Deret Harmonik (harmonic series) itu adalah deret yang divergen
Seperti apa deret harmonik itu? Deret harmonik yaitu deret yang suku-sukunya berupa pecahan, dan suku pertamanya adalah 1/1. Deret tersebut pembilangnya tetap angka 1. Tetapi, penyebutnya berjalan dimulai dari 1, 2, 3, 4, ... dan seterusnya. Seperti berikut ini
1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + ...
Biasanya ditulis sebagai Sigma dari n = 1 menuju tak hingga untuk fungsi 1/n.
Lalu, bagaimana dengan jumlah deret tersebut. Apakah jumlahnya bisa ditentukan, atau jumlahnya sama dengan tak hingga?
Jumlah deret tersebut adalah tak hingga. Karena jumlahnya meningkat tak terbatas. Mengapa? Kita akan menunjukkannya seperti berikut ini
1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + ...
Sekarang kita perhatikan beberapa suku pada deret tersebut.
(1/3) + (1/4). Jika kita jumlahkan akan menghasilkan 7/12. Kita tahu bahwa 7/12 > 1/2. Lebih mudah memahaminya, yaitu 1/3 > 1/4. Jika kedua ruas kita tambahkan 1/4 maka akan didapatkan 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4
1/3 + 1/4 > 2/4
Begitu juga untuk
(1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) > 4/8
(1/9) + (1/10) + (1/11) + ... + (1/16) > 8/16
...
Sehingga bisa kita tuliskan : 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + ... > 1 + (1/2) + (2/4) + (4/8) + (8/16) + ...
= 1 + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + ...
Jelas bahwa jumlahnya akan semakin meningkat. Jumlahnya pun tak bisa ditentukan. Sehingga deret harmonik ini adalah deret yang divergen.
1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + ...
Biasanya ditulis sebagai Sigma dari n = 1 menuju tak hingga untuk fungsi 1/n.
Lalu, bagaimana dengan jumlah deret tersebut. Apakah jumlahnya bisa ditentukan, atau jumlahnya sama dengan tak hingga?
Jumlah deret tersebut adalah tak hingga. Karena jumlahnya meningkat tak terbatas. Mengapa? Kita akan menunjukkannya seperti berikut ini
1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + ...
Sekarang kita perhatikan beberapa suku pada deret tersebut.
(1/3) + (1/4). Jika kita jumlahkan akan menghasilkan 7/12. Kita tahu bahwa 7/12 > 1/2. Lebih mudah memahaminya, yaitu 1/3 > 1/4. Jika kedua ruas kita tambahkan 1/4 maka akan didapatkan 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4
1/3 + 1/4 > 2/4
Begitu juga untuk
(1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) > 4/8
(1/9) + (1/10) + (1/11) + ... + (1/16) > 8/16
...
Sehingga bisa kita tuliskan : 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + ... > 1 + (1/2) + (2/4) + (4/8) + (8/16) + ...
= 1 + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + ...
Jelas bahwa jumlahnya akan semakin meningkat. Jumlahnya pun tak bisa ditentukan. Sehingga deret harmonik ini adalah deret yang divergen.
asl, pak sy mau naya apa hubungan antara deret harmonik dengan deret geometri?
BalasHapustidak ada hubungannya.. Deret harmonik itu trmasuk beberapa deret khusus..
BalasHapusIngat,. Deret geometri itu apa? Yaitu deret yg mmpunyai rasio sama setiap sukunya..
Wandy mahasiswa atau SMA?
apakah ada contoh soal deret harmonik ?? kalau ada
BalasHapusboleh di beritahu conth ny ?
ad contoh soal tentang deret harmonik ini??
BalasHapusDeret (1/1) + (1/4) + (1/9) + (1/16) + ... + (1/(n-1)²) + (1/n²) itu juga termasuk deret harmonik nggak? Kalo termasuk, gimana pembuktiannya? Makasih sebelumnya...
BalasHapusmakasih:D
BalasHapusadakah contoh soal dan penyelesaian dari deret harmonis? jika ada, mohon di post
BalasHapus[…] Deret Harmonik (harmonic series) itu adalah deret yang divergen | Deret harmonik yaitu deret yang suku-sukunya berupa pecahan, dan suku pertamanya adalah 1/1. Deret tersebut pembilangnya tetap angka 1. Tetapi, penyebutnya berjalan dimulai dari 1, 2, 3, 4, … dan seterusnya. Seperti berikut ini 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + … Biasanya ditulis sebagai Sigma dari n = 1 menuju tak hingga untuk fungsi 1/n. […]
BalasHapusBapak, maaf saya masih kurang paham. Bukannya nilai suku selanjutnya mengecil = konvergen? Atau pandangan saya selama ini keliru? Saya masih pelajar. Mohon dibantu. Dan kenapa tadi menjumlahkan 1/3 dengan 1/4 dan dibandingkan nya dengan 1/2..? Mohon dibantu..biar masa depan Indonesia cerah Pak.
BalasHapusderes itu banyak macamnya. .ada deret aritmetika, deret geometri, dan deret lain dg aturan yg ditentukan. .untuk deret geometri memang jika rasionya diantara -1 dan 1, dia akan semakin mengecil, dan konvergen. Tetapi belum temtu untuk deret yang lainnya.
BalasHapus