Tidak bisa ditulis menjadi jumlah beberapa bilangan berurutan
Perhatikan yang berikut ini. Bilangan-bilangan asli berikut ini dicoba untuk dituliskan ke dalam jumlah beberapa bilangan asli berurutan. Dan ternyata ada bilangan-bilangan yang itdak bisa dituliskan ke dalam bentuk tersebut.
2 = tidak bisa dituliskan
3 = 1 + 2
4 = tidak bisa dituliskan
5 = 2 + 3
6 = 1 + 2 + 3
7 = 3 + 4
8 = tidak bisa dituliskan
9 = 4 + 5
10 = 1 + 2 + 3 + 4
11 = 5 + 6
12 = 3 + 4 + 5
13 = 6 + 7
14 = 2 + 3 + 4 + 5
16 = tidak bisa dituliskan
…
Bilangan yang merupakan $latex 2^n$, tidak bisa dituliskan menjadi jumlah beberapa bilangan asli.
Mengapa demikian?
Sangat jelas jika bilangan itu merupakan bilangan ganjil. Setiap bilangan ganjil pasti bisa dituliskan menjadi jumlah 2 bilangan berurutan. Mengapa? Buktinya sebagai berikut
Setiap bilangan ganjil bisa dituliskan menjadi bentuk $latex 2n+1$ dengan n adalah bilangan bulat. Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi $latex n+(n+1)$, yang merupakan jumlah dua bilangan berurutan.
Lalu, bagaimana jika bilangan itu bilangan genap?
Ingat rumus barisan aritmetika. Untuk mengerjakan penjumlahan tersebut, kita bisa menjumlahkan suku pertama ditambah suku terakhir dikalikan dengan banyaknya suku lalu dibagi 2.
Akan terbagi menjadi beberapa kasus berikut
*Untuk banyaknya suku berupa bilangan ganjil, maka kemungkinan suku pertama dan terakhir yang terbentuk adalah
-suku pertama genap, suku terakhir genap
-suku pertama ganjil, suku terakhir ganjil
genap + genap = genap * begitu juga * ganjil + ganjil = genap
Sehingga jumlah barisan itu adalah genap $latex \times$ ganjil
*Untuk banyaknya suku berupa bilangan genap, maka kemungkinan suku pertama dan terakhir yang terbentuk adalah
-suku pertama genap, suku terakhir ganjil
-suku pertama ganjil, suku terakhir genap
genap + ganjil = ganjil * begitu juga * ganjil + genap = ganjil
Sehingga jumlah barisan itu adalah ganjil $latex \times$ genap
Dari sini bisa disimpulkan bahwa untuk jumlah bilangan berurutan (yang hasilnya berupa bilangan genap) pasti mempunyai faktor berupa bilangan ganjil dan genap. Ini menyebabkan bilangan-bilangan yang tidak mempunyai faktor berupa bilangan ganjil dan genap, tidak akan bisa dituliskan ke dalam bentuk jumlah beberapa bilangan berurutan. Tidak lain bilangan-bilangan itu adalah bilangan 2, 4, 8, 16, 32, …
Bilangan $latex 2^n$ tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk penjumlahan beberapa bilangan berurutan.
Mengapa?
2 = tidak bisa dituliskan
3 = 1 + 2
4 = tidak bisa dituliskan
5 = 2 + 3
6 = 1 + 2 + 3
7 = 3 + 4
8 = tidak bisa dituliskan
9 = 4 + 5
10 = 1 + 2 + 3 + 4
11 = 5 + 6
12 = 3 + 4 + 5
13 = 6 + 7
14 = 2 + 3 + 4 + 5
16 = tidak bisa dituliskan
…
Bilangan yang merupakan $latex 2^n$, tidak bisa dituliskan menjadi jumlah beberapa bilangan asli.
Mengapa demikian?
Sangat jelas jika bilangan itu merupakan bilangan ganjil. Setiap bilangan ganjil pasti bisa dituliskan menjadi jumlah 2 bilangan berurutan. Mengapa? Buktinya sebagai berikut
Setiap bilangan ganjil bisa dituliskan menjadi bentuk $latex 2n+1$ dengan n adalah bilangan bulat. Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi $latex n+(n+1)$, yang merupakan jumlah dua bilangan berurutan.
Lalu, bagaimana jika bilangan itu bilangan genap?
$latex 2+3+4+5+6$
Ingat rumus barisan aritmetika. Untuk mengerjakan penjumlahan tersebut, kita bisa menjumlahkan suku pertama ditambah suku terakhir dikalikan dengan banyaknya suku lalu dibagi 2.
Akan terbagi menjadi beberapa kasus berikut
*Untuk banyaknya suku berupa bilangan ganjil, maka kemungkinan suku pertama dan terakhir yang terbentuk adalah
-suku pertama genap, suku terakhir genap
-suku pertama ganjil, suku terakhir ganjil
genap + genap = genap * begitu juga * ganjil + ganjil = genap
Sehingga jumlah barisan itu adalah genap $latex \times$ ganjil
*Untuk banyaknya suku berupa bilangan genap, maka kemungkinan suku pertama dan terakhir yang terbentuk adalah
-suku pertama genap, suku terakhir ganjil
-suku pertama ganjil, suku terakhir genap
genap + ganjil = ganjil * begitu juga * ganjil + genap = ganjil
Sehingga jumlah barisan itu adalah ganjil $latex \times$ genap
Dari sini bisa disimpulkan bahwa untuk jumlah bilangan berurutan (yang hasilnya berupa bilangan genap) pasti mempunyai faktor berupa bilangan ganjil dan genap. Ini menyebabkan bilangan-bilangan yang tidak mempunyai faktor berupa bilangan ganjil dan genap, tidak akan bisa dituliskan ke dalam bentuk jumlah beberapa bilangan berurutan. Tidak lain bilangan-bilangan itu adalah bilangan 2, 4, 8, 16, 32, …
Bilangan $latex 2^n$ tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk penjumlahan beberapa bilangan berurutan.
0 Response to "Tidak bisa ditulis menjadi jumlah beberapa bilangan berurutan"
Posting Komentar
Harap komentar yang bijak!!!