Sifat dan Teorema pada Bilangan

Sifat-sifat dan teorema-teorema pada bilangan. Sifat tertutup, sifat asosiatif, sifat identitas suatu bilangan, invers dari operasi penjumlahan dan perkalian, ada juga sifat refleksif, simetri dan transisi. Ada juga sifat Archimedes dan Kelengkapan Euclid. Beberapa diantaranya adalah :

 

Sifat

1. Jika a dan b ∈ R, maka (a + b) ∈ R [sifat tertutup pada operasi penjumlahan].


2. Jika a, b dan c ∈ R, maka a + (b + c) = (a + b) + c [sifat assosiatif penjumlahan].


3. ∃!0 ∈ R sehingga a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ R [unsure identitas penjumlahan].


4. ∀ a ∈ R, ∃! -a ∈ R, yaitu negative a, sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0 [unsure invers dari operasi penjumlahan].


5. Jika (a + b) ∈ R, maka a + b = b + a [sifat komutatif penjumlahan].


6. Jika a dan b ∈ R, maka ab ∈ R [sifat tertutup pada operasi perkalian].


7. Jika a, b dan c ∈ R, maka a(bc) = (ab)c [sifat assosiatif perkalian].


8. ∃!1 ∈ R sehingga a.1 = 1.a = a, ∀ a ∈ R [unsure identitas perkalian].


9. ∀ a ∈ R dan a≠0, ∃! a^- ∈ R, sehingga aa^- = a^-a = 1 [unsure invers dari operasi perkalian].


10. Jika (ab) ∈ R, maka ab = ba [sifat komutatif perkalian].


11. Jika a, b dan c ∈ R, maka a(b + c) = ab + ac [sifat distributive operasi perkalian terhadap penjumlahan].


12. a = a [sifat refleksif]


13. Jika a = b, maka b = a [sifat simetri]


14. Jika a = b dan b = c, maka a = c [sifat transitif]


15. Jika a = b dan c = d, maka a + c = b + d


16. Jika a = b dan c = d, maka a – c = b – d


17. Jika a = b dan c = d, maka ac = bd


18. Jika a = b dan c = d, maka a/ c = b/d dengan c dan d ≠ 0


19. Dari sebarang dua bilangan real a dan b, ada tepat satu relasi a < b, a = b, a > b adalah benar [sifat eksistensi dan ketunggalan dari urutan]


20. Jika a, b dan c bilangan-bilangan positif dan a = b + c, maka a > b dan a > c


21. Jika a < b, maka untuk setiap c berlaku a + c < b + c


22. Jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0


23. Jika a > b dan b > c, maka a > c


24. Misalkan M dan e dua bilangan positif, maka terdapat bilangan bulat positif n sehingga ne > M [sifat Archimedes]


25. Setiap bilangan positif memiliki sebuah akar kuadrat, yaitu setiap a > 0 maka memiliki √a [sifat kelengkapan Euclid]

 




Teorema

1. ∀ a ∈ R, berlaku a0 = 0


2. Jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0


3. Bilangan 0 tidak memiliki invers


4. Jika a + b = a + c, maka b = c [hukum kanselasi atau penghapusan penjumlahan]


5. Jika ab = ac dan a ≠ 0, maka b = c [hukum kanselasi atau penghapusan perkalian]


6. ∀ a ∈ R, berlaku –(–a) = a


7. ∀ a dan b ∈ R, berlaku (–a)b = –(ab)


8. ∀ a dan b ∈ R, berlaku (–a)(–b) = ab


9. ∀ a dan b ≠ 0, berlaku (ab)^-1 = a^-1b^-1


10. ∀ a dan b ∈ R, berlaku –(a + b) = (–a) + (–b)


11. Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d


12. a < b jika dan hanya jika b – a > 0


13. a < b dan c > 0, maka ac < bc


14. Jika a > 0, maka –a < 0


15. Jika a < 0, maka –a > 0


16. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

Share this post