Tidak mungkin prima kembar

 

Bilangan prima kembar adalah dua bilangan prima yang mempunyai selisih 2. Bentuk prima kembar pasti bisa dituliskan ke dalam bentuk $latex 6n+1$ dan $latex 6n-1.$ dengan n adalah bilangan asli. Kecuali bilangan prima kembar 3 dan 5. Contoh bilangan prima kembar yaitu 5 dan 7, 11 dan 13, 17 dan 19, dan lain-lain.

 

Pada tulisan sebelumnya dikatakan bahwa bilangan prima p yang lebih besar dari 4 bisa dituliskan ke dalam bentuk $latex p=6n \pm 1.$ dengan n bilangan asli. Pada pernyataan itu, bentuk $latex 6n+1$ dan $latex 6n-1$ dengan nilai n yang sama, akan membentuk suatu prima kembar. Tetapi di sini tidak semua n bisa berlaku prima kembar. Misalnya saja untuk $latex n=4,$ maka kita dapatkan dua bilangan yaitu 23 dan 25. Tetapi di sini 25 bukan merupakan bilangan prima. Ingat! bentuk $latex 6n \pm 1$ tidak selalu menghasilkan bilangan prima. Tetapi semua bilangan prima yang lebih besar dari 4 bisa dituliskan ke dalam bentuk $latex 6n \pm 1$.

 

Lalu kita di sini akan mencari, untuk n berapa saja bentuk $latex 6n \pm 1$ tidak menghasilkan bilangan prima? Sekarang kita akan bicara untuk $latex n>1$, karena untuk $latex n=1$ pasti akan menghasilkan bilangan prima kembar.

 

Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali bilangan prima 2. Digit satuan bilangan prima adalah 1, 3, 7 atau 9. Kecuali bilangan prima 2 dan 5.  Dari kenyataan-kenyataan ini, bisa kita simpulkan, jika bilangan dengan bentuk $latex 6n$, dengan digit satuan 6 atau 4, maka bilangan itu tidak mungkin prima kembar. Mengapa? Karena salah satu bentuk dari $latex 6n \pm 1$ akan berdigit satuan 5.  Salah satu bilangannya adalah bilangan komposit dengan digit satuan 5.Ingat! n yang kita pakai adalah $latex n>1$

Misalnya saja bentuk $latex 6n \pm 1$ dengan $latex n=9$, maka akan dihasilkan dua bilangan yaitu 53 dan 55. Karena 55 bukan merupakan bilangan prima, maka kedua bilangan itu bukan merupakan bilangan prima kembar. Lalu, bagaimana tanda-tanda bilangan itu tidak menghasilkan bilangan prima kembar? Ingat pernyataan yang tadi, yaitu jika bilangan dengan bentuk $latex 6n$, dengan digit satuan 6 atau 4, maka bilangan itu tidak mungkin prima kembar.




Dari sini kita akan mencari kemungkinan-kemungkinan bilangan $latex 6n$ yang menghasilkan digit satuan 4 atau 6.

 

$latex 6n, \qquad n=1 \quad \to \quad ..6$

$latex 6n, \qquad n=2 \quad \to \quad ..2$

$latex 6n, \qquad n=3 \quad \to \quad ..8$

$latex 6n, \qquad n=4 \quad \to \quad ..4$

$latex 6n, \qquad n=5 \quad \to \quad ..0$

$latex 6n, \qquad n=6 \quad \to \quad ..6$

$latex 6n, \qquad n=7 \quad \to \quad ..2$

$latex 6n, \qquad n=8 \quad \to \quad ..8$

$latex 6n, \qquad n=9 \quad \to \quad ..4$

 

…

 

Maksud dari tulisan tersebut adalah untuk n dengan digit satuan 1 sampai 9, maka bentuk $latex 6n$ akan menghasilkan digit satuan $latex ..a$. Lalu, kita lihat untuk n berdigit satuan berapa saja akan menghasilkan digit satuan 4 dan 6. Ternyata kita dapatkan untuk $latex n=1,4,6,9$  akan membuat bentuk $latex 6n$ berdigit satuan 6 atau 4.

 

Kesimpulan kita, bilangan prima dengan bentuk $latex p=6n \pm 1$ tidak akan menjadi bentuk prima kembar untuk $latex n=1,4,6,9$ (n di sini adalah digit satuannya), jadi ketika kita mencoba untuk mencari bilangan prima kembar dengan menggunakan $latex 6n \pm 1$, maka kita bisa menghiraukan untuk $latex n=1,4,6,9$. (n di sini adalah digit satuannya) Ini bukan berarti untuk $latex n=2,3,5,7,8,0$ (n di sini adalah digit satuannya) akan menghasilkan bilangan prima kembar.

Share this post