Bilangan prima lebih besar 4 bisa ditulis menjadi 6n + 1 atau 6n - 1
Setiap bilangan prima yang lebih besar dari 4, bisa dituliskan menjadi $latex 6n \pm 1.$ dengan n adalah bilangan asli. Misalnya, $latex 7=6(1)+1, \, 11=6(2)-1, \, 13=6(2)+1,$ dan lain-lain. Hanya 2 dan 3, bilangan prima yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk tersebut. Selain bilangan itu, bilangan prima yang lain bisa dituliskan ke dalam bentuk
Dengan n adalah bilangan asli.
Mengapa bisa demikian? Perhatikan bilangan-bilangan berikut.
2 merupakan bilangan prima. Jadi kelipatan-kelipatan dari 2 bukan merupakan bilangan prima. Begitu juga 3. 3 merupkan bilangan prima dan kelipatan 3 bukan merupakan bilangan prima. Karena hal ini, mengakibatkan kelipatan 3 sekaligus kelipatan 2 yaitu kelipatan 6 bukan merupakan bilangan prima. Dengan menggunakan kelipatan 6, kita bisa menuliskan semua bilangan asli ke dalam bentuk $latex 6n, \, 6n+1, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4, \, 6n+5.$ dengan n adalah bilangan cacah.
Kita sudah mempunyai suatu hal, yaitu 2 dan 3 adalah bilangan prima. Sehingga kelipatan 2 bukan bilangan prima. Dan kelipatan 3 juga bukan merupakan bilangan prima. Dan semua bilangan asli bisa kita tuliskan ke dalam bentuk $latex 6n, \, 6n+1, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4, \, 6n+5.$ dengan n adalah bilangan cacah. Dari ke enam bentuk tersebut, bisa kita katakan bahwa bilangan dengan bentuk $latex 6n$ bukan merupakan bilangan prima, karena merupakan kelipatan 6. Akibatnya $latex 6n$ juga merupakan kelipatan 2. Begitu juga $latex 6n+2$ dan $latex 6n+4$ merupakan kelipatan 2. Karena kelipatan 6 ditambah dengan bilangan genap. Akibatnya $latex 6n+2$ dan $latex 6n+4$ pasti bukan bilangan prima. Ingat! di sini kita menggunakan n bilangan asli. Karena $latex 6n+2$ untuk $latex n=0$ sama dengan 2. Ini merupakan bilangan prima. Jadi, dari sini kita sudah menggunakan n adalah bilangan asli. Sebenarnya, dari awal kita sudah menggunakan n adalah bilangan asli.
Sekarang perhatikan untuk $latex 6n+3$, ini merupakan bilangan kelipatan 3. Karena 6n adalah kelipatan 3 dan 3 adalah kelipatan 3. Sehingga, $latex 6n+3$ adalah kelipatan 3 dan bukan merupakan bilangan prima. Dari ke enam bentuk tersebut, yang bisa kita pastikan bukan merupakan bilangan prima adalah $latex 6n, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4.$ ke empat bentuk ini pasti bukan merupakan bilangan prima. Untuk n adalah bilangan asli.
Sehingga, bentuk $latex 6n+1$ dan $latex 6n+5$ yang mempunyai kemungkinan bilangan prima. Bentuk $latex 6n+5$ sama dengan bentuk $latex 6n-1$.
Ingat! di awal kita mengatakan bahwa, bilangan prima lebih besar dari 4 bisa dituliskan menjadi bentuk $latex 6n \pm 1.$ dengan n adalah bilangan asli. Ini tidak sama dengan pernyataan “setiap bilangan berbentuk $latex 6n \pm 1.$ dengan n adalah bilangan asli adalah bilangan prima.” Pernyataan ini adalah pernyataan yang salah. Karena $latex 6n+1.$ dengan n=4 adalah bukan merupakan bilangan prima. Bilangan yang dihasilkan adalah 25. Dan 25 bukan merupakan bilangan prima.
