m kuadrat + n kuadrat – 1 habis dibagi 4

 

Jika m dan n merupakan bilangan bulat yang berurutan maka $latex m^2+n^2-1$ habis dibagi 4

 

$latex 1^2 + 2^2-1= 1 + 4-1 = 4$.  Habis dibagi 4

$latex 2^2 + 3^2-1= 4 + 9-1 = 12$.  Habis dibagi 4

$latex 4^2 + 5^2-1= 16 + 25-1 = 40$.  Habis dibagi 4

$latex 5^2 + 6^2-1= 25 + 36-1 = 60$.  Habis dibagi 4

$latex 6^2 + 7^2-1= 36 + 49-1 = 84$.  Habis dibagi 4

$latex 11^2 + 12^2-1= 121 + 144-1 = 164$.  Habis dibagi 4

$latex 16^2 + 17^2-1= 256 + 289 -1 = 544$.  Habis dibagi 4

$latex 100^2 + 101^2-1= 10000 + 10201-1 = 20200$.  Habis dibagi 4

 

Merupakan hal yang cukup unik. Meskipun sangat sederhana tetapi ini bisa dibilang hal cukup unik.

 

Apakah berlaku untuk semua bilangan bulat yang berurutan

 

Kita tunjukkan saja. Apakah berlaku untuk semua bilangan bulat yang berurutan. Dua bilangan bulat yang berurutan bisa kita tuliskan sebagai n dan $latex n+1$.

Kemudian kita lakukan sesuai pernyataan di atas. yaitu Jika m dan n merupakan bilangan bulat yang berurutan maka $latex m^2+n^2-1$ habis dibagi 4.

$latex n^2 + (n+1)^2-1$

$latex = n^2 + n^2 + 2n + 1-1$

$latex = 2n^2 + 2n$

$latex = 2(n^2 + n)$

 

Perhatikan bahwa $latex (n^2 + n)$ sama dengan $latex n(n + 1)$ yang merupakan dua bilangan berurutan. Sehingga bilangan tersebut adalah bilangan ganjil dan bilangan genap. Perhatikan bahwa

Bilangan ganjil dikali bilangan genap adalah bilangan genap.

 

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan genap artinya perkalian antara $latex (2k-1) \times 2k$. Dimana hasilnya adalah $latex 4k^2-2k$. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai $latex 2(2k^2-k)$. Misalnya $latex 2k^2-k = a$. maka didapatkan bentuk 2a. dan bentuk 2a adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan genap

Maka $latex n^2+ n$ merupakan bilangan genap. Dan dapat kita tuliskan sebagai 2k.

Sehingga

$latex n^2 + (n+1)^2-1$

$latex = 2(2k)$

$latex = 4k$

 

Sehingga, $latex n^2+ (n+1)^2-1$  habis dibagi 4.

 

Dengan kata lain,

Jika m dan n merupakan bilangan bulat yang berurutan maka m kuadrat + n kuadrat – 1 habis dibagi 4

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=7]

 

Share this post