Ciri Bilangan habis dibagi 9

Ciri atau syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.

Contoh : apakah 819 habis dibagi 9? Jumlah digit-digitnya yaitu $latex 8+1+9=18$. Dan 18 habis dibagi 9. Sehingga 819 habis dibagi 9.

Bukti :

Kita misalkan bilangan itu adalah $latex (ab \dots xyz)$ sebanyak $latex n$ digit.

$latex (ab \dots xyz)=a(10^{n-1})+b(10^{n-2})+ \dots +x(100)+y(10)+z$

Sekarang kita perhatikan bahwa

10 = 9 + 1

100 = 99 + 1

1000 = 999 + 1

10000 = 9999 + 1

.

$latex 10^n=(99 \dots 999)+1$ ,  $latex (99 \dots 999)$   sebanyak $latex n$ angka 9.  Kemudian perhatikan ini

9 = 9(1)

99 = 9(11)

999 = 9(111)

.

99…999 = 9(11…111)  ,   (99…999  dan 11…111) jumlah digitnya sebanyak n. Dari situ kita dapatkan

 

$latex 10^n=9(11 \dots 111)+1$   , $latex (11 \dots 111)$ jumlah digitnya sebanyak n. Disini kita akan menuliskan (11…111), …, (111), (11), (1) sebagai lambang p, q, r, …, v, w. dengan p, q, r, …, v, w  adalah bilangan bulat. Sehingga kita bisa menulis :

 

$latex (ab \dots xyz)=a(10^{n-1})+b(10^{n-2})+ \dots +x(100)+y(10)+z$

$latex (ab \dots xyz)=a(9p+1)+b(9q+1)+ \dots +x(9v+1)+y(9w+1)+z$

$latex (ab \dots xyz)=(a+b+ \dots +x+y+z)+(9ap+9bq+ \dots +9xv+9yw)$

$latex (ab \dots xyz)=(a+b+ \dots +x+y+z)+9(ap+bq+ \dots +xv+yw)$

 

Karena $latex 9(ap+bq+ \dots +xv+yw)$  habis dibagi 9. Maka agar $latex (ab \dots xyz)$ habis dibagi 9. Harusnya $latex (a+b+ \dots +x+y+z)$ habis dibagi 9. Dimana $latex (a+b+ \dots +x+y+z)$  adalah jumlah angka-angkanya (jumlah digit-digitnya). Sehingga syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah digit-digitnya harus habis dibagi 9.

 


Ciri bilangan habis dibagi 2 dan buktinya

Ciri bilangan habis dibagi 3 dan buktinya

Ciri bilangan habis dibagi 4 dan buktinya

Ciri bilangan habis dibagi 5 dan buktinya

Ciri bilangan habis dibagi 6 dan buktinya

Ciri bilangan habis dibagi 7 dan buktinya

Ciri bilangan habis dibagi 8 dan buktinya

Ciri bilangan habis dibagi 9 dan buktinya

Share this post