Sangat diharapkan untuk berhati-hati di dalam sebuah pernyataan di matematika. Yang kita punya adalah pernyataan bahwa “Setiap bilangan prima yang lebih besar dari 4, bisa dituliskan menjadi $latex 6n \pm 1.$ dengan n adalah bilangan asli.” Kita bisa menyebutnya dengan teorema.
Lalu, berikut adalah akibat-akibat dari pernyataan tersebut:
*kuadrat bilangan prima (kecuali 3), jika dibagi 3 maka akan bersisa 1
Di awal tadi kita memberi syarat bahwa $latex p>4$, maka p bisa dituliskan menjadi $latex 6n \pm 1$. Untuk bilangan prima lebih besar 4, maka bisa kita tuliskan menjadi $latex 6n \pm 1$. Ketika kita kuadratkan menghasilkan
Bentuk terakhir adalah sisa 1 jika dibagi 3. Lalu bagaimana dengan bilangan prima yang kurang dari 4? Karena hanya ada dua bilangan prima yang kurang dari 4, yaitu 2 dan 3. Maka untuk bilangan prima 2, $latex 2^2=4$ 4 memberikan sisa 1 jika dibagi 3. Sedangkan untuk 3 sendiri. 3 kuadrat habis dibagi 3. Jadi, kita sudah menunjukkan bahwa semua bilangan prima (kecuali 3) yang dikuadratkan, jika dibagi 3 akan memberikan sisa 1.
*kuadrat bilangan prima (kecuali 2) jika dibagi 4 maka akan bersisa 1.
*kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 6 maka akan bersisa 1.
*kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 12 maka akan bersisa 1.
Bentuk-bentuk tersebut bisa ditunjukkan seperti bentuk yang pertama
*hasil perkalian sebarang bilangan prima (kecuali 2 dan 3) akan berbentuk 6n+1 atau 6n-1
hasil perkalian sebarang bilangan prima (kecuali 2 dan 3) akan berbentuk $latex 6n \pm 1$ dengan n adalah bilangan asli. Buktinya sebagai berikut:
Karena setiap bilangan prima kecuali 2 dan 3 bisa dituliskan menjadi $latex 6n \pm 1$, maka ada 3 kemungkinan hasil perkaliannya, yaitu:
Hal ini menunjukkan apa yang dimaksudkan.
Dan akhirnya, perkalian beberapa bilangan prima (kecuali 2 dan 3) juga bisa dituliskan ke dalam bentuk $latex 6n \pm 1$ dengan n adalah bilangan asli.
*perkalian prima kembar jika ditambah 1 maka menjadi bilangan kuadrat
11 dan 13 merupakan salah satu prima kembar yang kita kenal. $latex (11 \times 13)+1=143+1=144.$ Perhatikan bahwa 144 merupakan bilangan kuadrat. yaitu $latex 12^2$. Bukti untuk pernyataan atau teorema ini sebagai berikut.
Bilangan prima kembar pasti berbentuk $latex 6n+1$ dan $latex 6n-1$. Karena prima kembar adalah dua bilangan prima yang mempunayi selisih 2. Perkalian dua bilangan prima kembar ini akan mengahsilkan bentuk berikut:
Jika kita menambahkan 1 pada bentuk terakhir, maka akan diperoleh $latex (6n)^2$ yang tidak lain merupakan bilangan kuadrat. Hal ini sudah menunjukkan bahwa bilangan prima kembar yang dikalikan dan hasilnya ditambah dengan 1, maka akan membentuk bilangan kuadrat.
$latex 6n \pm 1$
Dengan n adalah bilangan asli.
Mengapa bisa demikian? Perhatikan bilangan-bilangan berikut.
