Beberapa sifat penting pada himpunan beserta buktinya

 

Sifat-sifat pada himpunan di bawah ini sebaiknya dipahami secara benar. Karena sifat-sifat ini akan dipakai terus. Gunanya juga sangat penting.

 

Misalnya $latex X$ suatu himpunan semesta dan $latex A$ dan $latex B$ subhimpunan dari $latex X$, maka berlaku sifat-sifat seperti ini :



 

$latex A \cup A^c = X,$

$latex A \cap A^c = \varnothing ,$

$latex A^c = X-A$

$latex (A^c)^c = A,$

$latex (A \cap B)^c = A^c \cup B^c,$

$latex (A \cup B)^c = A^c \cap B^c,$

 

 

Beberapa buktinya yaitu :

 

 

Bukti untuk yang pertama, $latex A \cup A^c = X$

Perhatikan bahwa $latex A^c = \left \{ x \mid x \in X, x \notin A \right \}.$

$latex (x \in X$ dan $latex x \notin A )$ atau $latex (x \in A)$

 

Maka kesimpulannya $latex x \in X \vee x \in A$ dan $latex x \notin A \vee x \in A$

Jadi, $latex x \in X$

 

 

Untuk bukti sifat yang kedua yaitu :

 

$latex A \cap A^c = \varnothing $

 

Perhatikan bahwa $latex A^c = \left \{ x \mid x \in X, x \notin A \right \}.$

 

$latex (x \in X$ atau $latex x \notin A )$ dan $latex (x \in A)$

 

Maka kesimpulannya $latex x \in X \wedge x \in A$ atau $latex x \notin A \wedge x \in A$

Jadi, $latex x \in \varnothing $

 

 

Bukti sifat yang ketiga sama dengan definisinya. Bukti yang keempat pembaca pasti bisa

Untuk bukti yang kelima

 

$latex (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

 

Ambil unsur $latex x$ di $latex (A \cap B)^c$. Kita punya

 

$latex x \in (A \cap B)^c$

$latex \iff \quad x \notin A \cap B \quad$

$latex \iff \quad x \in A$ atau $latex x \notin B$

$latex \iff \quad x \in A^c$ atau $latex x \in B^c$

$latex \iff \quad A^c \cup B^c$

 

Dengan demikian $latex (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

 

Untuk bukti nomor 6, langkahnya sama dengan bukti nomor 5. Diharapkan pembaca bisa membuktikannya.

Semoga bermanfaat.

 

Tulisan Terbaru :

 

[archives limit=5]

 

Share this post