Jika n bilangan bulat ganjil maka n kuadrat bilangan bulat ganjil

 

Pernyataan Jika n bilangan bulat ganjil maka n kuadrat adalah bilangan bulat ganjil adalah sama dengan pernyataan atau jika n kuadrat bilangan genap maka n adalah bilangan genap. Kedua pernyataan tersebut adalah pernyataan yang ekuivalen.

 

Misalnya saja n = 7. Maka $latex n^2= 49$. Kita tahu bahwa 7 adalah bilangan ganjil. dan 49 adalah bilangan ganjil. selanjutnya kita coba untuk bilangan yang lebih besar.

 

Misalnya n = 33. Maka $latex n^2 = 1089$. Perhatikan bahwa 33 dan 1089 adalah keduanya merupakan bilangan ganjil.

 

Misalnya lagi, n = 87. Maka $latex n^2 = 7569$. Keduanya merupakan bilangan ganjil.

 

 

Apakah ini berlaku untuk semua bilangan ganjil sampai banyak digit?



Bentuk umum atau rumus umum bilangan ganjil adalah $latex 2k + 1$. Dengan k adalah bilangan bulat.

Oleh karena itu

 

$latex (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

$latex = 2(2k^2 + 4k) + 1$

 

Karena k bilangan bulat. Maka $latex 2k^2 + 4k$ juga merupakan bilangan bulat. Maka kita dapat menuliskan $latex 2k^2 + 4k = m$. dengan m sebarang bilangan bulat.

 

Akhirnya

 

$latex (2k + 1)^2 = 2m + 1$

 

Dengan $latex m = 2k^2 + 4k$ yang merupakan bilangan bulat.

 

Persamaan terakhir adalah sama-sama bilangan ganjil. perhatikan bahwa rumus $latex 2m + 1$ untuk sebarang m adalah rumus umum dari bilangan ganjil. sehingga, bilangan ganjil kuadrat sama dengan bilangan ganjil.

 

 

Jika n kuadrat bilangan genap maka n adalah bilangan genap

 

pernyataan ini adalah ekuivalen dengan pernyataan yang pertama yaitu Jika n bilangan bulat ganjil maka n kuadrat adalah bilangan bulat ganjil. sehingga, kita cukup melihat permasalahan yang pertama saja.

 

Share this post