$latex 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15, \dots&s=1$
2 merupakan bilangan prima. Jadi kelipatan-kelipatan dari 2 bukan merupakan bilangan prima. Begitu juga 3. 3 merupkan bilangan prima dan kelipatan 3 bukan merupakan bilangan prima. Karena hal ini, mengakibatkan kelipatan 3 sekaligus kelipatan 2 yaitu kelipatan 6 bukan merupakan bilangan prima. Dengan menggunakan kelipatan 6, kita bisa menuliskan semua bilangan asli ke dalam bentuk $latex 6n, \, 6n+1, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4, \, 6n+5.$ dengan n adalah bilangan cacah.
Kita sudah mempunyai suatu hal, yaitu 2 dan 3 adalah bilangan prima. Sehingga kelipatan 2 bukan bilangan prima. Dan kelipatan 3 juga bukan merupakan bilangan prima. Dan semua bilangan asli bisa kita tuliskan ke dalam bentuk $latex 6n, \, 6n+1, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4, \, 6n+5.$ dengan n adalah bilangan cacah. Dari ke enam bentuk tersebut, bisa kita katakan bahwa bilangan dengan bentuk $latex 6n$ bukan merupakan bilangan prima, karena merupakan kelipatan 6. Akibatnya $latex 6n$ juga merupakan kelipatan 2. Begitu juga $latex 6n+2$ dan $latex 6n+4$ merupakan kelipatan 2. Karena kelipatan 6 ditambah dengan bilangan genap. Akibatnya $latex 6n+2$ dan $latex 6n+4$ pasti bukan bilangan prima. Ingat! di sini kita menggunakan n bilangan asli. Karena $latex 6n+2$ untuk $latex n=0$ sama dengan 2. Ini merupakan bilangan prima. Jadi, dari sini kita sudah menggunakan n adalah bilangan asli. Sebenarnya, dari awal kita sudah menggunakan n adalah bilangan asli.
Sekarang perhatikan untuk $latex 6n+3$, ini merupakan bilangan kelipatan 3. Karena 6n adalah kelipatan 3 dan 3 adalah kelipatan 3. Sehingga, $latex 6n+3$ adalah kelipatan 3 dan bukan merupakan bilangan prima. Dari ke enam bentuk tersebut, yang bisa kita pastikan bukan merupakan bilangan prima adalah $latex 6n, \, 6n+2, \, 6n+3, \, 6n+4.$ ke empat bentuk ini pasti bukan merupakan bilangan prima. Untuk n adalah bilangan asli.
Sehingga, bentuk $latex 6n+1$ dan $latex 6n+5$ yang mempunyai kemungkinan bilangan prima. Bentuk $latex 6n+5$ sama dengan bentuk $latex 6n-1$.
Ingat! di awal kita mengatakan bahwa, bilangan prima lebih besar dari 4 bisa dituliskan menjadi bentuk $latex 6n \pm 1.$ dengan n adalah bilangan asli. Ini tidak sama dengan pernyataan “setiap bilangan berbentuk $latex 6n \pm 1.$ dengan n adalah bilangan asli adalah bilangan prima.” Pernyataan ini adalah pernyataan yang salah. Karena $latex 6n+1.$ dengan n=4 adalah bukan merupakan bilangan prima. Bilangan yang dihasilkan adalah 25. Dan 25 bukan merupakan bilangan prima.
Sangat diharapkan untuk berhati-hati di dalam sebuah pernyataan di matematika. Yang kita punya adalah pernyataan bahwa “Setiap bilangan prima yang lebih besar dari 4, bisa dituliskan menjadi $latex 6n \pm 1.$ dengan n adalah bilangan asli.” Kita bisa menyebutnya dengan teorema.
Lalu, berikut adalah akibat-akibat dari pernyataan tersebut:
*kuadrat bilangan prima (kecuali 3), jika dibagi 3 maka akan bersisa 1
Di awal tadi kita memberi syarat bahwa $latex p>4$, maka p bisa dituliskan menjadi $latex 6n \pm 1$. Untuk bilangan prima lebih besar 4, maka bisa kita tuliskan menjadi $latex 6n \pm 1$. Ketika kita kuadratkan menghasilkan
$latex (6n \pm 1)^2=(6n)^2 \pm 12n+1$.
