Jumlah bilangan ganjil yang berurutan
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Dan seterusnya.
Dapat ditebak bahwa jumlah dari bilangan ganjil berurutan dari yang pertama sama dengan banyaknya suku dikuadratkan. Dapat dilihat pada contoh di atas, jika ada dua suku, yaitu $latex 1+3=4=2^2$. Jika ada 5 suku, yaitu $latex 1+3+5+7+9=25=5^2$
Mengapa terjadi hal seperti ini?
Secara umum, jumlah bilangan ganjil yang pertama dapat dituliskan sebagai
$latex 1+3+5+7+9+ \dots +(2n-1)$
Dengan n adalah banyaknya suku.
Ternyata bentuk $latex (2n-1)$ dapat dijadikan $latex n^2-(n-1)^2$. Perhatikan untuk $latex n^2-(n-1)^2$ jika dijabarkan. $latex n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=n^2-n^2+2n-1=2n-1$.
Diperoleh bentuk $latex 2n-1$. Yang ternyata sama dengan rumus untuk bilangan ganjil ke n.
Deret di atas merupakan deret aritmetika yang jumlah suku ke n dapat dicari dengan menggunakan rumus setengah dari jumlah suku pertama dan terakhir kemudian dikalikan banyaknya suku. Dengan demikian diperoleh
Jumlah suku ke $latex n= \frac{1}{2}(1+(2n-1))(n)$
Jumlah suku ke $latex n= \frac{1}{2}2n(n)$
Jumlah suku ke $latex n=n^2$
Sehingga dapat disimpulkan unutk jumlah bilangan ganjil yang berurutan dan sebanyak n bilangan adalah sama dengan $latex n^2$. Tentunya ini sudah ditunjukkan melalui penjabaran tersebut.
Bagaimana jika jumlah bilangan tersebut tidak dimulai dari yang terkecil? Jumlah bilangan ganjil yang tidak dimulai dari 1.
$latex 7+9+11+13+15+17+19=?$
Tentunya jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai 19 akan sama dengan $latex ( \frac{19+1}{2})^2$. Ini diperoleh dari suku terakhirnya.
yaitu $latex 2n-1=19$, sehingga banyaknya suku jika dihitung dari 1 adalah $latex 2n=19+1$, dan $latex n=10$. Jumlah deret tersebut jika dimulai dari 1 adalah 100. Tetapi permasalahannya, deret yang diminta berawal dari 7.
Dengan demikian yang harus kita lakukan adalah mengurangkannya dengan jumlah beberapa suku awal sebelum deret yang ditanyakan. Bilangan ganjil sebelum 7 adalah 5. Kita hitung jumlah deret dari 1 sampai 5. yaitu $latex 1+3+5=9$.
Dengan demikian jumlah deret seperti di atas adalah $latex 10^2-3^2=100-9=91$
7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 91
Secara umum, jumlah deret bilangan ganjil yang berurutan tetapi tidak dimulai dari angka 1 dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut
Pertama, tulis suku terakhir dalam bentuk rumus bilangan ganjil. Dan kemudian cari nilai n. Misalkan pada contoh di atas, suku terakhirnya adalah 19. Maka $latex 19=2n-1$. Sehingga, n diperoleh yaitu 10.
Kedua, mencari jumlah deret bilangan ganjil berurutan dari 1 sampai pada bilangan ganjil sebelum suku pertama pada deret yang ditanyakan. kurangi suku pertama dengan 1 kemudian kalikan dengan setengah. Misalnya suku pertama kita anggap a. maka langkah kedua diperoleh $latex \frac{a-1}{2}$. Pada contoh tersebut adalah $latex \frac{7-1}{2}= \frac{6}{2}=3$
Jumlah deret bilangan ganjil yang dimaksud akan sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu $latex 10^2-3^2=100-9=91$.
Contoh : berapakah 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75
Solusi :
Langkah pertama, $latex 75=2n-1$. Diperoleh $latex n=38$
Langkah kedua, $latex \frac{59-1}{2}=29$
Jumlah deret yang diminta dari deret di atas adalah sama dengan kuadrat dari hasil pada langkah pertama dikurangi dengan kuadrat dari hasil pada langkah kedua. yaitu sama dengan $latex 38^2-29^2$.
Soal :
Carilah jumlah deret yang terdiri dari bilangan ganjil berurutan berikut
101 + 103 + 104 + 105 + 107 + … + 299
99 + 101 + 103 + … + 999
maaf, tuk contoh yg k dua, apkh tdk keliru ya?
BalasHapuskayaknya sudah benar.. tadi saya hitung lagi.. hanya saja tadi belum saya hitung hasilnya.. sekarang sudah saya ganti.. thanks ya.
BalasHapusBoleh kah saya tanya
BalasHapusA+B+C=30
A,B,C Adalah bilngan ganjil
(1,3,5,7,9,11,13,15)
Bgaimna cara mnghitungnya
Yg 1+2+3+4+5.....101=... itu gmana gan please upload ya gan request saya
BalasHapus