Asimtot

 

Apa itu asimtot?

Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga. Asimtot juga bisa diartikan dengan sebuah garis lurus yang sangat dekat dengan kurva lengkung di titik jauh tak terhingga.

 

Macam asimtot ada 3.

yaitu asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot miring. Asimtot datar adalah garis tersebut sejajar dengan sumbu x. asimtot tegak adalah garis tersebut sejajar dengan sumbu y. dan asimtot miring adalah garis tersebut tidak sejajar dengan sumbu x dan dengan sumbu y.

Mana yang disebut asimtot?

yang disebut asimtot itu bukan grafiknya. Tetapi garis lurus yang tidak pernah tersentuh oleh garik kurva. Itulah yang disebut asimtot. Jika garis itu mendatar, maka disebut asimtot datar. Jika garis tersebut tegak, maka disebut asimtot tegak. Jika garis itu miring, maka disebut asimtot miring.

 

Fungsi bagaimana yang mempunyai asimtot?

Fungsi yang memiliki asimtot adalah fungsi rasional. Tepatnya lagi adalah fungsi yang memiliki asimtot adalah fungsi rasional pecahan. Fungsi rasional pecahan terbagi menjadi sangat banyak macamya.. misalnya saja beberapa macamnya yaitu : pembilang dan penyebut keduanya adalah fungsi linear. Ada juga yang pembilang dan penyebutnya merupakan fungsi kuadrat. Ada yang berbeda anta pembilang dan penyebut. Pembilang fungsi linear dan penyebut fungsi kuadrat. Atau sebaliknya…

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk $latex \frac{g(x)}{h(x)}$, dimana $latex g(x)$ dan $latex h(x)$  adalah suatu fungsi polynomial. Dan $latex h(x)$ bukan nol. Domain dari fungsi polynomial ini adalah semua nilai x bilangan real kecuali nilai x yang mengakibatkan $latex h(x)=0$.

Contoh fungsi rasional,  $latex f(x)= \frac{2x}{4-x}$

Fungsi tersebut adalah fungsi rasional. Dengan penyebut suatu fungsi polynomial yang bisa sama dengan nol. Domain dari fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali suatu nilai x yang menyebabkan penyebut bernilai nol. Domainnya seluruh bilangan real, kecuali $latex 4-x=0$, kecuali $latex x=4$.

 

Karena untuk $latex x=4$, maka akan terjadi pembagian dengan nol. Ini akan menyalahi aturan. Lalu, gambar fungsinya adalah sebagai berikut.

 



 

Perhatikan gambar grafik tersebut. Gambar grafik tersebut untuk $latex x=3,9$ maka nilai y yang memenuhi adalah sangat besar. Dan untuk $latex x=3,99999 \dots $, nilai dari y juga akan mendekati tak hingga. Untuk nilai $latex x=4,1$ juga demikian. Nilainya akan semakin mendekati minus tak hingga jika nilai $latex x=4,000000000 \dots 001$.

 

Inilah yang akan ada hubungan dengan asimtot. Garis $latex x=4$, ini disebut sebagai asimtot tegak (vertical asymptote) untuk gambar grafik ini. Dan garis $latex y=-2$ yang didekati oleh kurva menuju tak hingga, juga merupakan asimtot, yaitu asimtot datar. Jika mengetahui gambar grafiknya, kita akan sangat mudah untuk menentukan asimtotnya, bagaimana kalau tidak diketahui gambar grafiknya? Apakah kita harus menggambarnya dulu atau bagaimana?

 

Untuk mencari asimtot tegak, yang harus kita perhatikan adalah penyebut dari fungsi rasional tersebut. Ingat!Mencari asimtot tegak untuk fungsi yang di atas, kita tiggal membuat penyebutnya sama dengan nol. Tetapi ingat, beberapa fungsi rasional memang tidak mempunyai asimtot tegak. Misalnya saja suatu fungsi rasional yang mempunyai penyebut $latex x^2+4$, bentuk ini tidak mungkin sama dengan nol. Sehingga suatu fungsi rasional yang berpenyebut seperti ini (atau yang lain, yang tidak bisa sama dengan nol), tidak akan mempunyai asimtot tegak.