Bentuk terakhir adalah sisa 1 jika dibagi 3. Lalu bagaimana dengan bilangan prima yang kurang dari 4? Karena hanya ada dua bilangan prima yang kurang dari 4, yaitu 2 dan 3. Maka untuk bilangan prima 2, $latex 2^2=4$ 4 memberikan sisa 1 jika dibagi 3. Sedangkan untuk 3 sendiri. 3 kuadrat habis dibagi 3. Jadi, kita sudah menunjukkan bahwa semua bilangan prima (kecuali 3) yang dikuadratkan, jika dibagi 3 akan memberikan sisa 1.
*kuadrat bilangan prima (kecuali 2) jika dibagi 4 maka akan bersisa 1.
*kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 6 maka akan bersisa 1.
*kuadrat bilangan prima (kecuali 2 dan 3) jika dibagi 12 maka akan bersisa 1.
Bentuk-bentuk tersebut bisa ditunjukkan seperti bentuk yang pertama
*hasil perkalian sebarang bilangan prima (kecuali 2 dan 3) akan berbentuk 6n+1 atau 6n-1
hasil perkalian sebarang bilangan prima (kecuali 2 dan 3) akan berbentuk $latex 6n \pm 1$ dengan n adalah bilangan asli. Buktinya sebagai berikut:
Karena setiap bilangan prima kecuali 2 dan 3 bisa dituliskan menjadi $latex 6n \pm 1$, maka ada 3 kemungkinan hasil perkaliannya, yaitu:
$latex (6k+1)(6l+1)=36kl+6k+6l+1=6(6kl+k+l)+1$
$latex (6k-1)(6l-1)=36kl-6k-6l+1=6(kl-k-l)+1$
$latex (6k+1)(6l-1)=36kl-6k+6l-1=6(6kl-k+l)-1$
Hal ini menunjukkan apa yang dimaksudkan.
Dan akhirnya, perkalian beberapa bilangan prima (kecuali 2 dan 3) juga bisa dituliskan ke dalam bentuk $latex 6n \pm 1$ dengan n adalah bilangan asli.
*perkalian prima kembar jika ditambah 1 maka menjadi bilangan kuadrat
11 dan 13 merupakan salah satu prima kembar yang kita kenal. $latex (11 \times 13)+1=143+1=144.$ Perhatikan bahwa 144 merupakan bilangan kuadrat. yaitu $latex 12^2$. Bukti untuk pernyataan atau teorema ini sebagai berikut.
Bilangan prima kembar pasti berbentuk $latex 6n+1$ dan $latex 6n-1$. Karena prima kembar adalah dua bilangan prima yang mempunayi selisih 2. Perkalian dua bilangan prima kembar ini akan mengahsilkan bentuk berikut:
$latex (6n+1)(6n-1)=(6n)^2-1$
Jika kita menambahkan 1 pada bentuk terakhir, maka akan diperoleh $latex (6n)^2$ yang tidak lain merupakan bilangan kuadrat. Hal ini sudah menunjukkan bahwa bilangan prima kembar yang dikalikan dan hasilnya ditambah dengan 1, maka akan membentuk bilangan kuadrat.
[...] prima lebih besar 4 bisa ditulis menjadi 6n + 1 atau 6n – 1 19 November 2010 msihabudin Tinggalkan komentar Go to [...]
BalasHapus[…] Bilangan prima lebih besar 4 bisa ditulis menjadi 6n + 1 atau 6n – 1 | Ini adalah sifat dasar dari bilangan prima, cek […]
BalasHapus[…] Bilangan prima lebih besar 4 bisa ditulis menjadi 6n + 1 atau 6n – 1 | Ini adalah sifat dasar dari bilangan prima, cek […]
BalasHapus