Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Pertidaksamaan ini sangat terkenal di dunia matematika. Bentuk pertidaksamannya adalah seperti ini

 

$latex (ax+by+cz)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)&s=1$

 

Pertidaksamaan ini akan berlaku sama dengan jika $latex a:b:c=x:y:z$

 

Bentuk pertidaksamaan Cauchy-Schwarz ini juga berlaku untuk banyak bilangan. Bentuk pertidaksamaan ini juga berlaku untuk yang berikut: 

 

$latex (a_1x_1+a_2x_2+ \dots +a_nx_n)^2 \le ({a_1}^2+{a_2}^2+ \dots +{a_n}^2)({x_1}^2+{x_2}^2+ \dots +{x_n}^2)$

 

Sama halnya dengan sebelumnya, pertidaksamaan ini berlaku sama dengan jika perbandingannya sama. Seperti pada kasus sebelumnya.

 

Bukti-bukti untuk pertidaksamaan ini juga sangat banyak sekali. Salah satu buktinya adalah bukti yang paling sederhana

 

 

$latex (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2$

$latex =(a^2y^2+b^2x^2-2abxy)+(b^2z^2+c^2y^2-2bcyz)+(c^2x^2+a^2z^2-2acxz)$

$latex =(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 \ge 0$

 

Bukti selesai.

 

 

Bentuk terakhir akan sama dengan nol jika

 

$latex ay-bx=0 \qquad bz-cy=0 \qquad cx-az=0$

 

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz ini cukup terkenal di matematika. Dan biasanya digunakan dalam soal-soal olimpiade. Selain pertidaksamaan ini masih banyak lagi tipe pertidaksamaan yang lain.

Share this post