 

Untuk mencari asimtot datar (horizontal asymptote), Perhatikan aturan berikut :

Pertama, Jika pangkat tertinggi pada pada pembilang sama dengan pangkat tertinggi pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di garis y sama dengan koefisien pangkat tertinggi pembilang per koefisien pangkat tertinggi penyebut.

Secara umum, jika fungsinya adalah $latex f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^m+qx^{m-1}+\dots+u}$,

maka asimtot datarnya ada di $latex y= \frac{a}{p}$

dengan m adalah pangkat teetinggi dari kedua polynomial tersebut. (polynomial sebagai pembilang dan polynomial sebagai penyebut)

Misalnya, asimtot datar dari fungsi rasional berikut ini

$latex f(x)= \frac{4x^3+2x-2}{2x^3-2x^2+5x-1}$

Asimtot datarnya adalah $latex y= \frac{4}{2}=2$

Kedua, jika pangkat terbesar pada pembilang lebih kecil dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka asimtot datarnya ada di $latex y=0$

Secara umum, jika fungsinya adalah $latex f(x)= \frac{ax^m+bx^{m-1}\dots+d}{px^n+qx^{n-1}+\dots+u}$, dengan $latex m<n$

maka asimtot datarnya ada di $latex y=0$

Jika pangkat terbesar pada pembilang lebih besar dari pada pangkat terbesar pada penyebut, maka tidak ada asimtot datar. Ingat!

 

Asimtot miring (oblique asymptote atau slant asymptote) bisa didapatkan untuk kasus yang terakhir ini.

Misalnya saja fungsi berikut ini :

$latex f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}&s=1$

Untuk mencari asimtot dari grafik tersebut, maka lakukan pembagian antara pembilang dan penyebut. Akan ada hasil pembagian dan sisa, seperti berikut :

$latex f(x)= \frac{2x^2-3x-1}{x-2}= (2x+1)+ \frac{1}{x-2}$

Sekarang bisa kita lihat, ketika x menuju tak hingga, maka $latex \frac{1}{x-2}$ menuju nol.

Dan nilai $latex f(x)$ sama dengan $latex 2x+1$. Inilah yang bisa menyimpulkan bahwa, grafik kurva pada soal, akan mendekati garis $latex y=2x+1$ ketika x menuju tak hingga.

Asimtot miringnya pun didapatkan yaitu $latex y=2x+1$,

Ingat, tidak ada asimtot datar.

Asimtot tegak ada di $latex x=2$, karena nilai inilah yang menyebabkan penyebut sama dengan nol.

Seperti pada gambar berikut :

 



 

Asimtot datar tidak ada ketika pangkat terbesar dari pembilang lebih besar dari pangkat terbesar dari penyebut. Ingat. Sehingga ini menyebabkan, tidak mungkin adanya suatu fungsi yang mempunyai asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan.

 

Tak mungkin ada fungsi rasional pecahan yang memiliki asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaan…

Mengapa terjadi demikian?

Ini disebabkan karena jika kita tarik garis lurus secara tegak, maka akan ada dua titik potong antara garis lurus tegak tersebut dengan grafik persamaan tersebut. perhatikan bahwa fungsi adalah setiap anggota di x mempunyai hanya satu pasangan di y. disebut fungsi jika setiap x mempunyai satu pasang di y. sehingga tidak mungkin ada fungsi rasional pecahan yang memiliki asimtot datar dan asimtot miring secara bersamaa. Karena jika ditarik garis vertikal, maka garis tersebut akan memotong kurva di dua titik. Artinya ada anggota x mempunyai dua pasang di y. ini menyebabkan kurva tersebut bukan sebuah fungsi.

Semoga bermanfaat.

 

 

Share this post