Ciri Bilangan habis dibagi 7

  

Bila bagian satuannya dikalikan 2, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7, maka bilangan itu habis dibagi 7.

Contoh : Apakah 5236 habis dibagi 7?

Kita pisahkan 6 (satuannya), kemudian $latex 523-(6 \times 2)=511$.

Apakah 511 habis dibagi 7? $latex 51-(1 \times 2)=49$.

Karena 49 habis dibagi 7, maka 5236 habis dibagi 7.

  

Bukti :

Misalkan bilangan awal adalah $latex P$

$latex P=(a_1a_2 \dots a_{n-1}a_n)$  sebanyak $latex n$ digit. Ini adalah bilangan awal.

$latex Q=(a_1a_2 \dots a_{n-1})$ bedakan dengan yang di atas. Bagian ini berkurang satu digit.

Sehingga diperoleh hubungan antara $latex P$ dan $latex Q$, yaitu $latex P=10Q+a_n$ .

$latex R=Q-2z$  ini adalah syarat bilangan habis dibagi 7.

 

Kita dapat menuliskan syarat bilangan habis dibagi 7 seperti ini : Jika bilangan habis dibagi 7 maka (perhatikan $latex R$ di atas) $latex R$ habis dibagi 7. Jika $latex R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

Dari pernyataan itu bisa dikatakan : “bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika $latex R$ habis dibagi 7.” Sehingga kita harus membuktikan dua kali. yaitu untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka $latex R$ habis dibagi 7. Dan untuk jika $latex R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

 

#Bukti untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka $latex R$ habis dibagi 7

Bilangan awal yaitu $latex P$. dan diketahui $latex P$ habis dibagi 7.

Kita tulis $latex 7 \mid P$

Contohnya $latex a \mid b$. Artinya $latex b$ habis dibagi $latex a$. atau $latex a$ adalah faktor dari $latex b$)

$latex 7 \mid P$

$latex 7 \mid (10Q+z)$

 

Kita punya teorema, jika $latex a \mid b$, maka $latex a \mid nb$ dengan $latex n$ bilangan bulat. Sehingga kita boleh menuliskan

$latex 7 \mid 2(10Q+z)$

$latex 7 \mid (20Q+2z)$

 

Sekarang perhatikan bahwa 21 habis dibagi 7. Tentunya kelipatan dari 21 juga habis dibagi 7.

$latex 7 \mid 21Q$

$latex 7 \mid (21Q+2z-2z)$

$latex 7 \mid (20Q+2z)+(Q-2z)$

 

Dalam keterbagian, kita punya teorema jika $latex p \mid q$ dan $latex p \mid q+r$ maka $latex p \mid r$

Sehingga diperoleh

$latex 7 \mid Q-2z$

$latex 7 \mid R$

 

Terbukti

 

 

#Bukti untuk jika $latex R$ habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

 

$latex 7 \mid R$

$latex 7 \mid Q-2z$

 

Menurut teorema, jika $latex a \mid b$, maka $latex a \mid nb$ dengan $latex n$ bilangan bulat.

$latex 7 \mid 10(Q-2z)$

$latex 7 \mid (10Q-20z)$

 

Seperti halnya bukti yang pertama, 21 habis dibagi 7. Sehingga,

$latex 7 \mid -21z$

$latex 7 \mid -20z-z$

$latex 7 \mid 10Q-10Q-20z-z$

$latex 7 \mid 10Q-20z-(10Q+z)$

 

Ada teorema pada keterbagian yang mengatakan, jika $latex p \mid q$ dan $latex p \mid q+r$ maka $latex p \mid r$

$latex 7 \mid -(10Q+z)$

 

Menurut teorema, jika $latex p \mid q$ maka $latex p \mid -q$. Maka,

$latex 7 \mid (10Q+z)$

$latex 7 \mid P$

 

Terbukti

 

Selanjutnya, Angka 2 ini disebut sebagai Multiplier.

Semoga bermanfaat.

  

Tulisan Terbaru :

[archives limit=7]

 

Share this post