Jumlah bilangan berbentuk 1 + 2 + … + (n-1) + n + (n-1) + … + 2 + 1 adalah n kuadrat

Untuk yang sudah mempelajari deret aritmatika. Hal seperti ini bukan merupakan hal yang begitu istimewa. Yang akan kita bahas adalah Jumlah bilangan berbentuk 1 + 2 + … + (n-1) + n + (n-1) + … + 2 + 1 adalah n kuadrat.

Misalnya saja kita ambil n = 5. Maka diperoleh

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25

Sama dengan 5 kuadrat

Misalnya n = 7

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 49

Hasil yang diperoleh sama dengan 7 kuadrat

Mengapa terjadi demikian?


Jumlah bilangan berbentuk 1 + 2 + … + (n - 1) + n + (n - 1) + … + 2 + 1 adalah n kuadrat

Bentuk 1 + 2 + … + (n - 1) + n + (n - 1) + … + 2 + 1 dapat kita pecah menjadi

1 + 2 + … + (n - 1) = a

n

(n - 1) + … + 2 + 1 = a

Jumlahnya akan sama dengan 2a + n. untuk deret 1 + 2 + … + (n - 1) kita dapat menggunakan rumus deret aritmatika untuk menghitungnya.

Sn = (n – 1)(n – 1 + 1) / 2

Sn = (n – 1)n / 2

Didapatkan 1 + 2 + … + (n - 1) = (n – 1)n / 2

a = (n – 1)n / 2 ,  maka  2a = (n – 1)n = n² – n

2a + n = n² – n + n = n²

sehingga untuk jumlah dari 1 + 2 + … + (n - 1) + n + (n - 1) + … + 2 + 1 = n² – n + n = n²

Untuk lebih mudahnya, kita dapat melakukan hal berikut

1 + 2 + … + (n - 1) + n + (n - 1) + … + 2 + 1

Kita pisahkan menjadi

1 + 2 + … + (n - 1) + n

(n - 1) + … + 2 + 1

Perhatikan bahwa

1 + (n – 1) = n

2 + (n – 2) = n

3 + (n – 3) = n

.

.

.

(n – 2) + 2 = n

(n – 1) + 1 = n

Sehingga jumlah keseluruhannya adalah n + n + n + … + n + n  sebanyak n. sama dengan n²

.

Misalnya saja carilah jumlah dari

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Dengan mudah kita bisa menyelesaikannya yaitu sama dengan 15². Sama dengan 225

Share this post