Deret tak hingga yang konvergen dan divergen

Deret adalah penjumlahan dari suatu barisan. Simplenya, 1, 2, 3, 4, 5 adalah barisan. Maka, deret yaitu 1+2+3+4+5. Deret tak hingga adalah suatu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Misalnya

$latex 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+ \dots $

 

Deret tak hingga terbagi menjadi 2. yaitu, deret tak hingga yang konvergen dan deret tak hingga yang divergen. Konvergen artinya mempunyai jumlah. Sedangkan divergen artinya tidak bisa ditentukan jumlahnya, besarnya yaitu tak hingga.

Kita mengenal $latex a_1, a_2, a_3, ...$ sebagai barisan tak hingga. Dengan $latex a_1$ adalah suku pertama, dan seterusnya. Dituliskan {a1, a2, a3, ...}. Jumlah dari barisan tersebut, yaitu $latex S_n$, dengan

$latex S_n= \sum^{n}_{k=1} a_k$

Suatu deret disebut deret konvergen jika barisan dari semua jumlah bagiannya yaitu {S1, S2, S3, ...} adalah konvergen

 

Misalnya deret yang konvergen yaitu seperti deret berikut ini :

 

$latex \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots &s=2$

Deret tersebut adalah termasuk deret konvergen. Karena jika dijumlahkan sampai suku yang tak hingga, jumlahnya masih bisa ditentukan (jumlahnya masih berhingga). Kita akan mencari hasil dari deret tak hingga tersebut

 

Misalnya $latex N= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$

$latex 2N=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$

$latex 2N-N=(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots ) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots)$

$latex N=1$

Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 1.

 

 

Deret yang divergen misalnya

 

$latex \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots $

Misalnya

$latex N=$ $latex \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots &s=2$

Perhatikan bahwa

 

$latex N> \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots $

$latex N > \frac {1}{2} +\frac {1}{2}+\frac {1}{2} + \frac {1}{2}+\frac {1}{2} + \dots $

Jumlah deret ini tidak bisa ditentukan. Dengan kata lain jumlahnya adalah tak hingga..

 

Penyebutnya bilangan "Triangular"

$latex 2= \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \dots$

 

Penyebutnya adalah perkalian bilangan faktorial

$latex e= \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \dots$

 

Penyebutnya adalah pangkat 2

$latex \frac{2}{3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \dots$

Hanya beda tanda operasi jumlah dan kurang

 

Penyebutnya adalah bilangan prima

$latex \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \dots \to \infty$

 

Baca juga postingan mengenai Deret yang lainnya, antara lain

Deret Harmonik (harmonic series) itu adalah deret yang divergen | Deret harmonik yaitu deret yang suku-sukunya berupa pecahan, dan suku pertamanya adalah 1/1. Deret tersebut pembilangnya tetap angka 1. Tetapi, penyebutnya berjalan dimulai dari 1, 2, 3, 4, … dan seterusnya. Seperti berikut ini 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + … Biasanya ditulis sebagai Sigma dari n = 1 menuju tak hingga untuk fungsi 1/n.

Barisan fibonacci menjadi konvergen | Langsung cek aja

 

Tulisan Terbaru :
[archives limit=6]

Share this post