Persegi terbesar di dalam segitiga samasisi

 

Hal yang kita bicarakan kali ini yaitu kemungkinan persegi terbesar yang dapat dibuat di dalam sebuah segitiga sama sisi. Tentunya, dengan mudah kita bisa menggambarkan suatu persegi di dalam sebuah segitiga sama sisi.

Tetapi kali ini akan kita cari berapakah luas atau sisi persegi terbesar yang dapat dibuat di dalam sebuah segitiga sama sisi.

Kita perhatikan gambar berikut ini

 





Persegi di dalam segitiga sama sisi ditunjukkan oleh gambar di atas. Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi. Dan persegi OPQR adalah persegi terbesar yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut. Tentunya persegi tersebut menyinggung segitiga sama sisi yang dimaksud.

 

Pada gambar sudah sangat jelas bahwa untuk persegi yang maksimum, pasti nantinya akan memotong di sisi segitiga. Dan salah satu sisi dari persegi tersebut berhimpitan dengan salah satu sisi dari segitiga.

Pada gambar dimisalkan sisi segitiga adalah a dan sisi persegi adalah s.

 

Langkah yang kita lakukan adalah memotong segitiga tersebut menjadi dua bagian. Hasilnya adalah gambar yang di sebelah kanan.

 

Kita misalkan bahwa panjang $latex AC=a$. maka diperoleh panjang $latex XC= \frac{a}{2}$.

Dan panjang AX dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras. Diperoleh $latex AX= \frac{1}{2}a \sqrt{3}$

Di sini yang akan kita lakukan adalah mencari nilai s dalam a.

 

Pertama, kita cari persamaan garis AC.

Kita Anggap bahwa titik X adalah titik $latex (0,0)$ pada koordinat cartecius. Sehingga titik C adalah di $latex ( \frac{a}{2},0)$ dan titik A sama dengan $latex (0, \frac{1}{2}a \sqrt{3})$

 

Dengan menggunakan rumus persamaan garis pada dua titik, diperoleh persamaan garis AC adalah

 

$latex y=- \sqrt{3}x+\frac{1}{2}a \sqrt{3}$

 

Kita substitusikan persamaan garis $latex x=0,5s$ dan $latex y=s$

Sehingga, diperoleh

 

$latex s=- \frac{1}{2}s \sqrt{3}+ \frac{1}{2}a \sqrt{3}$

$latex s + \frac{1}{2}s \sqrt{3}= \frac{1}{2}a \sqrt{3}$

$latex s(1+ \frac{1}{2} \sqrt{3})= \frac{1}{2}a \sqrt{3}$

$latex s = \frac{\frac{1}{2}a \sqrt{3}}{1+\frac{1}{2} \sqrt{3}}$

 

Diperoleh nilai s yaitu

 

$latex s = 2a \sqrt{3}-3a$

 

Dari sini didapatkan bahwa sisi persegi tersebut sama dengan $latex 2a \sqrt{3}-3a$. Dengan a adalah panjang sisi segitiga sama sisi.

 

Jadi misalnya ada permasalahan, berapakah panjang sisi persegi terbesar yang dapat dibuat di dalam segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2 cm. Tentunya kita masukkan ke dalam hasil yang telah kita cari tadi. Dengan mengganti a = 2 cm, diperoleh

 

$latex 2a \sqrt{3}-3a = 2.2. \sqrt{3}-3.2$

$latex =4 \sqrt{3}-6$

$latex = 0,9282 \dots$

 

Tulisan Terbaru:

[archives limit=7]

 

Share this post