Pertidaksamaan AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)

 

Suatu peridaksamaan yang memang jarang terpikirkan oleh kita. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real a, b dengan $latex a \ge 0$ dan $latex b \ge 0$ berlaku

 

$latex \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}&s=2$

 

Bukti : Suatu hal yang sudah kita ketahui, bahwa bilangan kuadrat selalu bernilai positif (kita tidak bicara mengenai bilangan kompleks). Jika $latex a \ge 0$ dan $latex b \ge 0$, maka 

 

$latex ( \sqrt{a}- \sqrt{b})^2 \ge 0&s=1$

$latex a-2 \sqrt{ab}+b \ge 0&s=1$

 

atau

 

$latex \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}&s=1$

 

Perhatikan syarat a dan b, jika a dan b negative, akan mengakibatkan $latex \sqrt{a}$ dan $latex \sqrt{b}$ tidak bernilai pada bilangan real. Pertidaksamaan terakhir disebut sebagai rata-rata aritmetika.

 

Sedangkan jika $latex a \ge 0$ dan $latex b \ge 0$, maka bilangan

 

$latex \sqrt{ab}=(ab)^{ \frac{1}{2}}&s=1$

 

Ini disebut sebagai rata-rata geometri. Pertidaksamaan pada soal mengatakan bahwa rata-rata aritmetika lebih besar dari pada rata-rata geometri. Oleh karena itu pertidaksamaan seperti ini disebut pertidaksamaan aritmetika dan geometri. Dan sering disingkat sebagai Pertidaksamaan AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)

 

Pertidaksamaan AM-GM ini akan sering digunakan untuk membuktikan suatu soal-soal pertidaksamaan yang lainnya. Gunanya pun sangat banyak nantinya.

 

Tulisan Terbaru :

 

[archives limit=5]

 

Share this post