Satu Persamaan Linear dengan Banyak Variabel

Kita sudah mengetahui tentang suatu sistem persamaan. Tentunya kita sudah mengetahui tentang bagaimana cara menyelesaikan suatu system persamaan. Banyak macam-macan sistem persamaan linear, yaitu :

 

Sistem Persamaan Linear (1 variabel 1 persamaan) SPL

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (2 persamaan) SPLDV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (3 persamaan) SPLTV

 

Sekarang, bagaimana jika hanya ada satu persamaan dan ada lebih dari satu variabel?

 

Misalnya, $latex x+y=2$

Tentunya akan ada banyak penyelesaian untuk penyelesaian di atas. yang paling mudah yaitu  $latex x=1$ dan $latex y=1$. Penyelesaian lainnya yaitu misalnya kita tuliskan dalam pasangan $latex (x,y)$. penyelesaian-penyelesaian lain yang mugkin adalah $latex (2,0),(0,2),(-1,3),(-9,11),$ dan banyak penyelesaian-penyelesaian yang lain. Tentunya akan memiliki penyelesaian sebanyak tak terhingga.

 

Untuk mengatasi hal yang tak tehingga, maka kita perlu membatasi atau memberikan syarat khusus agar kita bisa mencarinya. Sehingga kita beri syarat hanya untuk bilangan bulat. Dan hanya untuk bilangan positif atau nol. Dengan kata lain, penyelesaian hanya dibatasi pada bilangan cacah.

 

Untuk persamaan diatas, Secara tidak langsung kita dapat mencari nilai-nilai x dan y dengan cara mencari satu per satu nilainya.

 

$latex x+y=2,$ nilai x dan y untuk bilangan cacah yang memenuhi adalah $latex (x,y):(0,2),(1,1),$ dan $latex (2,0)$. Sehingga aka nada 3 kemungkinan pasangan yang memenuhi.

 

Contoh :

Carilah apakah $latex 7x+9y=5$ mempunyai jawaban untuk bilangan cacah?

 

Secara tidak langsung kita dapat membayangkan bahwa tidak ada nilai x dan y dalam bilangan cacah yang memenuhi persamaan tersebut. karena konstanta dari x dan y lebih besar dari 5. Sekarang kita akan mencari nilai-nilai yang mungkin dalam himpunan bilangan bulat.

Persamaan yang diberikan adalah $latex 7x+9y=5$. Karena Faktor Persekutuan Terbesar dari 7 dan 9 adalah 1. Maka kita akan menuliskan persamaan dalam bentuk lain agar dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma pembagian. Persamaan menjadi

 

$latex 7a+9b=1$

 

Langkah selanjutnya yaitu mencari nilai a dan b yang memenuhi dengan menggunakan algoritma pembagian.

 

$latex 9=1(7)+2$

$latex 7=3(2)+1$

 

Jadi

 

$latex 1=7-3(2)$

$latex 1=7-3(9-7)$

$latex 1=7(4)-9(3)$

 

Diperoleh, $latex a=4$  dan $latex b=-3$

 

Sekarang persamaan terakhir kita kalikan 5.

 

$latex 7a+9b=1$   (kedua ruas dikalikan 5)

$latex 7(5a)+9(5b)=5$

 

Sehingga diperoleh $latex x=5a$ dan $latex y=5b$. dan diperoleh $latex x=20$ dan $latex y=-15$.

 

Untuk mencari jawaban yang lain, langkah yang harus kita lakukan adalah

Misalkan jawaban lain yaitu p dan q. Persamaan tersebut kita tulis sebagai

 

$latex 7x+9y=7p+9q$

$latex 7(x-p)=9(q-y)$

 

Persamaan ini mengatakan bahwa 7 membagi ruas kiri. Maka ruas kanan juga harus habis dibagi 7. Karena Faktor Persekutuan Terbesar dari 7 dan 9 adalah 1, maka 7 membagi $latex (q-y)$. akibatnya

$latex (q-y)=7k$, untuk sebarang k bilangan bulat.

 

Selanjutnya $latex 7(x-p)=9.7k$ maka $latex (x-p)=9k$, dengan k bilangan bulat

 

Sehingga jawaban persamaan yang lain yaitu dalam bentuk

 

$latex p=x-9k$

$latex q=y+7k$

 

dengan k adalah sebarang bilangan bulat.

 

Jawaban yang diperoleh yaitu

 

$latex p=20-9k$

$latex q=-15+7k$

 

pasangan jawabnya yaitu $latex (k,p,q):(3,-7,6),(2,2,-1),(1,11,-8),$ dst.

 

 

Tidak ada pasangan yang memenuhi syarat bilangan cacah.

 

Banyaknya kemungkinan jawaban di bilangan cacah.

 

Misalkan suatu persamaan $latex x+y+z=2$.

Kemungkinan-kemungkinan pasangan jawabannya yaitu $latex (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,

0,1),$ dan $latex (0,1,1)$.

 

Ini dapat dilakukan jika angkanya tidak terlalu besar. bagaimana jika angka yang dipakai itu sangatlah besar. misalnya $latex x+y=10$. Meskipun angkanya tidak terlalu besar tetapi kita akan kesulitan jika mencarinya satu per satu.

 

Secara umum, jika kita tuliskan persamaan menjadi $latex x_1+x_2+x_3+ \dots +x_n=k$.

 

Permasalahan akan diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik.

$latex x_1$ memuat $latex k_1$ benda, $latex x_2$ memuat $latex k_2$ benda, sampai $latex x_n$ memuat $latex k_n$ benda. sehingga, $latex k_1+k_2+k_3+ \dots +k_n=k$.

Dengan memandang pemisah antara kotak yaitu 1, maka masalah seperti ini dapat dipandang sebagai permutasi $latex k+n-1$ benda dengan k benda semula identik dan $latex n-1$ angka 1.

Sehingga jumlah permutasi tersebut adalah

  

$latex \frac{(k+n-1)!}{r!(k-1)!}&s=1$

 

Contoh, ada berapa banyak kemungkinan pasangan jawaban bilangan cacah pada persamaan $latex x+y+z=10$.

 

Menurut rumus diatas, $latex k=10$ dan $latex n=3$. Sehingga jumlah kemungkinannya yaitu

 

$latex \frac{(10+3-1)!}{10!(3-1)!}&s=1$

$latex = \frac{12!}{10!2!}$

$latex =6 \times 11$

$latex =66$

 

Jadi, ada 66 kemungkinan pasangan jawab.

 

Baca juga tentang Sistem Persamaan yang lainnya, antara lain :

Download materi dan latihan soal sistem persamaan linear, SPLDV, dan SPAL

CRAZY (Cramer, Substituzy) Untuk Menyelesaikan SPLDV | Metode gabungan antara aturan cramer dan substitusi, cek saja tulisannya.

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

Share this post