Jumlah bilangan ganjil yang berurutan

 

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

 

Dan seterusnya. 

 

Dapat ditebak bahwa jumlah dari bilangan ganjil berurutan dari yang pertama sama dengan banyaknya suku dikuadratkan. Dapat dilihat pada contoh di atas, jika ada dua suku, yaitu $latex 1+3=4=2^2$. Jika ada 5 suku, yaitu $latex 1+3+5+7+9=25=5^2$

 

Mengapa terjadi hal seperti ini?

 

Secara umum, jumlah bilangan ganjil yang pertama dapat dituliskan sebagai

 

$latex 1+3+5+7+9+ \dots +(2n-1)$

 

Dengan n adalah banyaknya suku.

 

Ternyata bentuk $latex (2n-1)$ dapat dijadikan $latex n^2-(n-1)^2$. Perhatikan untuk $latex n^2-(n-1)^2$ jika dijabarkan. $latex n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=n^2-n^2+2n-1=2n-1$.

Diperoleh bentuk $latex 2n-1$. Yang ternyata sama dengan rumus untuk bilangan ganjil ke n.

 

Deret di atas merupakan deret aritmetika yang jumlah suku ke n dapat dicari dengan menggunakan rumus setengah dari jumlah suku pertama dan terakhir kemudian dikalikan banyaknya suku. Dengan demikian diperoleh

 

Jumlah suku ke $latex n= \frac{1}{2}(1+(2n-1))(n)$

Jumlah suku ke $latex n= \frac{1}{2}2n(n)$

Jumlah suku ke $latex n=n^2$

 

Sehingga dapat disimpulkan unutk jumlah bilangan ganjil yang berurutan dan sebanyak n bilangan adalah sama dengan $latex n^2$. Tentunya ini sudah ditunjukkan melalui penjabaran tersebut.

Bagaimana jika jumlah bilangan tersebut tidak dimulai dari yang terkecil? Jumlah bilangan ganjil yang tidak dimulai dari 1.

 

$latex 7+9+11+13+15+17+19=?$

 

Tentunya jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai 19 akan sama dengan $latex ( \frac{19+1}{2})^2$. Ini diperoleh dari suku terakhirnya.

yaitu $latex 2n-1=19$, sehingga banyaknya suku jika dihitung dari 1 adalah $latex 2n=19+1$, dan $latex n=10$. Jumlah deret tersebut jika dimulai dari 1 adalah 100. Tetapi permasalahannya, deret yang diminta berawal dari 7.

 

Dengan demikian yang harus kita lakukan adalah mengurangkannya dengan jumlah beberapa suku awal sebelum deret yang ditanyakan. Bilangan ganjil sebelum 7 adalah 5. Kita hitung jumlah deret dari 1 sampai 5. yaitu $latex 1+3+5=9$.

 

Dengan demikian jumlah deret seperti di atas adalah $latex 10^2-3^2=100-9=91$

 

7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91

 

Secara umum, jumlah deret bilangan ganjil yang berurutan tetapi tidak dimulai dari angka 1 dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut

Pertama, tulis suku terakhir dalam bentuk rumus bilangan ganjil. Dan kemudian cari nilai n. Misalkan pada contoh di atas, suku terakhirnya adalah 19. Maka $latex 19=2n-1$. Sehingga, n diperoleh yaitu 10.

Kedua, mencari jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai pada bilangan ganjil sebelum suku pertama pada deret yang ditanyakan. kurangi suku pertama dengan 1 kemudian kalikan dengan setengah. Misalnya suku pertama kita anggap a. maka langkah kedua diperoleh $latex \frac{a-1}{2}$. Pada contoh tersebut adalah $latex \frac{7-1}{2}= \frac{6}{2}=3$

 

Jumlah deret bilangan ganjil yang dimaksud akan sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu $latex 10^2-3^2=100-9=91$.

 

Contoh : berapakah 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75

 

Solusi :

 

Langkah pertama, $latex 75=2n-1$. Diperoleh $latex n=38$

Langkah kedua, $latex \frac{59-1}{2}=29$

Jumlah deret yang diminta dari deret di atas adalah sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu sama dengan $latex 38^2-29^2$.

 

Soal :

 

Carilah jumlah deret yang terdiri dari bilangan ganjil berurutan berikut

 

101 + 103 + 104 + 105 + 107 + … + 299

99 + 101 + 103 + … + 999

 

 

Share this post