uapik wez. semangat mengelolanya.
BalasHapus