Persamaan Diophantine

 

Persamaan Diophantine adalah persamaan yang jawabannya harus dicari hanya pada himpunan bilangan bulat. Koefisien dari persamaan juga hanya melibatkan bilangan bulat.

Tidak ada bilangan pecahan di persamaan ini. Persamaan Diophantine tidak semuanya mempunyai jawab. Tidak semua persamaan seperti ini mempunyai jawaban di himpunan bilangan bulat.

Contohnya $latex 2x=7$. Persamaan ini tidak mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat, persamaan ini akan mempunyai jawab di himpunan bilangan real.



Contoh :

Apakah persamaan $latex 6x+51y=22$ mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat?

 

Jawab :

jika persamaan mempunyai jawaban di himpunan bilangan bulat, kita lihat bahwa 3 membagi 6 dan 3 juga membagi 51.

 

3 membagi di ruas kiri, tetapi 3 tidak membagi 22.

 

Dengan kata lain, 3 tidak membagi ruas kanan. Jadi, tidak mungkin ada bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut.

 

 

Contoh :

Apakah persamaan $latex 56x+72y=40$ mempunyai jawaban untuk himpunan bilangan bulat?

 

Sekarang kita akan mencari nilai-nilai yang mungkin dalam himpunan bilangan bulat.

Kita sederhanakan persamaan yang kita punya dengan cara membaginya dengan 8. Diperoleh

 

$latex 7x+9y=5$

 

Persamaan yang diberikan adalah $latex 7x+9y=5$. Karena Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 7 dan 9 adalah 1. Maka kita akan menuliskan persamaan dalam bentuk lain agar dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma pembagian. Persamaan menjadi

 

$latex 7a+9b=1$

 

Langkah selanjutnya yaitu mencari nilai a dan b yang memenuhi dengan menggunakan algoritma pembagian.

 

$latex 9=1(7)+2$

$latex 7=3(2)+1$

 

Jadi

 

$latex 1=7-3(2)$

$latex 1= 7-3(9-7)$

$latex 1= 7(4)-9(3)$

 

Diperoleh, $latex a=4$  dan $latex b=-3$

 

Sekarang persamaan terakhir kita kalikan 5.

 

$latex 7a+9b=1$   (kedua ruas dikalikan 5)

$latex 7(5a)+9(5b)=5$

 

Sehingga diperoleh  $latex x=5a$  dan  $latex y=5b$. dan diperoleh $latex x=20$ dan $latex y=-15$.

 

Untuk mencari jawaban yang lain, langkah yang harus kita lakukan adalah

Misalkan jawaban lain yaitu p dan q. Persamaan tersebut kita tulis sebagai

 

$latex 7x+9y=7p+9q$

$latex 7(x-p)=9(q-y)$

 

Persamaan ini mengatakan bahwa 7 membagi ruas kiri. Maka ruas kanan juga harus habis dibagi 7. Karena Faktor Persekutuan Terbesar dari 7 dan 9 adalah 1, maka 7 membagi $latex (q-y)$. akibatnya $latex (q-y)=7k$, untuk sebarang k bilangan bulat.

 

Selanjutnya $latex 7(x-p)=9.7k$ maka $latex (x-p)=9k$, dengan k bilangan bulat.

Sehingga jawaban persamaan yang lain yaitu dalam bentuk

 

$latex p=x-9k$

$latex q=y+7k$

 

dengan k adalah sebarang bilangan bulat.

 

Jawaban yang diperoleh yaitu

 

$latex p=20-9k $

$latex q=-15+7k$

 

pasangan jawabnya yaitu $latex (k,p,q):(3,-7,6),(2,2,-1),(1,11,-8),$ dan seterusnya.

 

 

Soal : Perlihatkan bahwa persamaan

$latex x^2+ y^2+z^2= 2xyz$

hanya mempunyai jawab nol pada himpunan bilangan bulat.

 

Jawab :

Jika persamaan mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat, maka ruas kanan dari persaam harus merupakan bilangan genap. Maka ruas kiri juga harus bilangan genap. Jadi, satu atau ketiga dari x, y dan z harus merupakan bilangan genap.

Jika hanya ada satu yang habis dibagi 2, maka ruas kanan habis dibagi 4. Tetapi ruas kiri hanya habis dibagi 2. Itu tidak mungkin. Jadi ketiganya harus merupakan bilangan genap. Kita tulis

 

$latex x=2a, y=2b, z=2c$

 

kita gantikan pada persamaan. Diperoleh

 

$latex a^2+b^2+c^2= 4abc$

 

dengan alas an yang sama. Kita menyimpulkan bahwa setiap jawaban dari persamaan ini selalu habis dibagi 2. Dengan kata lain bilangan itu hanya nol.

 

Tulisan terbaru :

[archives limit=7]

 

Share this post