Aturan Dasar Menghitung I

 Aturan Dasar Menambah

   

Jika kita mempunyai dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama, maka jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyak anggota dari masing-masing himpunan.

 

Contoh : Ada dua cara untuk bepergian dari Malang ke Surabaya, yaitu menggunakan kapal terbang atau menggunakan kereta api. Untuk kapal terbang ada 4 penerbangan, dan kereta api ada 3 kereta api. Berapa banyak cara untuk pergi dari Malang ke Surabaya?

 

Jawab : Karena cara bepergian dari Malang ke Surabaya dengan transportasi udara dan transportasi darat merupakan hal yang terpisah, maka banyaknya cara tinggal dijumlahkan, yaitu 4 + 3 = 7 cara.

  

  

Aturan Dasar Mengalikan

Misalkan ada suatu urutan pengerjaan yang dapat dilakukan dalam dua langkah yang saling lepas (tidak bergantung). Jika langkah pertama ada n cara dan langkah kedua ada m cara, maka prosedur tersebut dapat dilakukan dengan $latex n \times m$ cara.

 

Contoh : Misalkan kita pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke B ada 3 jalan. Dan dari kota Bke kota C ada 2 jalan. Ada berapa banyak cara untuk pergi dari kota A ke kota C dan melewati kota B?

 

Jawab : misalkan dari A ke B jalannya yaitu p, q dan r. dan jalan dari B ke C yaitu s dan t. kita akan menghitung semua kemungkinan jalan yang dilewatinya.

  

1). Melewati p kemudian melewati s

2). Melewati p kemudian melewati t

3). Melewati q kemudian melewati s

4). Melewati q kemudian melewati t

5). Melewati r kemudian melewati s

6). Melewati r kemudian melewati t

 

Jadi ada 6 kemungkinan cara yang bisa dilewati. Secara sederhana, kita dapat menghitungnya dengan cara sebagai berikut. Pertama, kita sediakan dua kotak (karena ada dua tahap). Kemudian kotak pertama berisikan jumlah cara pada langkah pertama, dan kotak kedua berisi jumlah tahap kedua. Jumlah semua cara adalah hasil kali dari kedua kotak, yaitu $latex 3 \times 2=6$

 

Contoh : Diketahui angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5. Tentukan banyaknya semua bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut jika :

a. Terdiri dari 2 angka

b. Terdiri dari 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama dalam satu bilangan

 

Jawab : Seperti contoh sebelumnya. Karena terdiri dari 2 angka, maka kita menyediakan 2 kotak. Dan setiap kotak nanti akan kita isi dengan jumlah kemungkinan tahap-tahapnya.

 

a. Bilangan terdiri dari 2 angka. Maka, kemungkinan angka puluhannya yaitu ada 5. Yaitu angka 1, 2, 3, 4 dan 5. Dan kemungkinan angka satuannya adalah berjumlah 5. Yaitu 1, 2, 3, 4 dan 5. Sehingga Total semua kemungkinan bilangan yang dapat dibuat adalah : $latex 5 \times 5=25.$ Kemungkinan-kemungkinannya yaitu 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54 dan 55.

 

b. Terdiri dari 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama. Ini sama halnya dengan yang nomor a. tetapi menghilangkan bilangan yang mempunyai digit yang sama. Sehingga bilangan yang mungkin dibuat adalah 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, dan 54. Ada 20 kemungkinan bilangan yang dapat dibuat dengan syarat bilangan itu tidak mempunyai digit yang sama. Secara Umum, Kita sediakan 2 kotak. Yaitu kotak untuk puluhan dan kotak untuk satuan. Kotak berisi puluhan dapat diisi dengan 5 kemungkinan. Yaitu angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5. Dan kotak kedua hanya akan berisi 4 kemungkinan. Karena ada syarat tidak ada bilangan yang mempunyai angka sama. Bisa diperhatikan, jika angka puluhan yang muncul 1, maka angka satuan yang mungkin hanya ada 4. Yaitu 2, 3, 4 dan 5. Jika angka yang muncul yaitu 2, maka angka satuan yang mungkin adalah 1, 3, 4 dan 5. Begitu seterusnya akan didapatkan angka satuan hanya ada 4 kemungkinan. Sehingga total kemungkinan bilangan yang dapat dibuat adalah : $latex 5 \times 4=20.$ Ada 20 kemungkinan bilangan yang dapat dibuat.

 

Contoh : diketahuai bilangan 48. Tentukan banyaknya pembagi dari bilangan ini termasuk 1 dan 48?

 

Jawab : Seperti pada masalah-masalah sebelumnya. Pertama kita ubah bilangan tersebut menjadi uraian factor prima. $latex 48=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3.$ Artinya sama dengan $latex 48=2^43^1.$ Kemudian pembagi 48 mempunyai bentuk $latex 2^a3^b.$  dengan a = 0, 1, 2, 3 dan 4 dan $latex b=0$ dan 1. Jadi masalah menentukan banyaknya pembagi sama saja dengan menentukan banyaknya pasangan $latex (a,b)$ dengan banyaknya a dan b adalah kemungkinan-kemungkinan di atas. Diperoleh banyaknya pembagi yaitu : $latex 5 \times 2=10.$

 

Untuk lebih meyakinkan, kita check banyaknya pembagi dari 48 dengan mencarinya secara langsung. Pembagi dari 48 termasuk 1 dan 48 yaitu : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Jumlahnya ada 10. Sama dengan jawaban awal kita di atas. Sehingga tentu kita sudah yakin bahwa jawaban itu benar.

Jika ada soal yang sama tetapi pembagi 1 dan bilangan sendiri itu tidak ikut, maka pada hasil akhir kita perlu mengurangi dengan 2. Mencari banyaknya pembagi juga dapat digunakan untuk angka yang lebih besar atau yang sangat besar.

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=6]

Share this post